МУ по подготовке к теоретическому экзамену по курсу УМФ (1188233), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

u| = cos θ;18.8. |u| → 0, u|r=R = cos θ;r=Rr→∞½∆u = 0, r < R,18.9. u| = cos2 θ;r=R½∆u = 0, r > R,18.10. |u| → 0, u|r=R = cos2 θ; ) ¢­ãâਠè à r→∞16(18.11.(18.12.18.13.18.14.½∆u = 0, r <³ R,´u|r=R = sin ϕ + π4 sin θ;∆u = 0, r > R,³´|u| → 0, u|r=R = sin ϕ + π4 sin θ;r→∞∆u = 0, r < 1,(u + ur )|r=1 = sin θ cos ϕ + sin2 θ;½∆u = 0, r > 1,|u| → 0, (u − 2ur )|r=R = 1 + sin ϕ sin θ.r→∞19. ‚ ਠ樮­­ë¥ § ¤ ç¨.19.1. „¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë© ®¯¥à â®à L ¨¬¥¥â ¢¨¤Lu = −ddxµ¶dup(x)+ ε(x)u,dxp(x) ∈ C 2 (a; b);a < x < b,(1)ε(x) ∈ C(a, b), p(x) > 0.„ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª¢ ¤à â¨ç­®© ä®à¬ë ®¯¥à â®à L.19.2. ‚믨á âì ª¢ ¤à â¨ç­ãî ä®à¬ã ®¯¥à â®à L, ¥á«¨: ) Lu = −u00 , 0 < x < 1, u ∈ C̊ 1 [0; 1];d (ex · u0 (x)), −1 < x < 1, u ∈ C̊ 1 [−1; 1];¡) Lu = − dxd (x2 u0 (x)) − u(x), 1 < x < 2, u ∈ C̊ 1 [1; 2];¢) Lu = − dxd ((1+x2 )u0 (x))+sin u(x), −1 < x < 1, u ∈ C̊ 2 [−1; 1].£) Lu = − dx19.3.

ãáâì äã­ªæ¨ï u(x) ∈ C̊1 (a; b] ¥áâì ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮­ « ZJ(u) =b(p(x)u02 (x) + ε(x) · u) dx,ap(x) ∈ C 1 (a, b),ε(x) ∈ C(a, b),p(x) > 0.®áâ ¢¨âì § ¤ çã, à¥è¥­¨¥¬ ª®â®à®© ï¥âáï äã­ªæ¨ï u(x).19.4.  ©â¨ inf J(u), ¥á«¨: )¡)¢)u∈DR1J(u) = 0 u02 (x) dx, D = {u(x) ∈ C̊ 1 [0; 1], kuk = 1};RπJ(u) = 0 u02 (x) dx, D = {u(x) ∈ C̊ 1 [0; π], kuk = 1};RπJ(u) = 0 u02 (x) dx, D = {u(x) ∈ C 1 [0; π], u0 (0) = u0 (π) = 0};17£) J(u)= 0}.=R10u02 (x) dx, D = {u(x) ∈ C 1 [0; 1], u(0) = 0, u0 (1) =19.5. ãáâì äã­ªæ¨ï u0 (x) ∈ D ॠ«¨§ã¥â ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮-­ « J(u).  ©â¨ u0 (x), ¥á«¨: R ) D = {u(x) ∈ C̊ 1 [0; 1]}, J(u) = R01 (u02 + 2u) dx;¡) D = {u(x) ∈ C̊1 [0, π]}, J(u) = 0π (u02 − 2u sin x) dx; R¢) D = {u(x) ∈ C 1 (0, π), u(0) = 0 = u0 (π)}, J(u) = 0π (u02 −− 2u cos x) dx;R£) D = {u(x) ∈ C 1 (0, 1), u(0) = 0 = u0 (1)}, J(u) = 01 (u02 ++ 2xu) dx.19.6.

ãáâì äã­ªæ¨ï u0 (x) ∈ D ॠ«¨§ã¥â ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮­ « ZJ(u) = (|∇u|2 + 2f (x)u) dx, £¤¥ x = (x1 , x2 , x3 ),ΩΩ | ®£à ­¨ç¥­­ ï ®¡« áâì ¢ R3 , D = {u(x) ∈ C 1 (Ω), u|∂Ω = ϕ},f (x) ∈ C(Ω). ®áâ ¢¨âì ªà ¥¢ãî § ¤ çã, à¥è¥­¨¥¬ ª®â®à®©ï¢«ï¥âáï u0 (x).19.7. ãáâì äã­ªæ¨ï u0 (x) ∈ D ॠ«¨§ã¥â ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮­ « J(u), x = (x1 , x2 ).  ©â¨ u0 (x), ¥á«¨:R ) D = {u(x) ∈ C 1 (|x| 6 1), u||x|=1 = x1 , J(u) = |x|<1 u02 dx;R¡) D = {u(x) ∈ C 1 (|x| 6 1), u||x|=1 = x21 }, J(u) = |x|<1 (u02 ++ 2u) dx;R¢) D = {u(x) ∈ C 1 (|x| 6 2), u||x|=2 = x1 +x2 , J(u) = |x|<2 u02 dx;R£) D = {u(x) ∈ C 1 (|x| 6 2), u||x|=2 = 0}, J(u) = |x|<2 (u02 +p+ 2 x21 + x22 u) dx.19.8.

