ВКР - Математическая модель задержек поездов (1222229), страница 3
Текст из файла (страница 3)
то 
имеет одну точку разрыва 
, а 
, 
, – две точки разрыва: и 
(в соответствии с рисунком 1.3). Кроме того, при 
Следовательно, для любой непрерывной ограниченной функции 
(1.62)
. Нетрудно убедиться, что формула (1.62) верна также при k = 2. Воспользовавшись известными равенствами
получаем при 
(1.63)
(1.64)
Из (1.62) и (1.63) следует, что
Тем самым доказана формула (1.59).
В свою очередь, из (1.62) и (1.64) вытекает равенство
Следовательно,
(1.65)
Преобразуя правую часть равенства (1.65), приходим к (1.60).
На рисунке 1.3 изображены графики функций из (1.58) с k = 2, 3 и параметрами
(1.66)
Рисунок 1.3 – Поведение функций и 
С помощью формул (1.59) и (1.60) получаем с точностью до 
Замечание 3. Легко видеть, что чем больше k, тем функция из (1.58) ближе к 
. Это согласуется с рисунком 1.3, а также формулами (1.59) и (1.60), в силу которых 
, 
при 
.
Замечание 4. Если задана максимальная вероятность p того, что произойдет не менее m вторичных задержек, а 
распределена с плотностью (1.57), то согласно следствию 5 параметр T удовлетворяет условию
(1.67)
(см. также [6]). Обозначим 
– минимальное T, удовлетворяющее неравенству (1.67). Рассмотрим следующий пример. Фиксируем 
. На рисунке 1.4 изображено поведение как функции от непрерывного параметра m при p = 0.1 и p = 0.05. Ясно, что с уменьшением p величина растет. Точные вычисления можно производить по формуле
(1.68)
Рисунок 1.4 – Поведение 
при p = 0.1 и p = 0.05
Теперь фиксируем p = 0.1. На рисунке 1.5 изображено поведение как функции от непрерывного параметра m при и 
. В согласии с формулой (1.68) величина увеличивается, когда 
уменьшается. Поскольку в рассматриваемом случае показательной плотности 
выполняется равенство 
, то уменьшение ведет к увеличению среднего значения первичной задержки, что в свою очередь приводит к увеличению интервалов между поездами (если мы хотим уменьшить количество вторичных задержек).
Рисунок 1.5 – Поведение 
при и
Заметим, что все параметры, используемые при рассмотрении примера, действительны для всех основных участков (направлений) российских железных дорог.
Расчеты показывают, что добавочный (к значению T) интервал равен 4.5 минутам при m = 2. Общая продолжительность минимального интервала между поездами составляет 9.5 минут. Следует отметить, что временной интервал для тяжелых грузовых поездов в России лежит в диапазоне от 10 до 14 минут. Очевидно, что это решение обусловлено необходимостью получения небольшого количества незапланированных задержек. Действительно, когда количество вторичных остановок mknock равно 1, то интервал, рассчитываемый по нашей методике, составляет 13 минут.
1.7 Случай, когда Tj имеют нормальное распределение
Пусть
(1.69)
где , T и 
– некоторые положительные параметры. Заметим, что поскольку случайные промежутки Tj не могут быть отрицательными, то, строго говоря, предположение о виде плотности 
в (1.69) некорректно. Однако, за счет выбора параметра 
(при известном T) можно добиться, чтобы вероятность события 
оказалась близкой к 0. Мы будем предполагать, что
. (1.70)
Введем в рассмотрение стандартную нормальную случайную величину Y. Ее функция распределения равна
.
Из (1.70) вытекает, в частности, что 
. Тогда
.
Отметим, что выбор плотности , определенной в (1.69), обусловлен, в частности, свойством: для любого целого 
справедливо равенство
. (1.71)
Также, при 
, обозначим
.
Лемма 6. Предположим, что Tj – независимые одинаково распределенные случайные величины. Если плотности g и определены в (1.69), то
(1.72)
(1.73)
Кроме того,
(1.74)
(1.75)
(1.76)
(1.77)
Доказательство. Воспользуемся следствием 4. Согласно (1.17)
.
Поэтому
, (1.78)
где
.
Обозначим Y – стандартная нормальная случайная величина. Тогда
. (1.79)
Займемся вычислением J2. Нетрудно проверить, что для любых 
и 
,
откуда
. (1.80)
Следовательно,
, (1.81)
где
.
Таким образом, для любого 
(1.82)
Из (1.82) вытекает, что
(1.83)
Равенство (1.72) следует из (1.17), (1.78), (1.79) и (1.83).
