МУ по подготовке к теоретическому экзамену по курсу УМФ (1188233)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Œ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â).ž. ¥âã客 Œ…’Ž„ˆ—…‘Šˆ… “Š€‡€ˆŸŽ Ž„ƒŽ’Ž‚Š…Š ’…Ž…’ˆ—…‘ŠŽŒ“Š‡€Œ…“ Ž Š“‘““€‚…ˆ‰Œ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠŽ‰ ”ˆ‡ˆŠˆŒ®áª¢ , 2010“„Š 517¥æ¥­§¥­â:Œ¥â®¤¨ç¥áª¨¥ 㪠§ ­¨ï ¯® ¯®¤£®â®¢ª¥ ª ⥮à¥â¨ç¥áª®¬ã íª§ ¬¥­ã ¯® ªãàáã ãà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. / ‘®áâ. ¥âã客 .ž. { Œ.: Œ”’ˆ. 2010. { 20 á.à¥¤­ §­ 祭® ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쭮© à ¡®âë áâ㤥­â®¢ âà¥â쥣®ªãàá Œ”’ˆ (ƒ“) ¯à¨ ¯®¤£®â®¢ª¥ ª á¤ ç¥ ãáâ­®£® íª§ ¬¥­ ¯® ªãàáããà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ‘®¤¥à¦¨â ¢®¯à®áë ¨ § ¤ ç¨ ¯®¢á¥¬ ®á­®¢­ë¬ ⥬ ¬ ªãàá .ã¤¥â â ª¦¥ ¯®«¥§­ë¬ ¤«ï ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© ªãàá ãà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨: ª ª ¯à¨ á®áâ ¢«¥­¨¨ § ¤ ­¨© ¯® ªãàáã, â ª ¨¯à¨ ¯à¨ñ¬¥ § ¤ ­¨© ã áâ㤥­â®¢.c°Œ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â), 2010c ¥âã客 .ž., 2010°‘®¤¥à¦ ­¨¥à¥¤¨á«®¢¨¥ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4‚®¯à®áë ¨ § ¤ ç¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. Š« áá¨ä¨ª æ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©¢ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 . . . . . .52. ¥è¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­ëå ãà ¢­¥­¨© ¢ ç áâ­ëå¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 . . . . . . . . . . . . .63. • à ªâ¥à¨á⨪¨ ãà ¢­¥­¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 .

.64. ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ ¢ R2 . 65. Ž¤­®¬¥à­®¥ ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥. . . . . . . . . .76. „¢ã¬¥à­®¥ ¨ âàñ嬥୮¥ ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥. .77. ‘¬¥è ­­ ï § ¤ ç ¤«ï ¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï ¢R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.88. ‡ ¤ ç Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£®â¨¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99. ‘¬¥è ­­ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£®¨«¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ ­ ®â१ª¥. à¨¬¥­¥­¨¥¬¥â®¤ ”ãàì¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .910. ‘¬¥è ­­ ï § ¤ ç ¢ ¯àאַ㣮«ì­®© ®¡« áâ¨. . 1011. Šà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£®â¨¯ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012. Šà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á ¢ ªà㣥.à¨¬¥­¥­¨¥ ¬¥â®¤ ”ãàì¥. . . . . . . . . . . . . . . 1113. ‘¬¥è ­­ ï ­ ç «ì­®-ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¢ ªà㣥.à¨¬¥­¥­¨¥ ä㭪権 ¥áᥫï. . . . . . . . . . . . 1214. ˆ­â¥£à «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï. . . . . . . . . . . . .

1215. ‡ ¤ ç ­ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ᮡá⢥­­ë¥ä㭪樨. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416. ‡ ¤ ç ˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ï. à¨¬¥­¥­¨¥ ä㭪樨ƒà¨­ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417. Œ¥â®¤ ¯®â¥­æ¨ «®¢. . . . . . . . . . . .

