Платонов КВ Диссертация (1195988), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Вообше,акомплексные величины. Используя определение (n ic 2) ,2(5.20)показатель преломления n и коэффициент поглощения α определяется через действительную и мнимую частикак,(5.21),(5.22)здесь Re и Im обозначают соответственно действительную и мнимую части.Прежде чем приступать к решению уравнения (5.17), введем еще дваупрощения. Во-первых, проигнорируем мнимую часть, так как ввидунизких потерь в волноводах мнимая часть мала относительно действительной.
Тогдазаменяем на. Во-вторых, предполагаянезави-симым от пространственных координат в оболочке и сердцевине (для световода со ступенчатым профилем показателя преломления), считаем, что,здесь используются равенства(5.23). При таких упрощенияхуравнение (5.17) принимает вид692с2.(5.24)В следующем пункте выражение (5.24) решается в случае световода соступенчатым профилем показателя преломления; находятся моды данноговолновода [8].5.4 Моды волоконного световодаПри любой частоте ω волоконный световод обладает конечным числомнаправляемых мод, пространственные распределения полейкото-рых являются решениями волнового уравнения (5.24) при определенныхграничных условиях. Кроме того, световод может обладать континуумом(счетное число) ненаправляемых излучательных мод. Излучательные модыне важны в рассмотрении нелинейных эффектов, так как предполагается,что световод имеет идеальную цилиндрическую геометрию, однако излучательные моды важны в задачах, исследующих передачу энергии междуизлучательными и связанными модами.
В данном пункте исследуютсянаправляемые моды волоконных световодов.Обращая внимание на цилиндрическую симметрию волоконного световода, удобно описать волновое уравнение (5.24) в цилиндрических координатах р, ф и z:,гдеи(5.25)- фурье-компоненты электрического поля E, т.е.∫.Подобные отношения истины и для магнитного поля(5.26). Так как Еи Н удовлетворяют уравнениям Максвелла (5.7)-(5.10), только две компоненты из шести независимы. Удобно взятьикак независимые эле-менты и выразить другие, удовлетворяющие выражению (5.25). Для решения волнового уравнения относительнонужно взять подстановку70,(5.27)где А—нормировочная постоянная, β- постоянная распространения и m —целое число.
Подставляя (5.27) в (5.25), для функции F(ρ) получаем следующее уравнение:d 2F2dF2 m [ к 2 ]F 0 ,2dd(5.28)гдек n 2k02 2 .(5.29)Показатель преломления n волокна с радиусом сердцевины а имеет вид{.Уравнение (5.28) это известное дифференциальное уравнение, решением которого определяются как функции Бесселя. Общее решение в сердцевине определяют как линейную систему функции Бесселяции Неймана. Функцияи функ-обладает сингулярностью при, по этой причине физический смысл имеет только решение,(5.30)где к определяется из выражения (5.28) заменой n на n1; это показательпреломления сердцевины. В оболочке (ρ ≤ а) решение F(ρ) экспоненциально падает с ростом ρ.
Таким решением являются модифицированныефункции Бесселя Кm:,(5.31)где.(5.32)Следуя подобной процедуре, можно определить компоненту магнитного поляненты. Граничное условие обязывает, чтобы тангенциальные компоибыли непрерывны на плоскости, разграничивающей сердце-71вину и оболочку, т. е,,,ипридолжны быть непрерыв-ными функциями.Непрерывность этих элементов поля на границе сердцевины и оболочки () подводит нас к характеристическому уравнению, решение кото-рого находит постоянную распространения β для моды волновода.J 'm (ка ) K 'm (а) J 'm (ка ) n22 K 'm (а)mk0 (n12 n22 2[][ 2][] ,(5.33)22кJ m (ка ) J m (а) кJ m (ка ) n1 J m (а)aк n1где штрих означает дифференцирование по аргументу.
Уравнение (5.33)получено с использованием следующего отношения,(5.34)которое получено из уравнений (5.29) и (5.31).Характеристическое уравнение (5.33) в общем случае владеет несколькими решениями для каждого целого числа m. Удобно обозначить эти решения как βnm, где m и n-целые числа. Каждое уникальное значение βnm,соответствует моде волоконного световода.
Определенное решение уравнения (5.25) определяет распределение поля моды. Существуют два типамод световода, обозначаемые НЕmn и ЕНmn. При m=0 эти моды соответствуют поперечной электрической (ТЕ) и поперечной магнитной (ТН) модам волновода, так как аксиальные элементы электрического и магнитногополей равны нулю.
В то же время, при m>0 моды волоконного световодагибридные, т. е. все шесть элементов электромагнитного поля отличны отнуля.Число мод, поддерживаемых волноводом на определенной длине волны, зависит от его параметров - разности показателей преломления длясердцевины и оболочки n1—n2 и радиуса сердцевины а. Частота отсечкиявляется важным параметром каждой моды. Эта частота находится условием γ = 0. Величина k, для которой γ=0, для данной моды выражает частоту отсечки из уравнения (5.34).
Достаточно просто найти нормированнуючастоту V соотношением72,где(5.35)определяется уравнением (5.34) при подстановке γ=0.Характеристическое уравнение (5.33) позволяет найти величины V-параметра отсечки различных мод. Будем рассматривать одномодовыеволноводы, поэтому ограничимся рассмотрением только условия отсечки,при котором волокно может поддерживать только одну моду.
В одномодовых световодах распространяется только HE11-мода, называемая основноймодой. Все остальные располагаются за пределами отсечки, если параметрV<Vc, где Vc-наименьший корень уравненияили.При производстве волокон значение V крайне важным параметром. ЕслиV/Vc становится малым, то растут потери на микроизгибах в волокне. Поэтому на практике обычно изготавливают волокна так, чтобы параметр Vбыл около Vc. Длину волны отсечки λс для одномодового волноводанайдем, подставляя в уравнение (5.35)и V=2,405. Для стандартныхвеличин разности показателей преломления сердцевин и оболочки n1—n2=0,005, λс=1,2 мкм при а=4 мкм.
Подобное волокно поддерживает единственную моду для λ>1,2 мкм. Для создания одномодового волокна в видимой области, нужно, чтобы радиус сердцевины был менее 2 мкм.Поле, соответствующее моде НЕ11, владеет тремя ненулевыекомпоненты Еρ, Еɸ и Ez, или, в декартовых координатах, Ех, Еу и Ez, средикоторых либо Ех, либо Еу относительно выше. Таким образом, с большойточностьюфундаментальнуюмодуможноназватьлинейно-поляризованной в х- или y-направлении в зависимости от того, Ех или Еупреобладает. В данном соотношении даже одномодовые волокна не являются одномодовыми, так как они могут распространять две ортогональнополяризованные моды. Как правило, используют определение LPmn для линейно-поляризованных мод, которые являются приближенным решениемуравнения (5.25).
В предложенных определениях фундаментальная HE11мода соответствует LP01-моде.73При идеальных условиях две ортогонально-поляризованные моды вырождены (т.е. они имеют одинаковые постоянные распространения). Напрактике непостоянности, такие, как случайные различия диаметра сердцевины вдоль длины волокна, убирают вырождение мод, приводят к случайному слиянию двух поляризационных элементов и к смене поляризации вводимого излучения при распространении его вдоль волновода.
Cветоводы, которые сохраняют состояние поляризации, готовятся путем создания сильного двулучепреломления, убирающего вырождение мод. Подобные волокна способны сохранять линейное состояние поляризации, приусловии, если излучение вводится поляризованным в направлении однойиз главных осей световода. Предполагая, что вводимое излучение поляризовано вдоль главной оси (например, x-оси). электрическое поле основноймоды НЕ11 приближенно можно описать как,(5.36)где А(ω) - нормировочная постоянная.
Поперечное распределение поля всердцевине следует из уравнения (5.30):,где(5.37)-радиальное расстояние. Снаружи сердцевины свето-вода поле экспоненциально спадает, как,где(5.38)в уравнении (5.31) приближено первым членом асимптотиче-ского разложения и добавлен постоянный множитель, чтобы сохранялосьистинным условие равенстваприв уравнении (5.37) и (5.38).Постоянная распространения β(ω) в выражении (5.36) является решениемхарактеристического уравнения (5.33). Частотная зависимость β(ω) определяется не только частотной зависимостью n1и n2, известной как материальная дисперсия, но и зависимостью к от частоты; подобная зависимостьназывается волноводной дисперсией.
Материальная дисперсия преобладает в спектральной области далеко от длины волны, обозначающая нулевую74дисперсию. Чтобы найти β(ω), вообще говоря, требуется численное решение уравнения (5.33), однако в определенных частных выражениях можнонайти приближенные аналитические выражения. Эффективный показательпреломления nэфф связан с β соотношением nэфф=β/k0.Так как распределение поля моды, определяемое уравнениями(5.37) и (5.38), крайне неудобно, на практике фундаментальную моду частоописывают гауссовским распределениемF ( x, y ) exp[ x2 y22],(5.39)где параметр размера моды w определяется путем подгонки точного распределения к гауссовой форме или вариационным методом.
На рисунке 5.3показана зависимость w/a от параметра V, определяемого выражением(5.35). Сравнение действительного распределения поля с гауссовским приближением также показано при V = 2,4. Качество приближения, как правило, очень хорошее, особенно для значений V вблизи 2. Из рисунка 5.3.видно, что w а при V=2, по этой причине, радиус сердцевины - неплохаяоценка размера моды. Можно заметить, что w становится значительнобольше а при V < 1,8. Использование гауссовского приближения (5.39) ссоответствующей величиной w широко используется на практике из-за относительной простоты.75Рисунок 5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
