ЛР 1.4.5. Изучелние колебаний струны (1188437)
Текст из файла
Лабораторная работа 1.4.5Изучение колебаний струныЦель работы: изучение поперечных стоячих волн на струне; определение собственных частот колебаний струны; исследование зависимости скорости распространенияпоперечных волн на струне в зависимости от её натяжения.В работе используются: закрепленная на станине стальная струна, набор грузов,электромагнитные датчики, звуковой генератор, двухканальный осциллограф, частотомер.ВведениеСтруной в акустике называют однородную тонкую гибкую упругую нить.Примерами могут служить сильно натянутый шнур или трос, струны гитары,скрипки и других музыкальных инструментов.
В данной работе изучаютсяпоперечные колебания стальной гитарной струны, натянутой горизонтальнои закрепленной между двумя неподвижными зажимами.Основное свойство струны — гибкость — обусловлено тем, что её поперечные размеры малы по сравнению с длиной. Это означает, что напряжениев струне может быть направлено только вдоль неё, и позволяет не учитыватьизгибные напряжения, которые могли бы возникать при поперечных деформациях (то есть, при изгибе струны) *.В натянутой струне возникает поперечная упругость, т.е. способность сопротивляться всякому изменению формы, происходящему без измененияобъема.
При вертикальном смещении произвольного элемента струны, возникают силы, действующие на соседние элементы, и в результате вся струнаприходит в движение в вертикальной плоскости, т.е. возбуждение «бежит» поструне. Передача возбуждения представляет собой поперечные бегущиеволны, распространяющиеся с некоторой скоростью в обе стороны от меставозбуждения. В ненатянутом состоянии струна не обладает свойством поперечной упругости и поперечные волны на ней невозможны.*Следует подчеркнуть, что поперечные колебания тонких стержней отличаются от колебаний струны, что связано именно с возникновением изгибных напряжений. К примеру, гитарнаяструна диаметром ~0,3 мм и длиной 1 м является гибким объектом, а изготовленный из той жестали метровый стержень при диаметре 3-4 мм уже не обладает гибкостью.
В нем существеннуюроль играют внутренние изгибные напряжения, препятствующие изменению его формы, поэтомуего нельзя рассматривать как струну. Поперечные колебания стержней описываются существенно более сложными дифференциальными уравнениями 4 порядка (см.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. — Гл. 3.).1Волны на струне *Рис. 1. К выводу уравнения колебаний струныРассмотрим гибкую однородную струну, в которой создано натяжение T,и получим дифференциальное уравнение, описывающее её малые поперечные свободные колебания.
Отметим, что если струна расположена горизонтально в поле тяжести, величина T должна быть достаточна для того, чтобы всостоянии равновесия струна не провисала, т. е. сила натяжения должна существенно превышать вес струны.Направим ось вдоль струны в положении равновесия. Форму струны будем описывать функцией (, ), определяющей её вертикальное смещение вточке в момент времени (см. рис.
1). Угол наклона касательной к струне вточке относительно горизонтального направления обозначим как . В любой момент этот угол совпадает углом наклона касательной к графику функции (), то есть tg = .Рассмотрим элементарный участок струны, находящийся в точке , имеющий длину δ и массу δ = , где — погонная плотность струны(масса на единицу длины). При отклонении от равновесия на выделенныйэлемент действуют силы натяжения 1 и 2 , направленные по касательной кструне.
Их вертикальная составляющая будет стремиться вернуть рассматриваемый участок струны к положению равновесия, придавая элементу некото2 рое вертикальное ускорение 2 . Заметим, что угол зависит от координаты вдоль струны и различен в точках приложения сил 1 и 2 . Таким образом,второй закон Ньютона для вертикального движения элемента струны запишется в следующем виде: 2 (1) 2 = −1 sin 1 + 2 sin 2 .*При первом чтении вывод волнового уравнения можно пропустить.2Основываясь на предположении, что отклонения струны от положенияравновесия малы, можем сделать ряд упрощений:1. Длина участка струны в изогнутом состоянии практически равнадлине участка в положении равновесия *, поэтому добавочным напряжением вследствие удлинения струны можно пренебречь. Следовательно, силы T1 и T2 по модулю равны силе натяжения струны: 1 ≈2 ≈ .2.
Углы наклона малы, поэтому tg ≈ sin ≈ и, следовательно,можно положить ≈ .Разделим обе части уравнения движения (1) на и устремим размер элемента к нулю, → 0. Тогда правая часть (1) примет вид 2 2 sin 2 − 1 sin 12 − 1≈ → 2 =(в последнем переходе использовано определение производной функции какпредела отношения приращения функции к приращению аргумента). Наконец, подставляя = , и вводя обозначение = �,(2)что, как мы увидим далее, есть скорость распространения волн на струне,находим окончательно уравнение свободных малых поперечных колебанийструны: 2 2 2(3)=. 2 2Уравнение (3) называют волновым уравнением.
