Платонов КВ Диссертация (1195988), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Лучи, распространяющиеся в сердцевине под углами, где α - угол полного внутреннего отражения на границе между сердцевиной и оболочкой, будут множественноотражаться у этой границы, каждый раз возвращаясь к сердцевине, а путилучей получатся зигзагообразными, как обозначалось выше. Максимальный угол между лучом, падающим на торец световода, и осью волокнаназывается углом входа световода и характеризуется значением числовойапертуры. Снаружи торец волокна окружен воздухом. Числовая апертурадиаметра сечения волокна и показателя преломления его сердцевины иоболочки обычно равна 0,18-0,23 и лишь для волноводов отдельных марок,имеющих диаметр сечения порядка сотен микрометров, достигает 0,4-0,6.1.4 Поле модКаждая мода обладает энергией, то есть образует поле вокруг себя.Картина, получающаяся на выходе, является интерференцией всех модовых составляющих поля.Очень удобную возможность расчета поля на выходе волокна даетпредставление поля в волноводе в виде отдельных мод.

Если существуетраспределение поля на входе волокна, то его можно описать как суперпозицию мод световода, затем учесть, какие разности фаз получаются на выходе за счет разной скорости распространения, и затем снова сложить распределение полей разных мод на выходе. В свою очередь, для точных расчетов, удобно оперировать понятием мод только для волноводов с относительно небольшим количеством мод.16Поле мод можно рассматривать, направив когерентное излучение, выходящее из торца волокна, на экран, находящийся на расстоянии 8-10 см.Из хорошо обработанного торца оптического волокна вытекает конус излучения, размер которого определен числовой апертурой оптического волокна.

Интенсивность излучения внутри конуса распределена в соответствии с полем мод, которые находятся в оптическом волокне. В идеальномслучае, при одной распространяющейся моде, распределение интенсивности происходит по нормальному закону:I  I0 * er2q2,(1.11)где r – расстояние от оси волокна;q – расстояние от оси волокна, на котором интенсивность уменьшаетсяв е раз.Распределение модового поля, которое определяют, как модовое пятно,диаметр которого в случае гауссова луча соответствует ширине кривойраспределения амплитуды оптического поля на уровне 1/е или ширинекривой распределения оптической мощности (интенсивности) в точке 1/е2.Так как экран является шероховатой поверхностью, то при проектировании исследуемой картины с него на сетчатку глаза наблюдается спекл.1.5 Моды свободного пространстваВолновой лазерный пучок, из-за своей высокой направленности, имеетмного схожего с плоской волной.

Отличием его от плоской волны явдяетсято, что распределение интенсивности в нем неоднородно (мощность пучка,как правило, сконцентрирована вблизи оси), а фазовый фронт отличаетсяот плоского. Поэтому решение приведенного волнового уравнения, описывающее распространение такого пучка, найдем в виде  U ( x, y, z )eikz ,(1.12)17где- медленно изменяющаяся комплексная функция, определяю-щая свойства лазерного пучка, отличающие его от плоской волны: 2ux2 2uy2 2iku 0.z(1.13)Данное уравнение является уравнением параболического типа, а самоприближение, в рамках которого оно было найдено, называется параболическим приближением.1.6 Основная модаДля гауссова пучка можно записать отношениеU  a*eгдеi( p k 2r )2p,(1.14)– расстояние от оси (х, у – отсчеты по координатнымосям);p - комплексный фазовый сдвиг при распространении света вдоль оси z;q - комплексный параметр пучка, определяющий гауссово распределениеполя по координате r.Кривизну волнового фронта определяет параметр q, который вблизиоси будет сферическим.Фундаментальное значение в теории волновых пучков имеет когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля.

Этот пучок является основной модой в отличие от других мод более высокого порядка, которые будут описываться ниже. Из-за повышенной важности исследуемсвойства гауссова пучка с длиной волны λ более досконально. Для этогообозначим комплексный параметр q через два действительных параметрапучка R и w1 1 i 2 .q R w(1.15)18Распределение поля в этой плоскости, как видно из рисунка 1.3, подчиняется закону Гаусса и w определяется расстоянием, на котором амплитудаполя уменьшается в е раз по сравнению с полем на оси.Рисунок 1.3. Поперечное распределение амплитуды полядля пучка основной модыОтметим, что распределение поля имеет гауссов характер в любойплоскости, будет изменяться, в свою очередь, только ширина этого распределения. Параметр w называют радиусом пучка, а 2w - диаметром пучка.

В некоторой плоскости, названной горловиной пучка, гауссов пучокуменьшается до минимального диаметра 2w0. В этой плоскости, от которойотсчитывают расстояние z, фазовый фронт является плоским, и комплексный параметр пучка становится чисто мнимымw02.q0 i(1.16)На расстоянии z от горловиныw02q  q0  z  z.i(1.17)Из формулы (1.17) легко получить следующие важные в практическомотношении выражения:w2 ( z )  w02 [1  (z 2) ],2w0(1.18)19w02 2R( z )  z[1  () ].z(1.19)Изменение радиуса, задаваемое выражением (1.19), графически иллюстрируется на рисунке 1.4.Рисунок 1.4.

