Учебник - О некоторых понятиях теории вероятностей - Широков (1188222)
Текст из файла
ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ðîññèéñêîé ôåäåðàöèèÔåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþÃîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåÂûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÌîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)Ì.Å. ØèðîêîâÎ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÏÎÍßÒÈßÕ ÒÅÎÐÈÈÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉÌîñêâà, 2010Ñîñòàâèòåëü Ì.Å. ØèðîêîâÓÄÊ 517Ðåöåíçåíò: Àìîñîâ Ã.Ã., ä.ô.-ì.í., äîöåíòÎ íåêîòîðûõ ïîíÿòèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåéÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå. Ì.: ÌÔÒÈ, 2010.
30 ñ.c Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò°(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò), 2010c Ì.Å. Øèðîêîâ, ñîñòàâëåíèå 2010°Ñîäåðæàíèå1.Àëãåáðû è σ -àëãåáðû . . . . . . . . . . .1.1.Àëãåáðû . . . . . . . . . . . . . .1.2.σ -àëãåáðû . . . . . . . . . . . . . .1.3.σ -àëãåáðû áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ2.Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî .
. . . . . .3.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . .Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3............................4411162123301. Àëãåáðû è σ -àëãåáðûÊëþ÷åâûìè â àêñèîìàòèêå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ àëãåáðû è σ -àëãåáðû ñîáûòèé. Äàííûé ðàçäåëïîñâÿùåí äåòàëüíîìó ðàññìîòðåíèþ ýòèõ ïîíÿòèé.1.1. ÀëãåáðûÏóñòü Ω ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî áóäåì îáîçíà÷àòü ïåðåìåííîé ω . Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñèìâîëû A, B , C ,.
. . , à äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñåìåéñòâ1 òàêèõ ïîäìíîæåñòâ ñèìâîëû A, B, C . . . , Ñåìåéñòâî, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ A, B, C(ñîîòâåòñòâåííî èç ìíîæåñòâ Ai , i = 1, n), áóäåì îáîçíà÷àòü{A, B, C} (ñîîòâåòñòâåííî {Ai }ni=1 ).Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïåðåñå÷åíèé è îáúåäèíåíèé ìíîæåñòâèñïîëüçóþòñÿ ñòàíäàðòíûå ñèìâîëû ¾∩¿ è ¾∪¿. Îáúåäèíåíèå ëþáîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿP ñóììîé ýòèõ ìíîæåñòâ è îáîçíà÷àåòñÿ A + B + Cèëè i Ai . Äîïîëíåíèå ïîäìíîæåñòâà A ⊆ Ω, ò.å. ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, íå âõîäÿùèõâ A, îáîçíà÷àåòñÿ A.Îïðåäåëåíèå 1. Ñåìåéñòâî A ïîäìíîæåñòâ ìíîæå-ñòâà Ω íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé, åñëè îíî ñîäåðæèò ∅ è Ω èâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A èç A åãî äîïîëíåíèå A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñåìåéñòâà A;2) äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A è B èç A èõ ïåðåñå÷åíèå A ∩ Bè îáúåäèíåíèå A ∪ B ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ñåìåéñòâàA.1Ìíîæåñòâ, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà Ω (òåðìèí ¾ñåìåéñòâî¿ èñïîëüçóåòñÿ êàê ñèíîíèì òåðìèíà ¾ìíîæåñòâî¿ äëÿ èçáåæàíèÿ âûðàæåíèé òèïà ¾ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ¿).4Çàìåòèì, ÷òî â óñëîâèè 2) â äàííîì îïðåäåëåíèè äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü ïðèíàäëåæíîñòü ñåìåéñòâó A ëèáî òîëüêîïåðåñå÷åíèé ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ èç A, ëèáî òîëüêî îáúåäèíåíèé òàêèõ ìíîæåñòâ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè, íàïðèìåð,A∩B ∈ A äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A è B èç A, òî â ñèëó óñëîâèÿ1) èìååì A ∪ B = A ∩ B ∈ A.Òàêèì îáðàçîì, ñåìåéñòâî A ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, åñëè îíîñîäåðæèò ∅ è Ω è ÿâëÿåòñÿ ¾çàìêíóòûì¿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé äîïîëíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ (îáúåäèíåíèÿ) â òîì ñìûñëå, ÷òî, ïðèìåíÿÿ ýòè îïåðàöèè ê ìíîæåñòâó èëè ïàðå ìíîæåñòâ èç A, íåëüçÿ ïîëó÷èòü ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ ýëåìåíòîì A.Ïðèìåð 1. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð àëãåáðû ïîäìíîæåñòâïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ýòî ñåìåéñòâî, ñîñòîÿùåå èçäâóõ ýëåìåíòîâ ∅ è Ω. Òàêóþ àëãåáðó áóäåì íàçûâàòü áåäíåéøåé àëãåáðîé ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω (ïî ïîíÿòíûìïðè÷èíàì) è îáîçíà÷àòü Amin (Ω).Ïðèìåð 2.