Кроме волн на струне, ономожет описывать волновые процессы в самых разных системах, в том числеволны в сплошных средах (звук), электромагнитные волны и т.д.Бегущие волныКак показывается в математических курсах, общее решение дифференциального уравнения в частных производных (3) представимо в виде суммыдвух волн произвольной формы, бегущих в противоположные стороны соскоростями ±:(4)(, ) = 1 ( − ) + 2 ( + ),где u — скорость распространения волны (2), 1 и 2 — произвольные функции, вид которых в конкретной задаче определяется из начальных и граничных условий.*Нетрудно убедиться, что поправка к длине элемента имеет второй (квадратичный) порядок1малости по углу : = � 2 + 2 = �1 + tg 2 ≈ �1 + 2 � ≈ .32Упражнение. Прямой подстановкой убедитесь, что (4) есть решение (3).Особый интерес представляет случай гармонических волн *:(, ) = cos[( − )] + cos[( + )] =(5)= cos( − ) + cos( + ).Выражение (5) представляет собой суперпозицию двух гармонических волн,бегущих навстречу друг другу со скоростью = = .(6)22Их длина волны = , частота = .
Величина = называется волно2вым числом или пространственной частотой волны.Заметим, что формула (2) означает, что скорость распространения поперечных волн на струне зависит только от силы натяжения струны и её погонной плотности .Собственные колебания струны. Стоячие волныНайдем вид свободных колебаний струны с закрепленными концами.Пусть струна закреплена в точках = 0 и = . Концы струны не колеблются, поэтому (0, ) = 0 и (, ) = 0 для любых . Используя (5), находим(0, ) = cos + cos = 0,откуда следует, что = −. Тогда после тригонометрических преобразований выражение (5) примет вид(7)(, ) = 2 sin ⋅ sin .Колебания струны, описываемые функцией (7), называются стоячими волнами. Видно, что стоячая волна может быть получена как сумма (интерференция) двух гармонических бегущих волн, имеющих равную амплитуду и движущихся навстречу друг другу.Как видно из (7), точки струны, в которых sin = 0, в любой моментвремени неподвижны.
Такие точки называются узлам. Остальные точки совершают в вертикальной плоскости гармонические колебания с частотой= . =2 Амплитуда колебаний распределена вдоль струны по гармоническому закону: 0 () = 2 sin . В точках, где sin = 1, амплитуда колебаний максимальна — они называются пучностями. Между двумя соседними узламивсе участки струны колеблются в фазе (их скорости имеют одинаковоенаправление), а при переходе через узел фаза колебаний меняется на вследствие изменения знака sin .*Известно, что любую периодическую функцию можно представить в виде суперпозициигармонических функций («гармоник») с разными частотами.4Используя второе граничное условие (, ) = 0 (точки крепления струныдолжны быть узлами стоячей волны), найдём условие образования стоячихволн на струне: (, ) = 2 sin sin = 0, откуда ∈ ℕ.sin = 0 → = ,2Таким образом, стоячие волны на струне с закреплёнными концами могут образовываться только если на длине струны укладывается целое число полуволн:(8) = .2Поскольку длина волны однозначно связана с её частотой, струна можетколебаться только с определёнными частотами: = � ,= 2 ∈ ℕ.(9)Набор (спектр) разрешённых частот называют собственными частотамиколебаний струны.
Режим колебаний, соответствующий каждой из частот ,называется собственной (или нормальной) модой колебаний (от англ. mode —режим). Произвольное колебание струны может быть представлено в виде суперпозиции её собственных колебаний. Наименьшая частота 1 называетсятакже основным тоном (или первой гармоникой), а остальные (2 = 21 , 3 =3ν1 , …) — обертонами (высшими гармониками). Термин «гармоника» иногдаупотребляется в обобщенном смысле — как элементарная составляющаясложного гармонического колебания.На Рис.
2 показана картина стоячих волн для = 1, 2, 3. Заметим, чточисло определяет число пучностей (но не узлов!) колеблющейся струны.Таким образом, спектр собственных частот струны определён её погоннойплотностью , силой натяжения и длиной струны (отдельно отметим, чтособственные частоты не зависят от модуля Юнга материала струны).Рис. 2. Стоячие волны (собственные моды колебаний струны) для = 1, 2, 35Возбуждение колебаний струныПри колебаниях реальной струны всегда имеет место потеря энергии(часть теряется вследствие трения о воздух; другая часть уходит через неидеально закрепленные концы струны и т.д.).
Поддержание незатухающих колебаний в струне может осуществляться точечным источником, в качестве которого в данной работе используется электромагнитный вибратор. При этомвозникает необходимость переноса энергии от источника по всей струне.Рассмотрим вопрос о передаче энергии по струне. В стоячей волне потокэнергии вдоль струны отсутствует — колебательная энергия, заключеннаяв отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно *. Передача энергии между различными участками струны возможнатолько благодаря бегущим волнам, которые, однако, в рассмотренной вышеидеальной модели струны не возникают.
Парадокс снимается, если учесть,что из-за потерь энергии при отражении волны от концов не происходит полной компенсации падающей и отраженной волны, поэтому к стоячей волнена струне добавляется малая бегущая компонента — именно она служит «разносчиком» энергии по всей системе.Для эффективной раскачки колебаний используется явление резонанса —вынуждающая частота должна совпадать с одной из собственных частотструны (см. (9)). Когда потери энергии в точности компенсируются энергией, поступающей от вибратора, колебания струны становятся стационарными и на ней можно наблюдать стоячие волны.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
