МУ по подготовке к теоретическому экзамену по курсу УМФ (1188233), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

4uu|t=0 = ex y 2 .§ ¤ ç¨ ¢ R3 (t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ):8.3.9ut = ∆u,u|= x2 + y 2 + z 2 ;½ t=0ut = 2∆u,u|= sin x + sin y + cos z;½ t=0½ut = 4∆u,t = ∆u,8.9. 4uu|t=0 = sin x · sin y · cos z;u|t=0 = xy + z 2 .9. ‘¬¥è ­­ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï£¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¨«¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ ­ ®â१ª¥. à¨¬¥­¥­¨¥ ¬¥â®¤ ”ãàì¥.9.1{9.6: ) ‡ ¯¨á âì ®¡é¨© ¢¨¤ à¥è¥­¨ï á«¥¤ãî饩 § ¤ 稢 ¢¨¤¥ ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ (ä㭪権, § ¢¨áïé¨å ®â x ¨§ ¢¨áïé¨å ®â t);¡) “ª § âì ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì ä㭪権 f (x),g(x), F (x, t);¢) ‚ëç¨á«¨âì ¢ ­ñ¬ ¢á¥ ä㭪樨, § ¢¨áï騥 ®â x (ä㭪樨,§ ¢¨áï騥®â t, ¢ëç¨á«ïâì ­¥ ­ ¤®):½9.1.utt = a2 uxx , t > 0, 0 < x < π,u|t=0 = f (x), ut |t=0 = g(x), u|x=0 = 0 = ux |x=π ;99.2.9.3.9.4.9.5.9.6.½utt = 4uxx + 4u + cos t, t > 0, 0 < x < 1,u|= f (x), ut |t=0 = g(x), ux |x=0 = 0 = ux |x=1 ;½ t=04utt = uxx + F (x, t), t > 0, 0 < x < 2,½ u|t=0 = f (x), ut |t=0 = g(x), ux |x=0 = 0 = ux |x=2 ;utt = 9uxx + F (x, t), t > 0, 0 < x < 2,u|½ t=0 =2 f (x), ut |t=0 2=t g(x), u|x=0 = 0 = u|x=2 ;ut = a uxx − 3u + x e , t > 0, 0 < x < 1,u|½ t=0 = f (x), ux |x=0 = 0 = u|x=1 ;9ut = uxx + F (x, t), t > 0, 0 < x < 3,u|t=0 = f (x), ux |x=0 = u|x=3 = 0.10.

‘¬¥è ­­ ï § ¤ ç ¢ ¯àאַ㣮«ì­®© ®¡« áâ¨.à¨¬¥­¥­¨¥ ¬¥â®¤ ”ãàì¥.10.1{10.4: ) ‡ ¯¨á âì ®¡é¨© ¢¨¤ à¥è¥­¨ï á«¥¤ãî饩 § ¤ 稢 ¢¨¤¥ ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ (ä㭪権, § ¢¨áïé¨å ®â x, § ¢¨áïé¨å ®â y ¨ § ¢¨áïé¨å ®â t),¡) ‚ëç¨á«¨âì ¢ ­ñ¬ ¢á¥ ä㭪樨, § ¢¨áï騥 ®â x ¨ § ¢¨áï騥®â y (ä㭪樨, § ¢¨áï騥 ®â t ¢ëç¨á«ïâì ­¥ ­ ¤®):10.1.10.2.10.3.10.4. utt = a2 ∆u, t > 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1,u|= 2xy, ut |t=0 = 0, t=0u| x=0 = u|x=1 = 0, u|y=0 = u|y=1 = 0; utt = 4∆u + xyt, t > 0, 0 < x < 1, 0 < y < π,u|t=0 = 0, ut |t=0 = y,½ ux |x=0 = ux |x=1 = 0, u|y=0 = u|y=π = 0;9ut = ∆u, t > 0, 0 < x < 1, 0 < y < 2,u|= x + y, u|x=0 = ux |x=1 = 0, u|y=0 = u|y=2 = 0;½ t=0ut = 25∆u, t > 0, 0 < x < π, 0 < y < 2π,u|t=0 = xy, ux |x=0 = u|x=π = 0, u|y=0 = uy |x=2π = 0.11.

