Учебник - О некоторых понятиях теории вероятностей - Широков (1188222), страница 2
Текст из файла (страница 2)
¾êâàäðàòèêîâ¿ ñ ïðîèçâîëüíûìè ñòîðîíàìè A ⊆ [0, 1] èB ⊆ [0, 1]. Îøèáêà ñâÿçàíà ñ ïåðåíîñîì îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñàìèõ àëãåáð íà èõ ýëåìåíòû. Ïåðåñå÷åíèå àëãåáð ýòî íå åñòü ñåìåéñòâî, ñîñòàâëåííîå èç ïåðåñå÷åíèé ýëåìåíòîâ ýòèõ àëãåáð! Ñëàáûì îïðàâäàíèåì ýòîé îøèáêè ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ìíîæåñòâ ðàçíîé ïðèðîäû â ðàññìàòðèâàåìûõ êîíñòðóêöèÿõ (êàæäàÿ àëãåáðà ýòî ìíîæåñòâî, ñàìîñîñòàâëåííîå èç ìíîæåñòâ), à çíà÷èò, è äâóõ ðàçíûõ îïåðàöèé ïåðåñå÷åíèÿ.Íà ñàìîì äåëå ñåìåéñòâî Cv ∩ Ch ñîñòîèò âñåãî èç äâóõìíîæåñòâ ∅ è Ω = [0, 1] × [0, 1], ïîñêîëüêó òîëüêî ýòè ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíûìè è ãîðèçîíòàëüíûìè öèëèíäðàìè îäíîâðåìåííî. ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå ïåðåñå÷åíèå äâóõ àëãåáðCv è Ch ñàìî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé.
Ýòî íå ñëó÷àéíî!Òåîðåìà 1. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî íàáîðà àëãåáð ïîäìíî-æåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {Aλ }λ∈Λ ïðîèçâîëüíûé íà-áîð àëãåáðT ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω. Ïî îïðåäåëåíèþ ñåìåéñòâî λ∈Λ Aλ ñîäåðæèò ∅ è Ω.TÏóñòü A è B ëþáûå äâà ìíîæåñòâà èç λ∈Λ Aλ . Ïîîïðåäåëåíèþ ïðè êàæäîì λ ∈ Λ èìååì A ∈ Aλ è B ∈ Aλ ,à çíà÷èò, è A ∩ B ∈ Aλ , ïîñêîëüêó ATλ àëãåáðà. Ñëåäîâàòåëüíî, A ∩ B ýëåìåíò ñåìåéñòâà λ∈Λ AλT.ÒàêT æå ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî èç A ∈ λ∈Λ Aλ ñëåäóåòA ∈ λ∈Λ Aλ .
¤Ïðèâåäåííîå âûøå ïðîñòîå óòâåðæäåíèå ñôîðìóëèðîâàíî â âèäå òåîðåìû, ïîñêîëüêó îíî èìååò âàæíîå ñëåäñòâèå.Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî ñåìåéñòâà F ïîäìíîæåñòâ9ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿàëãåáðà α(F), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) F ÿâëÿåòñÿ ïîäñåìåéñòâîì àëãåáðû α(F), ò.å. èç A ∈ Fñëåäóåò A ∈ α(F);2) α(F) ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé ëþáîé àëãåáðû, ñîäåðæàùåéF â êà÷åñòâå ïîäñåìåéñòâà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì íàáîð, ñîñòîÿùèé èç âñåõàëãåáð ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω, ñîäåðæàùèõ F â êà÷åñòâåïîäñåìåéñòâà. Ýòîò íàáîð íåïóñò, ïîñêîëüêó îí ñîäåðæèò àëãåáðó Amax (Ω) âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω.  ñèëó òåîðåìû 1 ïåðåñå÷åíèå âñåõ àëãåáð äàííîãî íàáîðà ÿâëÿåòñÿàëãåáðîé, êîòîðàÿ ñîäåðæèò F â êà÷åñòâå ïîäñåìåéñòâà èïî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé êàæäîé àëãåáðû èç óêàçàííîãî íàáîðà.
¤Àëãåáðà α(F) ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé àëãåáðîé, ñîäåðæàùåé ñåìåéñòâî F, â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè èç íåå óäàëèòü îäèíèëè íåñêîëüêî ëþáûõ åå ýëåìåíòîâ, òî îíà ëèáî ïåðåñòàíåòáûòü àëãåáðîé, ëèáî íå áóäåò ñîäåðæàòü F â êà÷åñòâå ïîäñåìåéñòâà.Ïðîñòåéøèé ïðèìåð àëãåáðû α(F) ýòî ðàññìîòðåííàÿâ ïðèìåðå 3 àëãåáðà α({A}) = {∅, A, A, Ω}, ïîðîæäåííàÿìíîæåñòâîì A ⊂ Ω. Äðóãîé ïðèìåð àëãåáðà α({A, B}),ïîðîæäåííàÿ ñåìåéñòâîì èç äâóõ ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâ Aè B ìíîæåñòâà Ω, êîòîðóþ ÷èòàòåëü äîëæåí áûë ïîñòðîèòüâ çàäà÷å 2.Çàäà÷à 3. Ïóñòü Ω = N è F ñåìåéñòâî îäíîýëåìåíòíûõìíîæåñòâ âèäà {n}, n ∈ N. Ïîêàçàòü, ÷òî α(F) ýòî àëãåáðàèç ïðèìåðà 4.Çàäà÷à 4. Ïóñòü Ω = [0, 1] è F ñåìåéñòâî âñåõ îòðåçêîâ[a, b] ⊆ [0, 1].
Ïîêàçàòü, ÷òî α(F) ýòî àëãåáðà èç ïðèìåðà5.10Ðàçâèâàÿ îòìå÷åííóþ ðàíåå àíàëîãèþ ìåæäó ïîíÿòèÿìè àëãåáðû-ïîäàëãåáðû è ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà-ïîäïðîñòðàíñòâà, çàìåòèì, ÷òî àëãåáðà α(F), ïîðîæäåííàÿ ñåìåéñòâîì F ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω, ÿâëÿåòñÿàíàëîãîì ëèíåéíîé îáîëî÷êè lin(L0 ) ìíîæåñòâà L0 âåêòîðîâëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L ìèíèìàëüíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà L, ñîäåðæàùåãî âñå âåêòîðû èç L0 .
Âñèëó ýòîé àíàëîãèè àëãåáðó α(F) áóäåì êðàòêî íàçûâàòüàëãåáðàè÷åñêîé îáîëî÷êîé ñåìåéñòâà F2 .Çàäà÷à 5.∗ Äàòü êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå àëãåáðû α(F)äëÿ ëþáîãî ñåìåéñòâà ïîäìíîæåñòâ F ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω.1.2. σ -àëãåáðûÅñëè A àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω, òî, ðàññóæäàÿïî èíäóêöèè, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ èç A ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì èç A. Îäíàêî èç ýòîãî ðàññóæäåíèÿ íå ñëåäóåò, ÷òîïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå ëþáîãî íàáîðà ìíîæåñòâ èç A ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì èç A. Äðóãèìè ñëîâàìè, àëãåáðà A ìîæåò áûòü íå çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ïåðåñå÷åíèÿè îáúåäèíåíèÿ, ïðèìåíåííûõ ñðàçó ñ áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ååýëåìåíòîâ (ñì. ïðèìåðû íèæå).Ñ òî÷êè çðåíèÿ èñïîëüçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ êîíñòðóêöèé â òåîðèè âåðîÿòíîñòåéâàæíûì ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå çàìêíóòîñòè àëãåáðû îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ, ïðèìåíåííûõê ëþáîìó ñ÷åòíîìó íàáîðó åå ýëåìåíòîâ.
Ýòî òðåáîâàíèåïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó ïîíÿòèþ.Îïðåäåëåíèå 4. Àëãåáðà A ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâàΩ íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ñ÷åòíîãî íàáî2Ýòà òåðìèíîëîãèÿ íå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòîé.11ðà {Ai } åå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâàýëåìåíòàìè ýòîé àëãåáðû.Ti AièSi Aiÿâëÿþòñÿ êà÷åñòâå ïðîñòåéøèõ ïðèìåðîâ àëãåáð, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ σ -àëãåáðàìè, ìîæíî ðàññìîòðåòü àëãåáðû èç ïðèìåðîâ 13 (â àëãåáðàõ èç ïðèìåðîâ 1 è 3 ïðîñòî íå ñóùåñòâóåòíåòðèâèàëüíûõ ñ÷åòíûõ íàáîðîâ, â àëãåáðå èç ïðèìåðà 2òðåáîâàíèå îïðåäåëåíèÿ 4 âûïîëíåíî ïî îïðåäåëåíèþ ýòîéàëãåáðû).Çàäà÷à 6.
Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè íàëè÷èÿ ó àë-ãåáðû A ñâîéñòâà σ -àëãåáðû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ëèáîòîëüêî ïåðåñå÷åíèå, ëèáî òîëüêî îáúåäèíåíèå ëþáîãî ñ÷åòíîãî íàáîðà ìíîæåñòâ èç ýòîé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ åå ýëåìåíòîì, ïðè÷åì âî âòîðîì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêîíàáîðàìè èç íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ (ò.å. ñóììàìè âìåñòî îáúåäèíåíèé).Òàêèì îáðàçîì, σ -àëãåáðó îò àëãåáðû îòëè÷àåò íàëè÷èåó íåå äîïîëíèòåëüíîãî ñâîéñòâà (òàê æå, êàê êâàäðàò îò ïðÿìîóãîëüíèêà!).