. . . . . 1518. ‡ ¤ ç¨ ­ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨. . . . . . . . . 1519. ‚ ਠ樮­­ë¥ § ¤ ç¨. . . . . . . . . . . . . . . 1720. ‡ ¤ ç¨ ­ ®¡®¡éñ­­ë¥ ä㭪樨. . . . . . . . . 18à¥¤¨á«®¢¨¥„ ­­®¥ ¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥ ¯à¥¤­ §­ 祭® ¤«ï áâ㤥­â®¢ âà¥â쥣® ªãàá Œ”’ˆ (ƒ“) ¯à¨ ¯®¤£®â®¢ª¥ ª á¤ ç¥ ãáâ­®£® íª§ ¬¥­ ¯® ªãàáã ãà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ‚¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ®­® ¡ã¤¥â ¯®«¥§­® ¤«ï áâ㤥­â®¢, ª®â®àë¥ ­¥á¯à ¢¨«¨áì ᮠᤠ祩 ãáâ­®£® íª§ ¬¥­ ¢ ®á­®¢­®© áப ¨ £®â®¢ïâáï ª ¯¥à¥íª§ ¬¥­®¢ª¥. ¥à¥á¤ ç íª§ ¬¥­ ¯® ¬ ⥬ ⨪¥¯à®å®¤¨â ¢ ¤¢ íâ ¯ : ¯¥à¢ë© íâ ¯ | ¯¨á쬥­­®¥ â¥áâ¨à®¢ ­¨¥. ‡¤¥áì áâ㤥­â ¢ ¯¨á쬥­­®© ä®à¬¥ ¤®«¦¥­ ®â¢¥â¨âì ­ ¯à¥¤«®¦¥­­ë¥ ¥¬ã ¢®¯à®áë (®¡ëç­® ¨å 6 ¢ ¢ ਠ­â¥).

—⮡ë®â¢¥â¨âì ­ ­¨å, ­ ¤® 㬥âì à¥è âì ¯à®áâë¥ áâ ­¤ àâ­ë¥ § ¤ ç¨, §­ âì ®á­®¢­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨ â¥®à¥¬ë ¨§ ¯à®©¤¥­­®£®ªãàá ãà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ’®£¤ , ¤ ¢ ¯à ¢¨«ì­ë¥ ®â¢¥âë ­ ¡®«ìèãî ç áâì ¢®¯à®á®¢ ¨§ ¢ ਠ­â , áâ㤥­â¯®ª ¦¥â, çâ® ®­ £®â®¢ ª íª§ ¬¥­ã ¨ ¬®¦¥â ¯à®¤®«¦ âì ᤠ¢ âìíª§ ¬¥­ ¤ «ìè¥: ®â¢¥ç âì ­ íª§ ¬¥­¥. ‘«¥¤ã¥â â ª¦¥ ®â¬¥â¨âì, çâ® ®â¢¥âë ­ ¢á¥ ¢®¯à®áë â¥áâ¨à®¢ ­¨ï ¤®«¦­ë ¡ëâ쮡®á­®¢ ­­ë: 㪠§ ­ë ä®à¬ã«ë, ⥮६ë, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­ë, ¯à¨¢¥¤¥­ë ®á­®¢­ë¥ à áçñâ­ë¥ íâ ¯ë à¥è¥­¨ï¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç.‚ ¯®á®¡¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¡®«¥¥ á⠮ਣ¨­ «ì­ëå § ¤ ç ¯®¢á¥¬ ®á­®¢­ë¬ ⥬ ¬ ¨§ ªãàá ãà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ Œ”’ˆ. — áâì íâ¨å § ¤ ç ¯à¥¤« £ « áì áâ㤥­â ¬ ­ ¯¥à¥íª§ ¬¥­®¢ª¥ ¢ 2005{2008 ã祡­ëå £®¤ å. ®à ¡®â ¢ á ¤ ­­ë¬ ¬¥â®¤¨ç¥áª¨¬ ¯®á®¡¨¥¬, áâ㤥­â ¯®¢â®à¨â ¢á¥ ®á­®¢­ë¥â¥¬ë ¨§ ªãàá ãà ¢­¥­¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ¯®í⮬㠯®á®¡¨¥ ¡ã¤¥â ¯®«¥§­ë¬ ¤«ï ¢á¥å áâ㤥­â®¢ âà¥â쥣® ªãàá , ª®â®àë¥ £®â®¢ïâáï ª á¤ ç¥ ãáâ­®£® íª§ ¬¥­ ¯® ¤ ­­®¬ã ¯à¥¤¬¥âã.4‚®¯à®áë ¨ § ¤ ç¨1.