Из (1.18) и (1.79) вытекает, что
(1.84)
где
(1.85)
Легко видеть, что
(1.86)
где
Имеем
(1.87)
(1.88)
Из (1.85) – (1.88) вытекает
(1.89)
Используя (1.81), получаем
(1.90)
Кроме того, аналогично (1.79) получаем
(1.91)
Согласно (1.80)
Поэтому
(1.92)
Собирая (1.89) – (1.92), получаем
(1.93)
Равенство (1.73) следует из (1.84) и (1.93).
Займемся вычислением среднего и дисперсии случайных величин 
, 
. Заметим, что 
, , имеет единственную точку разрыва . При этом
(1.94)
(1.95)
Для нахождения 
, , при 
перепишем (1.72) и (1.73) следующим образом:
(1.96)
(1.97)
где
Далее, принимая во внимание тот факт, что для любых 
и
при получаем
(1.98)
Аналогично (1.98) при имеем
(1.99)
Рассмотрим интеграл вида
где 
, 
, 
и 
– некоторые положительные параметры.
Нетрудно проверить, что
Отсюда следует, что последние два интеграла из (1.99) могут быть переписаны, как
(1.100)
(1.101)
Далее, с учетом свойства (1.80), из (1.98) – (1.101) следует
(1.102)
и
(1.103)
Для любой непрерывной ограниченной функции справедливо равенство
(1.104)
Таким образом, из (1.94), (1.102) и (1.104) вытекает равенство
(1.105)
Следовательно,
(1.106)
Из (1.105) и (1.106), с учетом равенства
получаем (1.74) и (1.76).
В свою очередь, с учетом равенства
из (1.95), (1.103) и (1.104) получаем при 
(1.107)
Следовательно,
(1.108)
Таким образом, из (1.107) и (1.108) вытекают равенства (1.75) и (1.77).
Замечание 5. Покажем, что формула (1.72) в некотором смысле является частным случаем формулы (1.73), хотя последняя приведена только для .
Можно доказать следующее утверждение: пусть положительные параметры a и b сходятся к нулю и 
. Тогда для любой непрерывной ограниченной на 
функции 
справедливо равенство
Действительно, для любого 
найдется такое 
, что 
при 
. Имеем
где
Так как при указанных условиях на a и b
то при всех достаточно малых a и b будут выполняться неравенства: 
, 
и 
. Отсюда и следует приведенное утверждение.
Положим 
, 
и пусть 
(здесь мы считаем, что k может принимать дробные значения). Тогда согласно приведенному утверждению выражение в квадратных скобках из (1.73) сходится к 
. При этом последний интеграл в (1.73) сходится к 0. Таким образом, для любого t имеем 
при .
Замечание 6. Легко видеть, что для любого t справедливо равенство
.
На рисунке 1.6 изображены графики функций 
из (1.73) при k = 2, 3 с параметрами из (1.66) и 
.
Замечание 7. Нетрудно убедиться, что при 
формула (1.72) переходит в формулу (1.58) при k = 2, а формула (1.73) – в (1.58) при .
В качестве иллюстрации произведены следующие расчеты. Зафиксируем параметры 
, 
и T согласно (1.66), и введем единое обозначение для функций (1.72) и (1.73): 
, . Для сравнения 
с из (1.58) в таблице 1.1 приведены значения этих функций при некоторых t и .
Рисунок 1.6 – Графики и в случае, когда 
и 
определены
в (1.69) с параметрами из (1.66) и
Таблица 1.1 – Значения функций и при некоторых t и
При тех же t и в таблице 1.2 приведены значения функций 
и из (1.58).
Таблица 1.2 – Значения функций и при некоторых t и
Замечание 8. Выбирая достаточно малым, в формуле (1.73) интегралы по отрицательной полуоси можно сделать сколь угодно малыми, и после этого в расчетах не учитывать. Так в рассмотренном выше примере при k = 3, T = 7, , 
условие (1.70) заведомо выполняется, а оценки интегралов показывают, что
Замечание 9. Пусть плотности 
и определены равенствами (1.69). Пусть p – максимальная допустимая вероятность того, что произойдет не менее m вторичных задержек. Какими должны быть параметры T и , чтобы выполнялось неравенство 
? Из следствия 6 вытекает, что
(1.109)
где 
, 
. Из (1.82) следует, что
Выбирая параметры T и так, чтобы первый интеграл в (1.109) был достаточно мал, имеем условие на эти параметры в виде неравенства
(1.110)
Положим 
, 
, , . Вычисления показывают, что условие (1.110) выполняется, если 
. При этом первый интеграл в (1.109) не превосходит 
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