Šà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï í««¨¯â¨ç¥áª®£®â¨¯ .11.1. ®áâ ¢¨âì ¢­ãâ७­îî (¢­¥è­îî) § ¤ ç㠄¨à¨å«¥ ¤«ïãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á ¢ R3 , 㪠§ âì ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ®­ ¨¬¥¥â à¥è¥­¨ï.11.2. ®áâ ¢¨âì ¢­ãâ७­îî (¢­¥è­îî) § ¤ ç㠍¥©¬ ­ ¤«ïãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á ¢ R3 , 㪠§ âì ãá«®¢¨ï, ¯à¨ ª®â®àëå ®­ ¨¬¥¥â à¥è¥­¨¥.1011.3. ‘ä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६㠮 á।­¥¬ ¤«ï £ ମ­¨ç¥áª¨åä㭪権, ®¡ï§ ⥫쭮 㪠§ âì ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì ä㭪権.11.4. ‘ä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯à¨­æ¨¯ ¬ ªá¨¬ã¬ ¬®¤ã«ï ¤«ï £ ମ­¨ç¥áª¨å ä㭪権, ®¡ï§ ⥫쭮 㪠§ âì ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï­ £« ¤ª®áâì ä㭪権.11.5.

‘ä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯¥à¢ãî ¨ ¢â®àãî ä®à¬ã«ë ƒà¨­ , ®¡ï§ ⥫쭮 㪠§ âì ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì ä㭪権.12. Šà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á ¢ ªà㣥.à¨¬¥­¥­¨¥ ¬¥â®¤ ”ãàì¥.12.1{12.4: ¥è¥­¨¥ á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¨ § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ (ä㭪権, § ¢¨áïé¨å ®â r ¨ § ¢¨áïé¨å ®âϕ) p¨ 㪠§ âì ¢ ­ñ¬ ®¡é¨© ¢¨¤ íâ¨å ä㭪権 ((x, y) ∈ R2 , r == x½2 + y 2 , x = r cos ϕ, y = r sin ϕ):12.1.12.2.12.3.12.4.∆u = 0, r < R,u|= cos4 ϕ;½ r=R∆u = 0, r > 2,(u + 2ur )|r=2 = ϕ2 , |u||r=∞ < ∞;½∆u = 0, 1 < r < 2,u|= sin2 ϕ + cos3 ϕ, u|r=2 = 0;½ r=1∆u = 0, 2 < r < 4,u|r=2 = 0, ur |r=4 = ϕ.12.5{12.10:¥è¨âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ ((x, y)p22= x + y , x = r cos ϕ, y = r sin ϕ):½12.5.12.6.12.7.12.8.12.9.∈ R2 , r =∆u = 0, r < 2,u|= 3 + sin ϕ;( r=2∆u = 0, r > 1,³´|u(r, ϕ)||r=∞ < ∞, ur |r=1 = sin ϕ + π4 ;½∆u = 0, r < R,(u + ur )|r=R = 2 cos ϕ;½∆u = 0, r > 2,u|= cos2 ϕ, |u(r, ϕ)||r=∞ < ∞;( r=2∆u = 0, r < 10, ³´(u + 3ur )|r=10 = cos ϕ − π6 ;1112.10.½∆u = 0, r > 3,ur |r=3 = 2 − sin2 ϕ, |u(r, ϕ)||r=∞ < ∞.13.