Š« áá¨ä¨ª æ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©¢ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 .1.1. ‚ ª ª®¬ á«ãç ¥ «¨­¥©­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 ®â­®á¨âáï ¢ â®çª¥ x0 ∈ª ) £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®¬ã ⨯ã;¡) ¯ à ¡®«¨ç¥áª®¬ã ⨯ã;¢) í««¨¯â¨ç¥áª®¬ã ⨯ã?1.2. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠(å à ªâ¥à¨á⨪¨) ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ¢ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£®¯®à浪 .21.3. „ ­® ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï (x, t) ∈ Rn+1 : ∂∂tu2 = a2 ∆u,∈ Rn∆u =nP∂2u .i=1∂x2i ) Ž¯à¥¤¥«¨âì ⨯ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥(x0 , t0 ) ∈ Rn+1 .¡) ‚믨á âì ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥.1.4. Ž¯à¥¤¥«¨âì ⨯ ãà ¢­¥­¨ï:2 ) ãà ¢­¥­¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨: ∂u∂t = a ∆u ¤«ï (x0 , t0 ) ∈∈ Rn+1 ;∂u + x ∂u + ex3 , ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ x ∈ Rn .¡) ∆u = ∂x02 ∂x141.5. Ž¯à¥¤¥«¨âì ⨯ ãà ¢­¥­¨ï ¢® ¢á¥å â®çª å (x, y, z) ∈ R3 :,㪠§ âì ⥠¬­®¦¥á⢠¢ R3 , £¤¥ ⨯ ãà ¢­¥­¨ï á®åà ­ï¥âáï(¬­®¦¥á⢠®¡ï§ ⥫쭮 § ¤ âì ­ «¨â¨ç¥áª¨ (à ¢¥­á⢠¬¨¨«¨ ­¥à ¢¥­á⢠¬¨)): ) uxx + uyy + (x2 − 1)uzz = uz ;¡) uxx + xyuyy + ex uzz = 0;¢) sin xuxx + uyy = uz ;£) (x2 + y2 + z 2 − 1)uxx + (2 + cos y)uyy + 3uzz = xux .1.6.

Ž¯à¥¤¥«¨âì ⨯ ãà ¢­¥­¨ï ¨ 㪠§ âì ⥠¬­®¦¥á⢠¯«®áª®á⨠(x, y), ­ ª®â®àëå ®­ á®åà ­ï¥âáï (¬­®¦¥á⢠®¡ï§ ⥫쭮 ­ à¨á®¢ âì ¨«¨ § ¤ âì ­ «¨â¨ç¥áª¨ (à ¢¥­á⢠¬¨ ¨«¨­¥à ¢¥­á⢠¬¨)):5 ) (x2 + y2 − 1)uxx + xyuyy − ux = 0;¡) xuxx + uxy − yuyy = ux ;¢) xuxx − (x + y)uxy + yuyy − uy = 0;£) x2 uxx + xyuxy + uyy = 2uy ;¤) uxx + 2ex uxy + uyy + ex uy = 0;¥) ey uxx + uxy − uyy = ux ;¦) uxx − 3x2 uxy + 2x4 uyy + 2uy = 0;§) 16uxx + 8uxy + uyy − 16ux + 4uy = 0;¨) 9uxx + 6uxy + uyy − 12ux − 4uy = 0;ª) 25uxx + 10uxy + uyy + 20ux + 4uy = 0.2. ¥è¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­ëå ãà ¢­¥­¨© ¢ ç áâ­ëå¯à®¨§¢®¤­ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 .2.1{2.3:  ©â¨ ®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï u(x, y), (x, y) ∈ R2 .2.1. 4xuxy − 3uy = 0;2.2. 2yuxy − uy = 0;2.3. uxy − 2xuy = 0.2.4{2.9:  ©â¨ ®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï u(x, y), ¯à¨¢¥¤ï ¥£®ª ª ­®­¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã:2.4.

