Понятие массы (1188450), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС И МАССА В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИОсновными соотношениями теории относительности для свободно движущейся частицы (системы частиц,тела) являютсяE 2 − p 2 = m 2 c4 ,(5.1)Л.Б. Окунь Масса. Энергия. Относительность4~v E;(5.2)c2здесь E — энергия, p~ — импульс, m — масса, a ~v — скорость частицы (системы частиц, тела). Следует подчеркнуть, что масса m и скорость ~v для частицы или тела — это те же самые величины, с которыми мы имеем делов ньютоновой механике.
Подобно четырехмерным координатам t, ~r, энергия E и импульс p~ являются компонентами четырехмерного вектора. Они меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой согласнопреобразованиям Лоренца. Масса же остается при этом неизменной, она является лоренцевым инвариантом.Следует подчеркнуть, что, как и в ньютоновой механике, в теории относительности имеют место законысохранения энергии и импульса изолированной частицы или изолированной системы частиц.Кроме того, как и в ньютоновой механике, энергия и импульс аддитивны: полные энергия и импульс nсвободных частиц равны соответственноp~ =E=nXEi ,p~ =i=1nXp~i .(5.3)i=1Что касается массы, то в теории относительности масса изолированной системы сохраняется, не меняется современем, но свойством аддитивности не обладает (см.
ниже).Важнейшим отличием теории относительности от нерелятивистской механики является то, что энергия массивного тела не обращается в нуль, даже когда такое тело покоится, т. е. при ~v = 0, p~ = 0. Как видно из (2.1),энергия покоя тела (ее обычно обозначают E0 ) пропорциональна его массе:E0 = mc2 .(5.4)Именно утверждение о том, что в инертной покоящейся материи таятся огромные (благодаря квадратупредельной скорости c) запасы энергии, сделанное Эйнштейном в 1905 г., является главным практическимследствием теории относительности.
На соотношении (5.4) основана вся ядерная энергетика и вся ядернаявоенная техника. Возможно, не столь широко известно, что на этом же соотношении основана и вся обычнаяэнергетика.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙЗамечательным свойством уравнений (5.1) и (5.2) является то, что они описывают движение частиц во всеминтервале скоростей: 0 6 v 6 c. В частности, при v = c из (5.2) следует, что(6.1)pc = E.Подставив это равенство в (5.1), мы приходим к выводу, что если частица движется со скоростью с, тоее масса равна нулю, и наоборот.
У безмассовой частицы нет системы координат, где она покоится, покой ей«только снится».Для массивных частиц (так мы будем называть частицы с ненулевой массой, даже если они очень легкие)формулы для энергии и импульса удобно выразить через массу и скорость.
Для этого подставим (5.2) в (5.1):E 2 (1 − v 2 /c2 ) = m2 c4(6.2)и, извлекая квадратный корень, получимПодставляя (6.3) в (5.2), получимE=pp~ = pmc21 − v 2 /c2m~v1 − v 2 /c2.(6.3).(6.4)Из формул (6.3) и (6.4) очевидно, что массивное тело (с m 6= 0) не может двигаться со скоростью света, так какпри этом должны обратиться в бесконечность энергия и импульс тела.В литературе по теории относительности обычно используются обозначенияβ=γ=pv,c11 − β2(6.5).(6.6)Л.Б.
Окунь Масса. Энергия. Относительность5Используя γ, можно записать E и p~ в видеE = γmc2 ,(6.7)p~ = γm~v .(6.8)Определим кинетическую энергию Екин как разность полной энергии E и энергии покоя E0 :Eкин = E − E0 = mc2 (γ − 1).(6.9)В пределе, когда v/c 1, в выражениях (6.8), (6.9) следует оставить первые члены ряда по β. Тогда мыестественным образом возвращаемся к формулам механики Ньютона:p~ = m~v ,(6.10)p2mv 2=,(6.11)2m2откуда видно, что масса тела в ньютоновой механике и масса того же тела в релятивистской механике — этоодна и та же величина.Eкин =7.
СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИМожно показать, что в теории относительности сохраняется ньютоново соотношение между силой F~ и изменением импульса:d~p.(7.1)F~ =dtИспользуя соотношение (7.1) и определение ускорения~a =легко получитьd~v,dt~ a).F~ = mγ~a + mγ 3 β(β~(7.2)(7.3)Мы видим, что, в отличие от нерелятивистского случая, ускорение в релятивистском случае не направлено посиле, а имеет также составляющую по скорости.