‘¬¥è ­­ ï ­ ç «ì­®-ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¢ ªà㣥.à¨¬¥­¥­¨¥ ä㭪権 ¥áᥫï.13.1{13.4: ) ¥è¥­¨¥ á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¨ § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ á à §¤¥«ñ­­ë¬¨ ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ (ä㭪権, § ¢¨áïé¨å ®â t, § ¢¨áïé¨å ®â r ¨ § ¢¨áïé¨å ®â ϕ);¡) 㪠§ âì ¢ ­ñ¬ ®¡é¨© ¢¨¤ ä㭪権, § ¢¨áïé¨å ®â r ¨ § ¢¨áïé¨å ®â ϕ (ä㭪樨, § ¢¨áï騥 ®â t, ¢ëç¨á«ïâì ­¥ ­ ¤®);¢) 㪠§ âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ª®â®à®¬ã 㤮¢«¥â2¢®àï¥âp äã­ªæ¨ï ¥áᥫï J0 (x): (t > 0, (x, y) ∈ R ; r == x2 + y 2 ; x = r cos ϕ, y = r sin ϕ).½13.1.13.2.utt = a2 ∆u, t > 0, r < 1,u|= 0, u|t=0 = r2 sin ϕ, ut |t=0 = 0;( r=14utt = ∆u, t > 0, r ³< 1, ´(0)(0)u|r=1 = 0, u|t=0 = J0 µ1 r , ut |t=0 = 0, µ1| ¯®«®-¦¨â¥«ì­ë©­®«ì ä㭪樨 J0 (x);(13.3.ut = 4∆u, t > 0, r <³ 2, ´(1)(1)u|r=2 = 0, u|t=0 = J1 µ2 2r sin ϕ, µ2| ¯®«®¦¨â¥«ì-­ë© ­®«ìä㭪樨 J1 (x);(13.4.utt = ∆u, t > 0, r <³2,´³´(2)(0)u|r=2 = 0, u|t=0 = J0 µ1 2r , ut |t=0 J2 µ1 2r cos 2ϕ,| ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ­®«ì ä㭪樨⥫ì­ë© ­®«ì J2 (x).(0)µ1J0 (x), µ1(2)| ¯®«®¦¨-14.

ˆ­â¥£à «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï.14.1. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ï¤à , ᮡá⢥­­®© ä㭪樨 u å à ªâ¥-à¨áâ¨ç¥áª®£® ç¨á« ¤«ï ¨­â¥£à «ì­®£® ®¯¥à â®à ”।£®«ì¬ .14.2. „«ï ¨­â¥£à «ì­®£® ®¯¥à â®à ”।£®«ì¬ ¤ ­® K(x, y),(x, y) ∈ R2 ; ) 㪠§ âì K ∗ (x, y);¡) 㪠§ âì, ï¥âáï «¨ K(x, y) íନ⮢ë¬;12¢) 㪠§ âì, ï¥âáï «¨ K(x, y) ¢ë஦¤¥­­ë¬:½K(x, y) = 1) x − y 3 x;4) ex+y2) xy − x2 y 2 ;5) sin(x − y);6) exy ;3) y cos x − sin y;7) cos(xy);18);x+y¾19).(x − y)314.3{14.7: ‚ á«¥¤ãîé¨å § ¤ ç å ¤ ­® ¨­â¥£à «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥;£) ¢ë¯¨á âì K(x, y);¤) ¢ë¯¨á âì ᮯàï¦ñ­­®¥ ®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥;¥) 㪠§ âì ®¡é¨©ä®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ϕ(x):R 1 ¢¨¤14.3. ϕ(x) = λ −1(xe−x sh y + sin xy 4 ) cos yϕ(y) dy + f (x);R14.4. ϕ(x) = λ R02 (xy − ex sh y)ϕ(y) dy + x3 ;14.5.

ϕ(x) = λ 01 sin(x+ 3y)ϕ(y) dy + cos x;R 2 ³ ex−y + sin x ´14.6. ϕ(x) = λ 1ϕ(y) dy + x2 ;xR³´114.7. ϕ(x) = λ −1xy + x +2 3y ϕ(y) dy + 2x.14.8. „«ï ¨­â¥£à «ì­®£® ®¯¥à â®à ”।£®«ì¬ ¤ ­®:K(x, y) = 1 ((x, y) ∈ [0; 1]). ©â¨ ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« í⮣® ®¯¥à â®à .14.9{14.12: ‚ á«¥¤ãîé¨å § ¤ ç å ¤ ­® ¨­â¥£à «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥; ) ¢ë¯¨á âì K ∗ (x, y);¡) áä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६㠔।£®«ì¬ ® ­¥®¡å®¤¨¬®¬ ¨ ¤®áâ â®ç­®¬ ãá«®¢¨¨ à §à¥è¨¬®á⨠í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨ ¤ ­­®© ä㭪樨⥮६㠔।£®«ì¬ ):R 2 f (x) (âà¥âìîx14.9.