uxx − 3uxy + 2uyy = 0;2.5. uxx − uxy − 2uyy = 0;2.6. 49uxx + 28uxy + 3uyy = 0; 2.7. uxx + 12uxy + 27uyy = 0;2.8. 48uxx + 16uxy + uyy = 0; 2.9. 75uxx + 20uxy + uyy = 0.3. • à ªâ¥à¨á⨪¨ ãà ¢­¥­¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 .3.1{3.6:  ©â¨ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ãà ¢­¥­¨ï, (x, y) ∈ R2 .3.1.

uxx − 4uxy + 3uyy = 0;3.2. 2uxx + uxy − uyy = 0;243.3. uxx − 3x uxy + 2x uyy − 2ux = 0;3.4. 3x2 uxx + 2xyuxy − y2 uyy = yux .3.5. xuxx − xuyy + yux = 0; 3.6. y2 uxx − x2 uyy − u = 0.4. ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ ¢ R2 .24.1{4.4: ¥è¨âì § ¤ çã, (x, y) ∈ R4.1.4.3.6 uxy = 0,u(x, 0) = x2 + 1,½ u(0, y) = sin y + 1;uxy = 0,u|x=y = 2y, ux |x=y = 1;4.2.4.4. uxy = 0,u(x, 0) = sin x + 1,y2½ u(0, y) = e + y ;uxy = 0,u|x=y = 2y, ux |x=y = 2y.5.

Ž¤­®¬¥à­®¥ ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥.5.1. ®áâ ¢¨âì § ¤ ç㠊®è¨ ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® ¢®«­®¢®£® ãà ¢-­¥­¨ï ­ ¯àאַ© ¨ ¢ë¯¨á âì ä®à¬ã«ã „ « ¬¡¥à ¤«ï ¥ñ à¥è¥­¨ï (¢ ⮬ ç¨á«¥ 㪠§ âì ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì ¢á¥å ¢å®¤ïé¨å¢ ä®à¬ã«ã ä㭪権).5.2. ®áâ ¢¨âì § ¤ ç㠊®è¨ ¤«ï ­¥®¤­®à®¤­®£® ¢®«­®¢®£®ãà ¢­¥­¨ï ­ ¯àאַ© ¨ ¢ë¯¨á âì ä®à¬ã«ã „î ¬¥«ï ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï à¥è¥­¨ï ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï (¢ ⮬ ç¨á«¥ 㪠§ âì ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì ä㭪権, ¢å®¤ïé¨å ¢ ä®à¬ã«ã).5.3{5.8:  ©â¨ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¯® ä®à¬ã«¥ „ « ¬¡¥à (x ∈∈ R1 ,½t > 0):5.3.5.4.5.5.5.6.5.7.5.8.9utt = uxx ,u|= e3x , ut |t=0 = 2;½ t=04utt = uxx ,u|= sin 2x, ut |t=0 = e−x ;½ t=0utt = 4uxx ,u|= x2 + 1, ut |t=0 = 3x2 ;½ t=0utt = 16uxx ,u|= cos2 x, ut |t=0 = cos2 x;½ t=0utt = 9uxx ,u|= x + e−x , ut |t=0 = e−x ;½ t=05utt = uxx ,u|t=0 = x sin x, ut |t=0 = x cos x2 .5.9{5.10:  ©â¨ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ­¥®¤­®à®¤­®£® ¢®«­®¢®£®ãà ¢­¥­¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ „î ¬¥«ï(x ∈ R1 , t > 0):½½5.9.x ,utt = 4uxx + t +1u|t=0 = ut |t=0 = 0;5.10.utt = a2 uxx + t xt+2 ,u|t=0 = ut |t=0 = 0.6.

