ВКР - Математическая модель задержек поездов (1222229), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пример. Пусть n = 5, Tk = 2, k = 
, t0 = 1. Тогда моменты планового отправления поездов удовлетворяют равенствам T(k) = 3(k – 1), k = 
. На рисунке 1.2 изображены промежутки 
, k = , в зависимости от 6 значений интервала 
.
Рисунок 1.2 – Промежутки при некоторых
Точками обозначены реальные моменты отправления поездов, которые появились в результате задержки поезда 1 на время .
Напомним основные предположения:
только поезд 1 подвергается первичной задержке ,
.
Символом R(k), в отличие от T(k), мы будем обозначать реальный момент отправления поезда под номером k.
Порядок отправления поездов. Пусть 
фиксировано.
-
Если
, (1.2)
то
. (1.3)
-
Если
, (1.4)
то
. (1.5)
Далее мы будем использовать обозначение
где A – произвольное множество на числовой прямой R.
Предположим, что общее количество поездов равно 
. Полагаем 
если k > n.
Теорема 1. 1. Если 
, то
.
2. Пусть k – фиксированное целое, 
. Если
, (1.6)
то
. (1.7)
-
Если
(1.8)
то
(1.9)
(1.10)
Теорема 2. Пусть . Справедливы формулы:
(1.11)
(1.12)
.
Определим
(1.13)
Тогда при k = 2 в правой части формулы (1.12) имеем
Поэтому при k = 2 формула (1.12) совпадает с формулой (1.11). Таким образом, верно
Следствие 1. Формула (1.12) справедлива при .
Сформулируем следствия теоремы 2 в терминах заданных плотностей.
Следствие 2. Пусть все 
постоянны и необязательно равны между собой, 
– плотность распределения случайной величины . Тогда справедлива формула
(1.14)
, причем 
.
Следствие 3. Пусть все постоянны и равны одному и тому же числу T, – плотность распределения случайной величины . Тогда справедлива формула
(1.15)
, причем
(1.16)
Напомним определение свертки плотностей. Для произвольных двух плотностей 
и 
их сверткой называется интеграл 
который принято обозначать 
. Известно, что операция свертки перестановочна. Если 
, то мы будем применять обозначение
.
По определению считаем, что 
. Напомним также, что если независимые случайные величины абсолютно непрерывны, то плотность распределения их суммы равна свертке исходных плотностей.
Следствие 4. Пусть 
– независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью 
. Пусть имеет плотность и не зависит от . Тогда
(1.17)
(1.18)
Замечание 1. Так как рассматриваемые случайные величины положительны, то в интегралах следствия 4 предел интегрирования 
можно заменить на 0.
Замечание 2. Определим 0-кратную свертку как обобщенную функцию со следующим свойством: для любой ограниченной непрерывной функции 
выполняется равенство 
. Тогда формула (1.18) при k = 2 совпадает с (1.17).
Обозначим N – число вторичных задержек (в рамках рассматриваемой модели).
Лемма 1. Для каждого целого фиксированного 
(1.19)
Приведем два следствия, вытекающие из этой леммы.
Следствие 5. Если 
– постоянная величина, то
.
Следствие 6. Если 
– независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью 
, то
.
Заметим, что задачи, связанные с задержками поездов, рассматривались во многих работах (например, в [2]). Однако в этих работах и постановки, и методы отличаются от наших.
1.2 Доказательство теоремы 1
Прежде чем доказывать теорему 1, переформулируем ее в терминах 
и 
.
Теорема 
. 1. Если
(1.20)
то
. (1.21)
2. Пусть k – фиксированное целое, . Если
(1.22)
то
(1.23)
и, следовательно, (1.7).
3. Если
(1.24)
то
(1.25)
. (1.26)
Лемма 2. Пусть 
фиксировано.
1. Из неравенства (1.22) следует (1.23).
2. Из двойного неравенства (1.24) следует равенство 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Будем рассуждать, используя принцип математической индукции. Легко убедиться в справедливости утверждения п. 1 при k = 2. Индуктивное предположение состоит в следующей импликации: если
для некоторого фиксированного 
то
Пусть выполняется условие (1.22). Тогда
(1.27)
Вследствие индуктивного предположения
Отсюда, применяя первую оценку в (1.27), получаем неравенство (1.4), из которого следует (1.5). Таким образом,
2. Пусть 
. Тогда 
. Иначе, в силу (1.2), (1.3) имеем . Используя (1.4) и (1.5), получаем равенство 
. Вследствие (1.23) тогда 
. Это противоречит правому неравенству в (1.24). Таким образом, .
Доказательство теоремы . 1. Заметим, что 
. Поэтому условие (1.20) совпадает с (1.2), которое влечет за собой равенство 
и, следовательно, (1.21).