Åñòåñòâåííûé âîïðîñ, âîçíèêàþùèé ó âäóì÷èâîãî ÷èòàòåëÿ: à ìîæåò ýòî ñâîéñòâî âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè? Èíà÷å ãîâîðÿ, ñóùåñòâóþò ëè àëãåáðû, êîòîðûåíå ÿâëÿþòñÿ σ -àëãåáðàìè (òàê æå, êàê ñóùåñòâóþò ïðÿìîóãîëüíèêè, îòëè÷íûå îò êâàäðàòîâ)?ßñíî, ÷òî ïðèìåð àëãåáðû, íå ÿâëÿþùåéñÿ σ -àëãåáðîé,íåëüçÿ ïîñòðîèòü, ðàññìàòðèâàÿ àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. À âîò ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà Ω óæå äîñòàòî÷íî äëÿ êîíñòðóêöèè òàêîãî ïðèìåðà.Ïðèìåð 7. Àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà N,ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå 4, íå ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì ñ÷åòíûé íàáîð îäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ âèäà {2n}, n ∈ N, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé àëãåáðå.
Èõîáúåäèíåíèå ýòî ìíîæåñòâî ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì è íå èìååò êîíå÷íîãî äîïîëíåíèÿ, à çíà÷èò, íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì äàííîé àëãåáðû.12Çàäà÷à 7. Ïîêàçàòü, ÷òî àëãåáðà, ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå 5, íå ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé.Çàäà÷à 8. Ïîêàçàòü, ÷òî àëãåáðà âñåõ âåðòèêàëüíûõ öèëèíäðîâ Cv è àëãåáðà âñåõ ãîðèçîíòàëüíûõ öèëèíäðîâ Ch ,ðàññìîòðåííûå â ïðèìåðå 6, ÿâëÿþòñÿ σ -àëãåáðàìè.Ïîíÿòèå ïîäàëãåáðûσ -àëãåáðàè÷åñêèé àíàëîã.(îïðåäåëåíèå2)èìååòñâîéÎïðåäåëåíèå 5. Ïóñòü A σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà Ω. Ñåìåéñòâî B ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâàΩ íàçûâàåòñÿ σ -ïîäàëãåáðîé σ -àëãåáðû A, åñëè âûïîëíåíûñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) ñåìåéñòâî B ÿâëÿåòñÿ ïîäñåìåéñòâîì σ -àëãåáðû A, ò.å.èç A ∈ B ñëåäóåò A ∈ A;2) ñåìåéñòâî B ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ4.Ñåìåéñòâà âñåõ âåðòèêàëüíûõ öèëèíäðîâ è âñåõ ãîðèçîíòàëüíûõ öèëèíäðîâ èç ïðèìåðà 6 ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè σ -ïîäàëãåáðàìè σ -àëãåáðû Amax ([0, 1] × [0, 1]) âñåõ ïîäìíîæåñòâ êâàäðàòà [0, 1] × [0, 1], à âîò àëãåáðà èç ïðèìåðà 4 ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé, íî íå σ -ïîäàëãåáðîé σ -àëãåáðûAmax (N) âñåõ ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà N (ñì.
ïðèìåð 7). Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ÿâëÿåòñÿ σ -ïîäàëãåáðîé σ -àëãåáðûAmax (Ω).Âîçâðàùàÿñü ê àíàëîãèè ñ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè,çàìåòèì, ÷òî õîðîøèì àíàëîãîì ïîíÿòèÿ σ -àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå çàìêíóòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì çàäàíà êàêàÿ-ëèáî ìåòðèêà. Çàìêíóòûì íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ñîäåðæèò ïðåäåëû âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç ýëåìåíòîâýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Rn ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì (ïîýòîìó â ëèíåé13íîé àëãåáðå è íå ââîäèòñÿ ñïåöèàëüíî ýòî ïîíÿòèå). Íî âáåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñóùåñòâóþò íåçàìêíóòûåïîäïðîñòðàíñòâà.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ðàññìîòðåòüïîäïðîñòðàíñòâî P([0, 1]) âñåõ ïîëèíîìîâ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå C([0, 1]) âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå[0, 1] ñ ìåòðèêîé ρ(f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)|, ïîñêîëüêó ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç C([0, 1]) ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì íåêîòîðîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëèíîìîâ èç P([0, 1]) â ñèëó òåîðåìûÂåéåðøòðàññà.
 ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåòðèêîé ìîæíîîïðåäåëèòü íå òîëüêî ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, íîè ñ÷åòíûå ñóììû, ò.å. ðÿäû (ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, òàê æå, êàê îïðåäåëÿþòñÿ îáû÷íûå ðÿäû). Ïðè ýòîìçàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ïîäïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ñîäåðæèò âñå òàêîãî ðîäà ñóììû ñâîèõýëåìåíòîâ (ýòî ñëåäóåò èç ñòàíäàðòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïðåäåëà ëþáîé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â âèäå ñóììûðÿäà). Äàííîå çàìå÷àíèå äåëàåò óêàçàííóþ âûøå àíàëîãèþíàèáîëåå ïðîçðà÷íîé, ïîñêîëüêó σ -àëãåáðó ìîæíî îïðåäåëèòü êàê àëãåáðó, ñîäåðæàùóþ âñå ñ÷åòíûå ñóììû ñâîèõ ýëåìåíòîâ (ýòî ÷èòàòåëü äîëæåí áûë óñòàíîâèòü, ðåøàÿ çàäà÷ó6).Ïîñêîëüêó σ -àëãåáðà ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé àëãåáðû, äëÿëþáîãî íàáîðà σ -àëãåáð ìîæíî ðàññìîòðåòü èõ ïåðåñå÷åíèå(ñì. îïðåäåëåíèå 3), êîòîðîå â ñèëó òåîðåìû 1 ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé.
Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íå ìîæåòâûâåñòè èç êëàññà σ -àëãåáð.Òåîðåìà 2. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî íàáîðà σ -àëãåáð ïîäìíî-æåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {Aλ }λ∈Λ ïðîèçâîëüíûé íà-áîð σ -àëãåáð ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω.  ñèëó òåîðåìû 1(è çàäà÷è 6) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,÷òî äëÿ ëþáîãîTT ñ÷åòíîãîíàáîðà {Ai } ìíîæåñòâ èçT λ∈Λ Aλ ìíîæåñòâî i Ai ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñåìåéñòâà λ∈Λ Aλ .
Ïî îïðåäåëåíèþ ïðè êàæ-14Täîì λ ∈ Λ èìååì {Ai } ⊆ Aλ , à çíà÷èò,i Ai ∈ Aλ , ïîñêîëüêóTAσ-àëãåáðà.Ñëåäîâàòåëüíî,Aýëåìåíò ñåìåéñòâài iTλλ∈Λ Aλ . ¤Òî æå ðàññóæäåíèå, êîòîðîå ïîçâîëèëî èç òåîðåìû 1 ïîëó÷èòü ñëåäñòâèå 1, ïîçâîëÿåò âûâåñòè èç òåîðåìû 2 ñëåäóþùèé âàæíûé ðåçóëüòàò.Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ ëþáîãî ñåìåéñòâà F ïîäìíîæåñòâïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿσ -àëãåáðà σ(F), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè :1) F ÿâëÿåòñÿ ïîäñåìåéñòâîì σ -àëãåáðû σ(F), ò.å. èç A ∈F ñëåäóåò A ∈ σ(F);2) σ(F) ÿâëÿåòñÿ σ -ïîäàëãåáðîé ëþáîé σ -àëãåáðû, ñîäåðæàùåé F â êà÷åñòâå ïîäñåìåéñòâà.Àëãåáðà σ(F) ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé σ -àëãåáðîé, ñîäåðæàùåé ñåìåéñòâî F, â òîì æå ñìûñëå, â êîòîðîì α(F) ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé àëãåáðîé, ñîäåðæàùåé ýòî ñåìåéñòâî. ðàìêàõ àíàëîãèè ñ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìèσ -àëãåáðà σ(F), ïîðîæäåííàÿ ñåìåéñòâîì F ïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà Ω, ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì çàìûêàíèÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êè lin(L0 ) ìíîæåñòâà L0 âåêòîðîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L ñ ìåòðèêîé (ìèíèìàëüíîãî çàìêíóòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà L, ñîäåðæàùåãî âñå âåêòîðû èç L0 ).
Âñèëó ýòîé àíàëîãèè σ -àëãåáðó σ(F) áóäåì êðàòêî íàçûâàòüσ -àëãåáðàè÷åñêîé îáîëî÷êîé ñåìåéñòâà F.Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò àëãåáðàè÷åñêîé îáîëî÷êè α(F)ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü σ -àëãåáðàè÷åñêîé îáîëî÷êè σ(F) íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü êîíñòðóêòèâíûì îáðàçîìäàæå â ñëó÷àå ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà F, ò.å. íåëüçÿ äàòü ÿâíîåîïèñàíèå òåõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå âõîäÿò â σ -àëãåáðó σ(F).Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ, ÷òî σ(F) ýòî ñåìåéñòâî âñåõñ÷åòíûõ ïåðåñå÷åíèé è îáúåäèíåíèé ìíîæåñòâ èç F, îäíàêîýòî íå òàê, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.15Ïðèìåð 8. Ïóñòü A àëãåáðà âñåõ ïðîìåæóòêîâ îòðåçêà [0, 1], ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