Продольная структура гауссова пучка:Ф - фазовый фронт, Г - горловина пучка.Образующая пучка w(z) представляет собой гиперболу, асимптота которой наклонена к оси под углом.w0(1.20)Этот угол равен углу дифракции фундаментальной моды в дальнейзоне.Для расчета комплексного фазового сдвига на расстоянии z от горловины пучка используем выражение (1.17), в итоге получимip qiz  i(w02.(1.21))Интегрирование уравнения (1.21) даетP( z )   ln[ 1  i(zzz)]ln1i()iarctg() . (1.22)222w0w0w0Действительная часть Р является разностью фаз Ф между гауссовымпучком и идеальной плоской волной, а мнимая представляет собой ампли20тудный фактор, характеризующий падение интенсивности на оси из-зароста пучка.

С учетом полученных соотношений выражение (1.12) получается следующим (r , z ) w0w{(i ( kz Ф ))  r 2 (eФ  arctg (1ik) 2 2R ,(1.23)z).w0(1.24)Из формулы (1.24) наблюдаем, что Ф увеличивается с ростом z и падением минимального радиуса пучка w0. Максимальное значение Ф равноπ/2. Присутствие в показателе экспоненты отношения (1.23) членаобусловлено отставанием по фазе световых колебаний на периферии гауссова пучка из-за кривизны волнового фронта [4].1.7 Моды низших порядковВ предыдущем подразделе исследовалось лишь одно решение уравнения, а именно гауссов пучок, который является фундаментальной модойсвободного пространства.Существуют и другие решения уравнения (1.13), соответствующиепучкам с постоянной формой распределения амплитуды поля по поперечному сечению - высшие моды свободного пространства.

Полную ортогональную систему функций составляют все решения (1.13), поэтому любоепроизвольное распределение монохроматического поля можно разложитьпо модам свободного пространства.В прямоугольной системе координат x, y, z решение уравнения записывается в видеkxy {i[ p  2q ( xU  g ( ) h ( )ew w2 y 2 )]},(1.25)где g – функция x и z;21h – функция y и z.Для действительных g и h это выражение описывает моды, поперечноераспределение поля которых связано с радиусом гауссова пучка w(z).

Подставляя (1.25) в (1.13), доказываем, что функция g и h удовлетворяют томуже самому дифференциальному уравнению, что и полиномы Эрмита Hn(t)d 2Hndt2 2tdH n 2nH n  0 ,dt(1.26)где n - целое число;√для функции g;√для функции h.Таким образом, получаем:xyg * h  Hm ( 2 ) * Hm ( 2 ) ,ww(1.27)где m и n - целые числа.Индексы m и n, обозначаются как поперечные индексы моды, показывают количество изменений знака поля соответственно в направлении x иy. Моды всех порядков характеризуются одинаковым масштабным параметром w(z). Полиномы Эрмита низших порядков равны(1.28).Для математического описания мод более высоких порядков используется выражение (1.23), если в правую его часть добавить произведение g∙h.Таким образом, распределение поля в модах свободного пространстванаходится произведением функций Эрмита и Гаусса22{i ( kz Ф )  ( xw0xy ( x, y , z ) Hm ( 2 ) * Hm ( 2 ) * ewww2 y 2 )(1w2ik)}2R.(1.29)В частном случае m=0, n=0 мы имеем гауссов пучок - основную модусвободного пространства.

Параметр R(z) в (1.29) для всех мод один и тотже. Это означает, что для всех мод кривизна волнового фронта одна и таже и закон еe изменения одинаков. Однако фазовый сдвиг Ф зависит отпоперечного индекса. Можно найти, что (m, n, z )  (m  n  1) * arctg (z).w02(1.30)Из выражения (1.30) наблюдаем, что с увеличением индекса фазоваяскорость растет.Если решать уравнение (1.13) в цилиндрической системе координат r,y, z, подобное решение описывается в видеrw{i ( p   g( ) * ek 2*r  L p )}2q.(1.31)После некоторых преобразований получаемr l lr2g  ( 2 ) * L p (2 2 ) ,wwгде(1.32)- обобщенный полином Лагерра;р - угловой индекс, показывающие, сколько раз поле меняет знак в радиальном направленииl – радиальный индекс, показывающий, сколько раз поле меняет знак вазимутальном направлепнии.Полиномы Лагерра низших порядков равны:(1.33).23В цилиндрической системе координат, моды описываются лагерро гауссовыми функциями{i ( kz Ф )  kw0rr2 (r ,  ) ( 2 ) * L p (2 2 ) * ewww2(1w2ik)}2R(1.34)Как и для случая прямоугольных координат, параметры w и R постоянны для всех цилиндрических волн, а разность фаз, как и ранее, зависит отиндексов моды и находится с помощью выраженияФ( p, l , z )  (2h  l  1)arctg (z).2w0(1.35)1.8 Затухания в оптическом волокнеВсе волоконные световоды владеют затуханием.

Характеристики

Список файлов ВКР