Äðóãîé, â îïðåäåëåííîì ñìûñëå, ïðîòèâîïî-ëîæíûé ïðèìåð àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ýòî ñåìåéñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ âîçìîæíûõïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω. Òàêóþ àëãåáðó áóäåì íàçûâàòüáîãàòåéøåé àëãåáðîé ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω (ïî ñòîëüæå ïîíÿòíûì ïðè÷èíàì) è îáîçíà÷àòü Amax (Ω).Ïðèìåð 3.
Ïðèìåð àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω, áîëåå áîãàòîé, ÷åì Amin (Ω), íî â îáùåìñëó÷àå íå ñîâïàäàþùåé ñ Amax (Ω), ìîæíî ïîñòðîèòü, çàôèêñèðîâàâ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî A ⊂ Ω, îòëè÷íîå îò ∅è Ω. Ñåìåéñòâî {A}, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâî A, àëãåáðîé íå ÿâëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó íåñîäåðæèò ∅ è Ω. Äîáàâëåíèå ýòèõ äâóõ ýëåìåíòîâ íå ñïàñàåòïîëîæåíèÿ: ñåìåéñòâî {∅, A, Ω} òàêæå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò ìíîæåñòâî A, íî íå ñîäåðæèò åãîäîïîëíåíèå A.
À âîò ñåìåéñòâî {∅, A, A, Ω} óæå îáëàäà5åò âñåìè ñâîéñòâàìè àëãåáðû. Òàêóþ àëãåáðó ïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà Ω áóäåì íàçûâàòü àëãåáðîé, ïîðîæäåííîé ïîäìíîæåñòâîì A ⊂ Ω, è îáîçíà÷àòü α({A}).Çàäà÷à 1. Îõàðàêòåðèçîâàòü ìíîæåñòâî Ω, äëÿ êîòîðîãîa) Amin (Ω) = Amax (Ω);b) α({A}) = Amax (Ω) ïðè íåêîòîðîì A ⊂ Ω.Ïîñëåäíèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äîáàâëåíèå íåêîòîðûõ íîâûõ ïîäìíîæåñòâ ê èñõîäíîìó ñåìåéñòâó ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, ïðåâðàùàåò ýòî ñåìåéñòâî â àëãåáðó. Íèæå ìû óâèäèì (ñëåäñòâèå1), ÷òî äëÿ ëþáîãî ñåìåéñòâà ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãîìíîæåñòâà Ω ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé íàáîð ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω, äîáàâëåíèå êîòîðûõ ê ýòîìó ñåìåéñòâó ïðåâðàùàåò åãî â àëãåáðó.Çàäà÷à 2.
Óêàçàòü ìèíèìàëüíûé íàáîð ïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà Ω, êîòîðûå íåîáõîäèìî äîáàâèòü ê ñåìåéñòâó {A,B}, ñîñòîÿùåìó èç íåñîâïàäàþùèõ ïîäìíîæåñòâ A è B ìíîæåñòâà Ω, îòëè÷íûõ îò ∅ è Ω, äëÿ ïðåâðàùåíèÿ ýòîãî ñåìåéñòâà â àëãåáðó.Ïðèâåäåííûå âûøå ïðèìåðû àëãåáð íîñèëè óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, ò.å. íå çàâèñåëè îò ïðèðîäû ìíîæåñòâà Ω.Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà àëãåáð ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ωêîíêðåòíîãî âèäà.Ïðèìåð 4. Ïóñòü Ω = N. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñåìåé-ñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà N,êîòîðûå ëèáî êîíå÷íû (ò.å. ñîñòîÿò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë), ëèáî èìåþò êîíå÷íîå äîïîëíåíèå, îáðàçóþòàëãåáðó.Ïðèìåð 5. Ïóñòü Ω = [0, 1]. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ïîä-ìíîæåñòâ îòðåçêà [0, 1], ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îáúåäèíåíèåêîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîìåæóòêîâ âèäà [a, b], (a, b), [a, b), (a, b].6Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííîå ñåìåéñòâî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé.Ââåäåì ñëåäóþùåå âàæíîå ïîíÿòèå.Îïðåäåëåíèå 2.
Ïóñòü A àëãåáðà ïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà Ω. Ñåìåéñòâî B ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ωíàçûâàåòñÿ ïîäàëãåáðîé àëãåáðû A, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) ñåìåéñòâî B ÿâëÿåòñÿ ïîäñåìåéñòâîì àëãåáðû A, ò.å.èç A ∈ B ñëåäóåò A ∈ A;2) ñåìåéñòâî B ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1. ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ àëãåáðà Amin (Ω) ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé àëãåáðû α({A}), êîòîðàÿ ñàìà ÿâëÿåòñÿïîäàëãåáðîé àëãåáðû Amax (Ω). Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ àëãåáðàïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé àëãåáðûAmax (Ω).Îáðàòèì âíèìàíèå íà àíàëîãèþ ìåæäó ïîíÿòèÿìè àëãåáðû è åå ïîäàëãåáðû è ïîíÿòèÿìè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è åãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíûëèíåéíûå îïåðàöèè (ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî) òàêèì îáðàçîì, ÷òî èõ ïðèìåíåíèå ê ëþáûì ýëåìåíòàì äàííîãî ìíîæåñòâà äàåò íåêîòîðûé ýëåìåíò òîãî æå ìíîæåñòâà.Ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå ¾çàìêíóòî¿îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ îïåðàöèé â òîì ñìûñëå, ÷òî, ïðèìåíÿÿ ëèíåéíûå îïåðàöèè ê ýëåìåíòàì ýòîãî ïîäìíîæåñòâà,íåëüçÿ ïîëó÷èòü ýëåìåíò, åìó íå ïðèíàäëåæàùèé.Òàêèì îáðàçîì, îáùèì â îïðåäåëåíèÿõ àëãåáðûïîäàëãåáðû è ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà-ïîäïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãîíàáîðà îïåðàöèé.
 ïåðâîì ñëó÷àå ýòî îïåðàöèè äîïîëíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ, âî âòîðîì 7ëèíåéíûå îïåðàöèè. Ìû â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòüäàííóþ àíàëîãèþ, ñ÷èòàÿ, ÷òî ëèíåéíàÿ àëãåáðà õîðîøîçíàêîìà ÷èòàòåëþ.Ïîñêîëüêó àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà Ωïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñåìåéñòâà, ò.å. ìíîæåñòâà, ñ íèìè ìîæíî ïðîâîäèòü òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè, ò.å. îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ, îáúåäèíåíèÿ è ò.ä.
Âàæíåéøåé ñðåäèíèõ ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ è áîëüøåãî ÷èñëààëãåáð, êîòîðîé ìû ïîñâÿòèì îòäåëüíîå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü {Aλ }λ∈Λ ïðîèçâîëüíûé íàáîðàëãåáð ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω, èíäåêñèðóåìûõíåêîTòîðûì ïàðàìåòðîì λ ∈ Λ. Ïåðåñå÷åíèåì λ∈Λ Aλ ýòîãîíàáîðà àëãåáð íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî, êîòîðîå ñîñòîèò èçïîäìíîæåñòâ, ïðèíàäëåæàùèõ âñåì àëãåáðàì äàííîãî íàáîðà, ò.å.\A∈Aλ ⇔ A ∈ Aλ ∀λ ∈ Λ.λ∈ΛÄëÿ ïîíèìàíèÿ ñóòè äàííîé îïåðàöèè ïîëåçíî ðàçîáðàòüñÿ â ñëåäóþùåì ïðèìåðå.Ïðèìåð 6. Ïóñòü Ω = [0, 1]×[0, 1] åäèíè÷íûé êâàäðàòíà ïëîñêîñòè.
Ðàññìîòðèì äâå àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ ýòîãîêâàäðàòà.Àëãåáðà Cv âñåõ âåðòèêàëüíûõ öèëèíäðîâ ýòî ñåìåév = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ [0, 1]}, ãäåñòâî ìíîæåñòâ âèäà CAA ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî îòðåçêà [0, 1]. Òî, ÷òî ýòîñåìåéñòâî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, íåòðóäíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäv = C v è C v ∩C v = C vñòâåííî, çàìåòèâ, ÷òî CAAA0A∩A0 äëÿ ëþáûõA0ïîäìíîæåñòâ A è A îòðåçêà [0, 1], è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñåìåéñòâî âñåõ òàêèõ ïîäìíîæåñòâ îáðàçóåò àëãåáðó Amax ([0, 1]).Àëãåáðà Ch âñåõ ãîðèçîíòàëüíûõ öèëèíäðîâ ýòî ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ âèäà CBh = {(x, y) | x ∈ [0, 1], y ∈ B}, ãäå B ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî îòðåçêà [0, 1].8Âîïðîñ: èç êàêèõ ìíîæåñòâ ñîñòîèò ñåìåéñòâî Cv ∩ Ch ?Ñòàíäàðòíûé íåïðàâèëüíûé îòâåò: äàííîå ñåìåéñòâî ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ âèäà A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B},ò.å.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