 ©â¨ u∈Dinf J(u), ¥á«¨R π 02R ) J(u) =R 0 u dx, D = {u(x) ∈ C̊ 1 (0, π], kuk2 = 0π u2 (x) dx =π= 1, ¨ 0R u(x) sin(kx) dx = 0, k = 1, 2, . . . , };¡) J(u) = 0π (u02 + u2R)dx, D = {u(x) ∈ C 1 (0, π), kuk2 = 1,πu0 (0) = u0 (π) = 1 ¨ 0 u(x) cos kx dx = 0, k = 1, 2, . . . , }.20. ‡ ¤ ç¨ ­ ®¡®¡éñ­­ë¥ ä㭪樨.20.1. ãáâì x ∈ Rn . „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠®á­®¢­ëåä㭪権 D, ¯à®áâà ­á⢠®¡®¡éñ­­ëå ä㭪権 D0 , § ¤ ­­ëå18­ D, â ª¦¥ ¯à®áâà ­á⢠®á­®¢­ëå ¨ ®¡®¡éñ­­ëå ä㭪権¬¥¤«¥­­®£® à®áâ L(Rn ) ¨ L0 (Rn ).20.2.

„ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠®¡®¡éñ­­ëå ä㭪権 {fk (x)}, fk (x) ∈ D0 ; ॣã«ïà­®© ¨ ᨭ£ã«ïà­®© ®¡®¡éñ­­®© ä㭪樨.20.3. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ®¡®¡éñ­­®© ä㭪樨f (x) ∈ D0 , â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®© «î¡®£® ¯®à浪 m, m > 1: f (m) (x).20.4{20.13: ‚ëç¨á«¨âì ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯®à浪 m ®¡®¡éñ­­ëåä㭪権 f (x) ∈ D0 (R1 ): (θ(x) | äã­ªæ¨ï •¥¢¨á ©¤ ).20.4. f (x) = θ(x) sin x, m = 1; 20.5. f (x) = θ(x) cos x, m = 1;20.6. f (x) = x2 θ(x), m = 1, 2;20.7.

f (x) = (1 − cos x)θ(x), m = 1, 2, 3;20.8. f (x) = sign x, m = 1, 2;20.9. f (x) = x sign x, m = 1, 2, 3, . . . ;20.10. f (x) = xθ(x − 1), m = 1;20.11. f (x) = θ(1 − |x|), m = 1, 2, . . . ;20.12. f (x) = xθ(x), m = 1, 2, . . . ;20.13. f (x) = (1 − cos x)2 δ(x), m = 1, 2, . . .20.14. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥ ®¡®¡éñ­­®©ä㭪樨 ¬¥¤«¥­­®£® à®áâ ¨ ®¡à â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥.20.15{20.20:  ©â¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ á«¥¤ãîé¨å ®¡®¡éñ­­ëå ä㭪権 f (x) ∈ D0 (R1 ):20.15. f (x) = δ(x);20.16. f (x) = δ(x − x0 );20.17. f (x) = x3 ;20.18. f (x) = θ(1 − |x|);20.19. f (x) = 1;20.20. f (x) = cos x.20.21. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®¡®¡éñ­­®£® à¥è¥­¨ï «¨­¥©­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï Lu = f (x), â ª¦¥ äã­¤ ¬¥­â «ì­®£® à¥è¥­¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ®¯¥à â®à L: Lu =mP=ak u(k) (x).k=020.22.

‘ä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯®áâ ­®¢ªã ®¡®¡éñ­­®© § ¤ ç¨ Š®è¨¤«ï ¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï á ¨áâ®ç­¨ª®¬ f (x, t) ∈ D0 (R2 ), ¤ â쮯।¥«¥­¨ï ¥ñ äã­¤ ¬¥­â «ì­®£® à¥è¥­¨ï ε(x, t) ¢ë¯¨á âìä®à¬ã«ã ¤«ï ε(x, t) ¨ ä®à¬ã«ã ¤«ï à¥è¥­¨ï ®¡®¡éñ­­®© § ¤ ç¨ Š®è¨.1920.23. ‘ä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯®áâ ­®¢ªã ®¡®¡éñ­­®© § ¤ ç¨ Š®è¨¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ⥯«®¯à®¢®¤­®áâ¨ á ¨áâ®ç­¨ª®¬ f (x, t) ∈∈ D0 (Rn+1 ), ¢ë¯¨á âì ¥ñ äã­¤ ¬¥­â «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ε(x, t) ¨ä®à¬ã«ã ¤«ï à¥è¥­¨ï ®¡®¡éñ­­®© § ¤ ç¨ Š®è¨.20.

Характеристики

Список файлов книги