Умножая (7.3) на ~v , найдем~a~v =~vF~ ~vF~=.mγ(1 + γ 2 β 2 )mγ 3(7.4)Подставив это в (7.3), получим~ = mγ~a.F~ − (F~ β)β(7.5)Несмотря на необычность уравнения (7.3) с точки зрения ньютоновой механики, а вернее, именно благодаря этойнеобычности, это уравнение правильно описывает движение релятивистских частиц. С начала века оно многократно подвергалось экспериментальным проверкам в различных конфигурациях электрических и магнитныхполей.
Это уравнение является основой инженерных расчетов релятивистских ускорителей.Итак, если F~ ⊥ ~v , тоF~ = mγ~a,(7.6)если же F~ k ~v , тоF~ = mγ 3~a.(7.7)Таким образом, если попытаться определить как «инертную массу» отношение силы к ускорению, то эта величина в теории относительности зависит от взаимного направления силы и скорости, и потому однозначнымобразом ее определить нельзя. К такому же заключению относительно «гравитационной массы» приводит рассмотрение гравитационного взаимодействия.8.
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИЕсли в ньютоновой теории сила гравитационного взаимодействия определяется массами взаимодействующихтел, то в релятивистском случае ситуация значительно сложнее. Дело в том, что в релятивистском случаеисточником гравитационного поля является сложная величина, имеющая десять различных компонент, — такЛ.Б.
Окунь Масса. Энергия. Относительность6называемый тензор энергии-импульса тела. (Для сравнения укажем, что источником электромагнитного поляявляется электромагнитный ток, являющийся четырехмерным вектором и имеющий четыре компоненты.)Рассмотрим самый простой пример, когда одно из тел имеет очень большую массу M и находится в покое(например, Солнце или Земля), а другое имеет очень малую или даже нулевую массу, например электронили фотон с энергией E. Исходя из общей теории относительности, можно показать, что в этом случае сила,действующая на легкую частицу, равнаME~F~ = −G 2 3 [(1 + β 2 )~r − (~rβ)β].c r(8.1)Легко видеть, что для медленного электрона с β 1 выражение в квадратной скобке сводится к ~r, и, учитывая,что E0 /c2 = m, мы возвращаемся к нерелятивистской формуле Ньютона. Однако при v/с ∼ 1 или v/с == 1 мы сталкиваемся с принципиально новым явлением: величина, играющая роль «гравитационной массы»релятивистской частицы, оказывается зависящей не только от энергии частицы, но и от взаимного направлениявекторов ~r и ~v .
Если ~v k ~r, то «гравитационная масса» равна E/c 2 , но если ~v ⊥ ~r, то она становится равной(E/c2 )(1 + β 2 ), а для фотона 2E/c2 .Мы используем кавычки, чтобы подчеркнуть, что для релятивистского тела понятие гравитационной массынеприменимо. Бессмысленно говорить о гравитационной массе фотона, если для вертикально падающего фотонаэта величина в два раза меньше, чем для летящего горизонтально.Обсудив различные аспекты динамики одной релятивистской частицы, обратимся теперь к вопросу о массесистемы частиц.9. МАССА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦМы уже отметили выше, что в теории относительности масса системы не равна массе составляющих системутел.
Это утверждение можно проиллюстрировать несколькими примерами.1. Рассмотрим два фотона, разлетающихся в противоположные стороны с одинаковыми энергиями E. Суммарный импульс такой системы равен нулю, а суммарная энергия (она же энергия покоя системы двух фотонов)равна 2E. Следовательно, масса этой системы равна 2E/c2 . Легко убедиться, что система двух фотоновбудет иметь нулевую массу только в том случае, когда они летят в одном направлении.2.
Рассмотрим систему, состоящую из n тел. Масса этой системы определяется формулойm=nXEii=1c2!2−nXp~ii=1c!2 1/2 ,(9.1)PPгдеEi — сумма энергий этих тел, ap~i — векторная сумма их импульсов.Два первых примера характерны тем, что представляют собой системы свободных частиц; размеры этих систем неограниченно растут со временем по мере разлета составляющих их частиц. Обратимся теперь к системам,размеры которых остаются неизменными.3. Рассмотрим атом водорода, состоящий из протона и электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
