Учебник - О некоторых понятиях теории вероятностей - Широков (1188222), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ôóíêöèè P : A → [0, 1], îáëàäàþùåéñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) P(∅) = 0, P(Ω) = 1;PP2) P ( i Ai ) = i P(Ai ) äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî íàáîðà {Ai } íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ èç A.21Ïðèìåð 11. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ïðåâðàòèòü ëþáîå ìíîæåñòâî Ω â ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íåêîòîðîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ýòî âçÿòü â êà÷åñòâåσ -àëãåáðû ñîáûòèé A σ -àëãåáðó Amin (Ω) = {∅, Ω}, à â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòíîé ìåðû P ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþçíà÷åíèÿ 0 è 1 íà ìíîæåñòâàõ ∅ è Ω ñîîòâåòñòâåííî.Ïðèìåð 12. Áîëåå ñîäåðæàòåëüíûé ïðèìåð âåðîÿò-íîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ïîñòðîèòü èç ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå σ -àëãåáðû ñîáûòèé Aσ -àëãåáðó σ({A}) = {∅, A, A, Ω}, ïîðîæäåííóþ íåêîòîðûìïîäìíîæåñòâîì A, îòëè÷íûì îò ∅ è Ω, à â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòíîé ìåðû P ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ 0, p,1 − p è 1 íà ìíîæåñòâàõ ∅, A, A è Ω ñîîòâåòñòâåííî, ïðèëþáîì p èç [0, 1].Çàäà÷à 13.
Ïðåâðàòèòü ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî Ω âìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íåêîòîðîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ïðèíèìàåò íå ìåíåå 5 ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé.Ïðèìåð 13. Ïóñòü Ω = {ωi }ni=1 êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîåìíîæåñòâî (n 6 +∞). Ñîïîñòàâèì êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìóPnèñõîäó ωi íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî pi òàê, ÷òîi=1 pi = 1.Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå σ -àëãåáðû ñîáûòèé σ -àëãåáðóPAmax (Ω)âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω è ïîëàãàÿ P(A) = i:ωi ∈A piäëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊆ Ω, ïîëó÷àåì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, íàçûâàåìîå äèñêðåòíûì è ïîäðîáíî èçó÷àåìîå âýëåìåíòàðíûõ êóðñàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.Âîïðîñ.
Ïî÷åìó â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ωâ êà÷åñòâå σ -àëãåáðû ñîáûòèé íåëüçÿ âûáðàòü σ -àëãåáðóAmax (Ω) âñåõ ïîäìíîæåñòâ ýòîãî ìíîæåñòâà?Îòâåò. Êàê ïîêàçàíî â ïðèìåðå 9, â ñëó÷àå íåñ÷åòíîãîìíîæåñòâà Ω = [0, 1] ôóíêöèè P : Amax (Ω) 7→ [0, 1], óäîâëåòâîðÿþùåé ñâîéñòâàì 12 óêàçàííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòíîé ìåðû, íå ñóùåñòâóåò.22Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 3, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé âàæíûé ïðèìåð âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà.Ïðèìåð 14. Ìíîæåñòâî Ω = [0, 1] ñ σ -àëãåáðîé ñîáûòèéB([0, 1]) è âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé Ëåáåãà PL ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì.Çàäà÷à 14. Èñïîëüçóÿ ìåðó Ëåáåãà, ïðåâðàòèòü âåùå-ñòâåííóþ ïðÿìóþ R â ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâíåêîòîðîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì B(R) σ -àëãåáðà ñîáûòèé.Áîëåå ñëîæíûå ïðèìåðû âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâìîæíî íàéòè â [4].3.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñëó÷àå äèñêðåòíîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâàñ ìíîæåñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω = {ωi }ni=1 èσ -àëãåáðîé ñîáûòèé Amax (Ω) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà ýòîì ìíîæåñòâå.  îáùåì ñëó÷àå â îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûíåîáõîäèìî âêëþ÷èòü òðåáîâàíèå èçìåðèìîñòè îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû ñîáûòèé.Îïðåäåëåíèå 8. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íà âåðîÿòíîñò-íîì ïðîñòðàíñòâå {Ω, A, P} íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ξ : Ω →R, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: 4{ω ∈ Ω | ξ(ω) 6 c} ∈ A,∀c ∈ R,êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì èçìåðèìîñòè îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû A èëè, êðàòêî, ñâîéñòâîì A-èçìåðèìîñòè.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äèñêðåòíîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ñâîéñòâî A-èçìåðèìîñòè âûïîëíåíî äëÿ ëþáîé ôóíê4Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòî ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ξ(ω) 6 c ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì ïðè ëþáîì c.23öèè íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïîñêîëüêó ëþáîåïîäìíîæåñòâî ýòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì.
Èìåííîïîýòîìó â îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà òàêîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ñâîéñòâî A-èçìåðèìîñòè íå óïîìèíàëîñü.Íà ïåðâûé âçãëÿä, ñâîéñòâî A-èçìåðèìîñòè â îïðåäåëåíèè 8 ñèëüíî ïîðòèò òó ÿñíóþ êàðòèíó, êîòîðàÿ áûëà âñëó÷àå äèñêðåòíîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïî÷åìó âîáùåì ñëó÷àå íåëüçÿ ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ëþáóþôóíêöèþ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ?Ïîïðîáóåì îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ðàññóæäàÿ ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ. Ïðåäñòàâèì ñåáå ôèçèêà-òåîðåòèêà,êîòîðîìó ïîðó÷åíî ðàçðàáîòàòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëüíåêîòîðîãî ôèçè÷åñêîãî óñòðîéñòâà, íàïðÿæåíèå íà âûõîäå êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé (â îáùå÷åëîâå÷åñêîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà). Àíàëèçèðóÿ ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå âíóòðè äàííîãî ïðèáîðà, ôèçèê ñòðîèò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî {Ω, A, P}, îòðàæàþùåå âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð ýòèõ ïðîöåññîâ. ßñíî, ÷òî ïðè ýòîìñëó÷àéíîå íàïðÿæåíèå íà âûõîäå ïðèáîðà ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà U (ω) ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ íå îáëàäàåòñâîéñòâîì A-èçìåðèìîñòè, ò.å. ñóùåñòâóåò òàêîå c, íàïðèìåð c = 36, ïðè êîòîðîì ìíîæåñòâî {ω ∈ Ω | U (ω) 6 c} íåëåæèò â A. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû íå ìîæåì îòâåòèòü íà âîïðîñî âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî íàïðÿæåíèå íà âûõîäå ïðèáîðà íåïðåâîñõîäèò 36 B, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî {ω ∈ Ω | U (ω) 6 36}íå âõîäèò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè P! ßñíî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ íå ìîæåò îòâåòèòü íà òàêèåïðîñòûå âîïðîñû, áåñïîëåçíà (îíà äàæå ìîæåò áûòü âðåäíàäëÿ çäîðîâüÿ, ïîñêîëüêó 36 B ìàêñèìàëüíîå áåçîïàñíîåäëÿ ÷åëîâåêà íàïðÿæåíèå!) Ýòî ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò,÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ U (ω), ïðåòåíäóþùàÿ íà ðîëü ñëó÷àéíîãî íàïðÿæåíèÿ íà âûõîäå íàøåãî ãèïîòåòè÷åñêîãî ïðèáîðà,24äîëæíà áûòü A-èçìåðèìîé.Äðóãîé âîïðîñ, êîòîðûé äîëæåí áûë áû âîçíèêíóòü óâäóì÷èâîãî ÷èòàòåëÿ, ýòî ÿâíàÿ àñèììåòðèÿ â ïðèâåäåííîì âûøå îïðåäåëåíèè A-èçìåðèìîñòè.
Ïî÷åìó â ýòîì îïðåäåëåíèè èìåííî 6, à íå <, > èëè >? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñìû ñôîðìóëèðóåì â âèäå çàäà÷è.Çàäà÷à 15. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè σ -àëãåáðû A, ïîêàçàòü, ÷òî â îïðåäåëåíèè 8 ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáîå èçíåðàâåíñòâ <, > èëè >, ò.å., ÷òî ëþáîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâïðèâîäèò ê ýêâèâàëåíòíîìó îïðåäåëåíèþ.Ïîêàçàòü òàêæå, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà A-èçìåðèìîñòèôóíêöèè ξ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèéíåðàâåíñòâà ξ(ω) 6 c ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì òîëüêî ïðè ëþáûõðàöèîíàëüíûõ c.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.Ïðèìåð 15. Ôóíêöèÿ ξ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà èç ïðèìåðà 11 ÿâëÿåòñÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà ôóíêöèÿ êîíñòàíòà, ò.å. îíà ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà÷åíèåíà âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäàõ.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ξ(ω) ≡ C , òî ìíîæåñòâî ðåøåíèéíåðàâåíñòâà ξ(ω) 6 c ëèáî ïóñòî (åñëè c < C ), ëèáî ñîâïàäàåò ñ Ω (åñëè c > C ). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãîóòâåðæäåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî â Ω ñóùåñòâóþò òàêèå ω1è ω2 , ÷òî ξ(ω1 ) < ξ(ω2 ).
Åñëè c = 12 (ξ(ω2 ) − ξ(ω1 )), òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ξ(ω) 6 c ñîäåðæèò ω1 , íî íåñîäåðæèò ω2 , à çíà÷èò, ýòî ìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì σ -àëãåáðû {∅, Ω}.Ïðèìåð 16. Ôóíêöèÿ ξ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà èç ïðèìåðà 12 ÿâëÿåòñÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ, ïðè÷åì îäíî íà ìíî25æåñòâå A, à äðóãîå íà ìíîæåñòâå A.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ξ(ω) = C1 , åñëè ω ∈ A, è ξ(ω) =C2 , åñëè ω ∈ A.
Áóäåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàòü, ÷òîC1 6 C2 . Òîãäà∅, åñëè c < C1 ,{ω ∈ Ω | ξ(ω) 6 c} = A, åñëè C1 6 c < C2 ,Ω, åñëè C2 6 c,ò.å. ïðè ëþáîì c ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ξ(ω) 6 cÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì σ -àëãåáðû {∅, A, A, Ω}. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ òàê æå, êàê è â ïðèìåðå 15.Ïîñëåäíèå äâà ïðèìåðà ÿâëÿþòñÿ èëëþñòðàöèåé ñëåäóþùåãî îáùåãî íàáëþäåíèÿ (ïðÿìî âûòåêàþùåãî èç îïðåäåëåíèÿ 8): ÷åì áîãà÷å σ -àëãåáðà ñîáûòèé âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, òåì áîãà÷å ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàýòîì ïðîñòðàíñòâå. Èëè, îáðàçíî âûðàæàÿñü, ÷åì áîãà÷åσ -àëãåáðà ñîáûòèé, òåì ïðîùå çàäàííîé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà A ⊆ Ω ôóíêöèþ(1, åñëè ω ∈ A,χA (ω) =0, åñëè ω ∈ A,áóäåì íàçûâàòü èíäèêàòîðíîé ôóíêöèåé ìíîæåñòâà A.Çàäà÷à 16.
Ïóñòü {Ω, A, P} ïðîèçâîëüíîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ χA ÿâëÿåòñÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà A ∈ A.Ñ ïîìîùüþ èíäèêàòîðíûõ ôóíêöèé ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 16 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ξ = C1 χA +C2 χA . Âîîáùå, ëþáóþ ôóíêöèþ ξ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå Ω, ïðèíèìàþùóþ êîíå÷íûé èëè ñ÷åòíûé íàáîð çíà÷åíèé {Ci }ni=1 , (n 6 +∞), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ξ =26Pni=1 Ci χAi , ãäå Ai ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Ci .
ßñíî, ÷òî íàáîðìíîæåñòâ {Ai }ni=1 îáðàçóåòS ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà Ω, ò.å. ÷òîAi ∩ Aj = ∅ ïðè i 6= j è ni=1 Ai = Ω.Çàäà÷à 17. Ïóñòü {Ai }ni=1 êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ðàç-áèåíèå ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Ω. Ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì Ω ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, à σ({Ai }ni=1 ) σ -àëãåáðà ñîáûòèé. Îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà ýòîìâåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå.Ïðèìåð 17. Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî{[0, 1], B([0, 1]), PL } (ïðèìåð 14). ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà[0, 1], äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî óñëîâèå B([0, 1])-èçìåðèìîñòè,íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé. Êëàññ áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé íà[0, 1] äîñòàòî÷íî øèðîê, îí âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå íåïðåðûâíûåôóíêöèè íà [0, 1], à òàêæå âñå ïîòî÷íûå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòîÿùèõ èç íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