2. Согласно лемме 2 условие (1.22) влечет за собой (1.23) и, следовательно, (1.7).
Формула (1.25) является следствием леммы 2:
Так как , то 
при 
. Отсюда вытекает (1.26).
1.3 Доказательство теоремы 2
Лемма 3. Справедлива формула (1.11).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
Заметим, что момент 
отправления первого поезда есть . Поэтому согласно порядку отправления поездов, если 
, то и, следовательно, 
, а если 
, то 
, т. е. 
. Отсюда
и, таким образом,
что эквивалентно (1.11).
Пусть 
фиксировано. Введем в рассмотрение случайные события
(1.28)
Заметим, что эти события попарно несовместны и 
.
Обращаем внимание, что если, например, n = 3, то 
, а если
n = 4, то 
, т. е. 
, вообще говоря, зависят от n.
Лемма 4. Пусть 
. Справедлива формула
(1.29)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, для определенности, что n = 6. Имеем
(1.30)
В силу теоремы 1, п. 1, следствием события 
является равенство
откуда
(1.31)
Событие 
состоит в выполнении неравенства 
. Из (1.25) тогда получаем
откуда
(1.32)
Следствием события 
является неравенство (1.22) в виде
Из этого неравенства в соответствии с теоремой 1 вытекает, что 
. Таким образом,
(1.33)
Аналогично получаем
(1.34)
Собирая (1.30) – (1.34) приходим к равенству
(1.35)
Очевидно,
(1.36)
Далее, так как 
, то
(1.37)
Заметим, что 
. Следовательно,
(1.38)
Из (1.35) – (1.38) получаем
(1.39)
Равенство (1.39) эквивалентно (1.29). Действительно, при условии 
справедлива импликация 
. Поэтому
.
Таким образом,
откуда
Доказательство в случае произвольного 
не изменится. При n = 3 доказательство только упрощается.
Доказательство теоремы 2. Формула (1.11) доказана в лемме 3, а формула (1.12) при k = 3 – в лемме 4.
Доказательство формулы (1.12) при 
будем проводить по аналогии с доказательством леммы 4.
Имеем
(1.40)
В силу теоремы 1, п. 1, следствием события является равенство
откуда
(1.41)
Если произошло событие , то в силу (1.26) справедливо соотношение
из которого
Аналогично, для всех 
(1.42)
Из (1.41) и (1.42), учитывая, что
получаем
(1.43)
Далее, используя (1.25) и представление
находим
(1.44)
Предположим, что произошло событие 
. Тогда выполнено неравенство (1.22), из которого, согласно (1.7), вытекает 
. Таким образом,
(1.45)
Собирая (1.40), (1.43) – (1.45), приходим к равенству
(1.46)
Рассуждая так же, как в конце доказательства леммы 4, получаем
Поэтому
Отсюда следует, что равенство (1.46) влечет за собой (1.12).
1.4 Доказательство следствий теоремы 2
Доказательство следствия 2. Пусть 
. Учитывая (1.13), обозначим
(1.47)
Из следствия 1 и (1.12) вытекает, что при
(1.48)
где
Имеем
(1.49)
(1.50)
Из (1.48) – (1.50), с учетом непрерывности случайной величины , получаем (1.14).
Доказательство следствия 3. Заменяя в (1.14) 
на T, получаем формулу (1.15).
Доказательство следствия 4. Мы будем использовать известное утверждение: если 
и 
– независимые случайные величины, причем имеет плотность 
, то для любой измеримой функции двух переменных 
и любого 
(1.51)
Из (1.51) следует представление для 
:
(1.52)
Формулы (1.11) и (1.52) приводят к (1.17).
Пусть 
. Рассмотрим формулу (1.12). Воспользуемся обозначением (1.47). Заметим, что , 
и 
взаимно независимы, причем плотность распределения равна 
. Поэтому
(1.53)
Далее, аналогично (1.51),
(1.54)
В свою очередь,
Следовательно,
(1.55)
Из (1.54) и (1.55) получаем
(1.56)
Согласно (1.12) теперь нужно сложить (1.53) и (1.56). В результате мы приходим к (1.18).
1.5 Доказательство леммы 1
Воспользуемся событиями, похожими на (1.28). Нетрудно видеть, что
Отсюда
1.6 Случай, когда промежутки Tj постоянны
Лемма 5. Пусть все Tj постоянны и равны некоторому 
. Если
(1.57)
где 
, то при 
(1.58)
Кроме того,
(1.59)
(1.60)
Доказательство. Воспользуемся следствием 3. Из (1.57) вытекает, что
(1.61)
Пользуясь этим равенством, формулу (1.58) при k = 2 получаем из (1.16), а при 
– из (1.15).
Займемся вычислением среднего и дисперсии случайных величин 
. Так как
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