ϕ(x) = λ R0 (xy + e sh y)ϕ(y) dy + f (x);14.10. ϕ(x) = λ R01 cos(x + 3y)ϕ(y) dy + f (x);1 x−y14.11. ϕ(x) = λ −1e ϕ(y) dy + f (x);R −1 ³ cos(x − y) + sin x ´14.12. ϕ(x) = λ −2ϕ(y) dy + f (x).x1315. ‡ ¤ ç ­ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ᮡá⢥­­ë¥ä㭪樨.15.1.  ©â¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ä㭪樨 y(x) ¤«ï ®¯¥à â®à Ly =hi= −y 00 ­ ®â१ª¥ 0; π6³ ´y π6 = 0., 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬:y(0) = 0,15.2.  ©â¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 y(x) ¤«ï ®¯¥à â®à Ly == −y 00 ­ y 0 (1) = 0.®â१ª¥ [0; 1], 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬:y(0) = 0,15.3.

 ©â¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 y(x) ¤«ï ®¯¥à â®à Ly == −y 00 ­ ®â१ª¥ [0; π],y 0 (π) + y(π) = 0.㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬:y 0 (0) = 0,= −y 00 ­ ®â१ª¥ 41 ; 12³ ´= y 0 21 = 0., 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬:15.4.  ©â¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ä㭪樨 y(x) ¤«ï ®¯¥à â®à ³ Ly´ =ih15.5.  ©â¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥hiä㭪樨Ly =­ ®â१ª¥³ ´y 0 π2 = y(π) = 0.−y 00π ;π2y 14 =¤«ï ®¯¥à â®à , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬:y(x)15.6.  ©â¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ä㭪樨 y(x) ¤«ï ®¯¥à â®à Ly =hi= −y 00 ­ ®â१ª¥ 0; π4³ ´³ ´y π4 − y 0 π4 = 0., 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨ï¬:y(0) = 0,16.

‡ ¤ ç ˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ï. à¨¬¥­¥­¨¥ ä㭪樨ƒà¨­ .16.1. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®¯¥à â®à ˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ï. “ª -§ âì ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì ¨ §­ ª®®¯à¥¤¥«ñ­­®áâì (¥á«¨ ­ ¤®)¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¥£® ä㭪権.16.2. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ä㭪樨 ƒà¨­ § ¤ ç¨ ˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ï ¨ 㪠§ âì ®¡é¨© ¢¨¤ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¥ñ ¢ëç¨á«¥­¨ï.16.4{16.7:  ©â¨ ä㭪樨 ƒà¨­ ®¯¥à â®à ˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ïL:½½16.3.14Ly = −y 00 , 0 < x < 1,y(0) = y(1) = 0;16.4.Ly = −y 00 , 0 < x < 2,y(0) = y 0 (2) = 0;16.5.16.6.½Ly = −y 00 + y, 0 < x < 1,0= 0, y(1) = 0;½ y(0) + y (0)Ly = −y 00 + 4y, 0 < x < 1,2y(0) − y 0 (0) = 0, y 0 (1) = 0.16.8{16.11: ) ‘ ¯®¬®éìî ä㭪樨 ƒà¨­ ᢥá⨠§ ¤ çã˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ï ª ¨­â¥£à «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î;¡) 㪠§ âì ®¡é¨© ¢¨¤ ä㭪樨 ƒà¨­ (â®ç­® ¢ëç¨á«ïâì äã­ªæ¨î½ ƒà¨­ ­¥ ­ ¤®):16.7.16.8.16.9.16.10.−y 00 = λy, 0 < x < 2,= y(2) = 0;½ y(0)−y 00 + xy = λy + x3 , 1 < x < 2,0, y 0 (2) = 0;½ y(1)2 =00−x y − 2xy 0 = λy, 1 < x < 2,+ y 0 (1) = 0, y(2) = 0;½ y(1)−ex y 00 − ex y 0 + x3 y = λy + sin x, 0 < x < 1,y(0) + 2y 0 (0) = 0, y 0 (1) = 0.17.