„¢ã¬¥à­®¥ ¨ âàñ嬥୮¥ ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥.6.1. ®áâ ¢¨âì § ¤ ç㠊®è¨ ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® ¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï ¢ R2 (R3 ) ¨ 㪠§ âì, ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¥ñ à¥è¥­¨¥¬®¦­® ¢ë¯¨á âì ¯® ä®à¬ã«¥ ã áá®­ (ä®à¬ã«¥ Š¨à壮ä ).226.2{6.7:½ ¥è¨âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ ¢ R (t > 0, (x, y) ∈ R ):6.2.9utt = ∆u,u|t=0 = x2 , ut |t=0 = y;76.3.6.4.6.5.6.6.6.7.½utt = a2 ∆u,y½ u|t=0 =2 sin xe , ut |t=0 = 2;utt = a ∆u,2( u|t=0 = 0, ut |t=0 = (2x + y) ;utt = 41 ∆u,u|= 0, ut |t=0 = (2x − 3y)2 ;½ t=0utt = 4∆u,u|= 4x2 + 5y 2 , ut |t=0 = 0;½ t=0utt = 25∆u,u|t=0 = 5x2 − 6y 2 , ut |t=0 = 0.336.8{6.15:½ ¥è¨âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ ¢ R (t > 0, (x, y, z) ∈ R ):6.8.6.9.6.10.6.11.6.12.6.13.6.14.6.15.utt = 4∆u,u|= xy, ut |t=0 = z;½ t=0 2utt = a ∆u,( u|t=0 = x + y, ut |t=0 = sin z;utt = 41 ∆u,u|= x2 + y 2 + z 2 , ut |t=0 = 0;½ t=0utt = ∆u,u|= sin(x2 + y 2 + z 2 ), ut |t=0 = 0;½ t=0utt = 2∆u,u|= 0, ut |t=0 = (x − 2y + z)2 ;½ t=0utt = 16∆u,u|= x2 + y 2 − z 2 , ut |t=0 = 0;½ t=04utt = ∆u,u|= 2x2 + y 2 − 2z 2 , ut |t=0 = 0;½ t=0utt = 9∆u,u|t=0 = 0, ut |t=0 = (3x + 4y + 2z)2 .7.

‘¬¥è ­­ ï § ¤ ç ¤«ï ¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï ¢ R1 .7.1{7.4:½ ¥è¨âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ (t > 0, x > 0):7.1.7.2.8utt = a2 uxx ,½ u|t=0 = ut |t=0 = 0, u|x=0 = sin t;utt = 4uxx ,u|t=0 = ut |t=0 = 0, ux |x=0 = sin t;7.3.7.4.½9utt = uxx ,u|= ut |t=0 = 0, ux |x=0 = t;½ t=0utt = 2uxx ,u|t=0 = ut |t=0 = 0, ux |x=0 = t2 .8. ‡ ¤ ç Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ .8.1. ) ®áâ ¢¨âì § ¤ ç㠊®è¨ ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï⥯«®¯à®¢®¤­®á⨠¤«ï (x, t) ∈ R2 (¤«ï (x, t) ∈ Rn , n > 1).¡) ‚믨á âì ä®à¬ã«ã ã áá®­ ¤«ï ¥ñ à¥è¥­¨ï ¨ 㪠§ âìãá«®¢¨ï ¥ñ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠(­ £« ¤ª®áâì ¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¥ñä㭪権).28.2{8.5:½ ¥è¨âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ ¤«ï½ (x, y) ∈ R (t > 0):8.2.8.4.9ut = ∆u,u|= (xy)2 ;½ t=0ut = 4∆u,u|t=0 = sin x · sin y;8.6{8.9:½ ¥è¨âì á«¥¤ãî騥8.6.8.7.8.8.ut = 4∆u,u|= sin x + sin y;½ t=0t = ∆u,8.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги