Учебник - О некоторых понятиях теории вероятностей - Широков (1188222), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Áîðåëåâñêîé ÿâëÿåòñÿ äàæå ¾ñèëüíî ðàçðûâíàÿ¿ ôóíêöèÿ Äèðèõëå, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ 0 è 1 íà ìíîæåñòâàõ ðàöèîíàëüíûõ è èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî. Ýòî ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 16 è áîðåëåâîñòè ìíîæåñòâàèððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, äîêàçàííîé ÷èòàòåëåì â çàäà÷å 9.Íåáîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ íà [0, 1] ýòî òàêàÿ æå ýêçîòèêà,êàê íåáîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî íà ýòîì îòðåçêå â òîì ñìûñëå, ÷òî èìåÿ íåáîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî A ìîæíî ïîñòðîèòüíåáîðåëåâñêóþ ôóíêöèþ χA (çàäà÷à 16), à èìåÿ íåáîðåëåâñêóþ ôóíêöèþ ξ ìîæíî ïîñòðîèòü íåáîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî {ω ∈ [0, 1] | ξ(ω) 6 c}, âûáèðàÿ ïîäõîäÿùåå c. Íåñìîòðÿíà ýêçîòè÷íîñòü íåáîðåëåâñêèõ ôóíêöèé, èõ ñóùåñòâîâàíèåíåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü â òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ.

Ïîäðîáíåå î ñâîéñòâàõ áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé ìîæíî ïî÷èòàòüâ [1].Çàäà÷à 18. Ïóñòü CBv ñåìåéñòâî âåðòèêàëüíûõ öèëèí27äðîâ èç êâàäðàòà [0, 1] × [0, 1] ñ áîðåëåâñêèì îñíîâàíèåì, ò.å.ìíîæåñòâ âèäà CBv = {(x, y) | x ∈ B , y ∈ [0, 1]}, ãäå B ïðîèçâîëüíîå áîðåëåâñêîå ïîäìíîæåñòâî îòðåçêà [0, 1].

Ïîêàçàòü,÷òî:5(i) ñåìåéñòâî CBv ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé;(ii) CBv = Cv ∩ B([0, 1] × [0, 1]), ãäå Cv σ -àëãåáðà âñåõ âåðòèêàëüíûõ öèëèíäðîâ èç [0, 1] × [0, 1], ðàññìîòðåííàÿ âïðèìåðå 6, à B([0, 1] × [0, 1]) σ -àëãåáðà âñåõ áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ êâàäðàòà [0, 1] × [0, 1] (ñì. îïðåäåëåíèå 7);(iii) ôóíêöèÿ Pc (CBv ) = PL (B), B ∈ B([0, 1]), ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé íà σ -àëãåáðå CBv (PL ìåðà Ëåáåãà).Êàêèå ôóíêöèè íà [0, 1] × [0, 1] ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå {[0, 1] × [0, 1], CBv,Pc }? ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ìîæíî âñòðåòèòü ñëåäóþùåå, ôîðìàëüíî áîëåå ñèëüíîå, îïðåäåëåíèåA-èçìåðèìîñòè.Îïðåäåëåíèå 9. Ïóñòü A σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà Ω.

Ôóíêöèÿ ξ : Ω → R íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîéîòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû A, åñëè:.ξ −1 (B) = {ω ∈ Ω | ξ(ω) ∈ B} ∈ A,∀B ∈ B(R).Ïîñêîëüêó {ω ∈ Ω | ξ(ω) 6 c} = ξ −1 ((−∞, c])èç A-èçìåðèìîñòè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 9 ñëåäóåòA-èçìåðèìîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 8.

Íåòðèâèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî îáùåãî ðåçóëüòàòà.5Ïóíêò (ii) çàäà÷à ïîâûøåííîé òðóäíîñòè.28Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü ξ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå Ω, à A σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâýòîãî ìíîæåñòâà. Ïóñòü F ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòââåùåñòâåííîé ïðÿìîé R òàêîå, ÷òî σ(F) = B(R). Åñëèξ −1 (B) ∈ A äëÿ ëþáîãî B ∈ F, òî ξ −1 (B) ∈ A äëÿ ëþáîãîB ∈ B(R), ò.å. ôóíêöèÿ ξ ÿâëÿåòñÿ A-èçìåðèìîé â ñìûñëåîïðåäåëåíèÿ 9.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ¾ìåòîäà ïîäõîäÿùèõ ìíîæåñòâ¿ [4].Ïóñòü ξ òàêàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî ξ −1 (B) ∈ A äëÿ ëþáîãîB ∈ F. Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî E êàê ñåìåéñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ B ïðÿìîé R, äëÿ êîòîðûõ ξ −1 (B) ∈ A. ßñíî, ÷òî ñåìåéñòâî E âêëþ÷àåò â ñåáÿ F â êà÷åñòâå ïîäñåìåéñòâà è ñîäåðæèò ∅ è R (ïîñêîëüêó ξ −1 (∅) = ∅ ∈ A è ξ −1 (R) = Ω ∈ A).Èñïîëüçóÿ ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ñîîòíîøåíèÿ!Ã\\¡¢ξ −1 (Bi ),Bi =ξ −1 B = ξ −1 (B) è ξ −1iiñïðàâåäëèâûå äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà B ⊆ R è ëþáîãî íàáîðà {Bi } ïîäìíîæåñòâ ïðÿìîé R, íåòðóäíî ïîêàçàòü,÷òî ñåìåéñòâî E ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé.

Ïîñêîëüêó σ(F) =B(R) ìèíèìàëüíàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ ñåìåéñòâî F,çàêëþ÷àåì, ÷òî σ -àëãåáðà E ñîäåðæèò B(R) â êà÷åñòâåσ -ïîäàëãåáðû. ¤Âçÿâ â êà÷åñòâå ñåìåéñòâà F ñåìåéñòâî âñåõ ïîëóèíòåðâàëîâ âèäà (−∞, c] è èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò çàäà÷è 10, èç ïðåäëîæåíèÿ 1 ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.Ñëåäñòâèå 3. A-èçìåðèìîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 8ðàâíîñèëüíà A-èçìåðèìîñòè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 9.Îïðåäåëåíèå 9 ÿâëÿåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ïîñêîëüêóäîïóñêàåò åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå íà ñëó÷àé âåêòîðíîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ) íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå {Ω, A, P}, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ êàê29ôóíêöèè ξ¯ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñî çíà÷åíèÿìè â êàêîì-ëèáî ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X (íàïðèìåð,â Rn ), îáëàäàþùèå ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì A-èçìåðèìîñòè:.¯ξ¯−1 (B) = {ω ∈ Ω | ξ(ω)∈ B} ∈ A,∀B ∈ B(X),ãäå B(X) áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà â X (ñì.

îïðåäåëåíèå 7)[4].Ëèòåðàòóðà1. Áîãà÷åâ Â.È. Îñíîâû òåîðèè ìåðû. Ò.1. ÌîñêâàÈæåâñê: ÍÈÖ ¾Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà¿,2003. 543 c.2. Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèéè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Èçä. 6-å Ì.:Íàóêà, 1989. 624 ñ.3. Êóðàòîâñêèé Ê. Òîïîëîãèÿ.

Ò.1. Ì.:Ìèð, 1966. 595 ñ.4. Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü. Ì.:Íàóêà, 1980. 576 ñ.30.

Характеристики

Список файлов книги