Œ¥â®¤ ¯®â¥­æ¨ «®¢.17.1. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®¡êñ¬­®£® ¯®â¥­æ¨ « ¢ R3 ¨ ¯¥à¥ç¨á«¨âì ¥£® ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠.17.2. ) „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®¢¥àå­®áâ­®£® ¯®â¥­æ¨ « ¯à®á⮣® á«®ï¢ R3 ;¡) 㪠§ âì ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ­ £« ¤ª®áâì § ¤ îé¨å ¥£®ä㭪権 ¨ ­ £« ¤ª®áâì ¯®¢¥àå­®áâ¨;¢) ¯¥à¥ç¨á«¨âì ¥£® ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠.17.3. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®¡êñ¬­®£® ¯®â¥­æ¨ « ¢ R3 ¨ ¯¥à¥ç¨á«¨âì ¥£® ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠.18.

‡ ¤ ç¨ ­ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨.18.1. ‚믨á âì ä®à¬ã«ã ¤«ï ®¯¥à â®à ‹ ¯« á ∆u ¢ áä¥à¨-ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å (r, ϕ, θ) ((x,py, z) ∈ R3 , x = r cos ϕ sin θ, y == r sin ϕ sin θ, z = r cos θ, r = x2 + y 2 + z 2 , ϕ ∈ [0; 2π], θ ∈∈ [0, π]).18.2. ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á ∆u = 0 ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å ­ 室ïâ ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå: u(r, ϕ, θ) == Z(r)Y (ϕ, θ).15 ) ‚믨á âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ä㭪権 Z(r)¨ Y (ϕ, θ);¡) ãáâì Y (ϕ, θ) = Φ(ϕ)X(θ). ‚믨á âì ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ä㭪樨 Φ(ϕ), à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï, ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ä㭪樨 X(θ).18.3.

„ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®«¨­®¬ ‹¥¦ ­¤à Pn (ξ), n = 0, 1,2, . . . , ¢ë¯¨á âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ª®â®à®¬ã ®­ã¤®¢«¥â¢®àï¥â, ¢ëç¨á«¨âì â ª¦¥Z1−1Pn (ξ)Pm (ξ) dξ,n 6= m.18.4. „ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®«¨­®¬ ‹¥¦ ­¤à Pn (ξ), n = 0, 1, 2,. . . ¨ ¯à¨á®¥¤¨­ñ­­ëå ¯®«¨­®¬®¢ ‹¥¦ ­¤à Pn(m) (ξ), m = 0, 1,. . . , n.18.5. ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ‹ ¯« á ∆u = 0 ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å ­ 室ïâ ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå: u(r, ϕ, θ) =∞P=Zn (r)Yn (ϕ, θ). ‚믨á âì ä®à¬ã«ë ¤«ï Zn (r) ¨ Yn (ϕ, θ).n=018.6. ‚믨á âì ä®à¬ã«ã ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ „¨à¨å«¥u(r, ϕ, θ):½∆u = 0, r < R,u|r=R = f (ϕ, θ);½∆u = 0, r > R,¡) ¢­¥ è à |u| |r>∞ < ∞, u|r=R = f (ϕ, θ);½∆u = 0, R1 < r < R2 ,¢) ¢ áä¥à¨ç¥áª®¬ á«®¥ u|r=R1 = f (ϕ, θ), u|r=R2 = f (ϕ, θ).18.7{18.14: ¥è¨âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨: ((x,py, z) ∈ R3 , x == r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ, r = x2 + y 2 + z 2 ):½½∆u = 0, r > R,∆u = 0, r < R,18.7.

Характеристики

Список файлов книги