Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт

(государственный университет)»

Факультет управления и прикладной математики

Кафедра информатики

РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ АКУСТИКИ МЕТОДОМ КИРХГОФА

Выпускная квалификационная работа

(магистерская диссертация)

Направление подготовки: 03.04.01 Прикладные математика и физика

Выполнила:

студентка 973 группы Агаханова Ольга Назаровна

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Петров Игорь Борисович

Москва 2015

Оглавление

Введение 3

Определения 5

Обозначения и сокращения 6

1 Обзор методов 7

2 Постановка задач 8

2.1 Распространение скалярного волнового поля 8

2.2 Миграция волнового поля 8

2.3 Обратная задача сейсморазведки 9

3 Определяющие уравнения 10

3.1 Акустическое волновое уравнение 10

3.2 Функция Грина в случае трехмерной среды 10

3.3 Функция Грина в случае двумерной среды 11

3.4 Функция Грина в случае одномерной среды 11

4 Методы решения прямой задачи 12

4.1 Случай трехмерной среды 12

4.2 Случай двумерной среды 13

4.3 Случай одномерной среды 14

5 Результаты расчетов и анализ результатов 16

5.1 Расчет для точечного источника в трехмерном случае 17

5.2 Расчет для импульса Рикера в трехмерном случае 20

5.3 Расчет для точечного источника в двумерном случае 23

5.4 Расчет для импульса Рикера в двумерном случае 26

5.5 Расчет для точечного источника в одномерном случае 28

Заключение 30

Список использованных источников 31

Введение

В связи с исчерпанием известных на данный момент залежей нефти и газа, все более острой становится проблема отыскания новых месторождений при помощи методов геофизики. В связи со сложностью задач современной геофизики, возникает потребность в создании простых в использовании и эффективных методов.

Геофизика занимается изучением свойств различных физических полей, в том числе сейсмических полей в земной коре. Задачи геофизики включают два крупных класса: прямые задачи и обратные задачи.

Прямыми называются те задачи, в которых по заданным параметрам среды необходимо восстановить волновое поле. Для решения таких задач строится математическая модель среды, и в дальнейшем данные, получаемые при помощи этой модели, сравнивают с результатами эксперимента. По соответствию экспериментальных данных модельным далее можно сделать вывод о применимости той или иной модели к данному классу задач. По решению прямой задачи можно предсказывать параметры определенных структур земной коры. Также решения прямых задач используются при построении глубинных изображений (визуализации) исследуемых участков земной коры.

Гораздо более трудоемкими и менее изученными являются обратные задачи, в которых по модели геологической среды необходимо восстановить значения параметров модели. Главной трудностью при решении таких задач является выбор подходящей модели среды и ее параметров, а также эффективность решения обратной задачи.

В данной работе исследуются сейсмические методы изучения структуры земной коры, то есть методы, основанные на распространении упругих волн, которые вызываются взрывами вблизи земной поверхности, а отраженная от неоднородностей волна регистрируется приемниками, которые обычно тоже расположены вблизи поверхности.

Одним из перспективных методов современной сейсмоакустической разведки является решение прямых и обратных задач методом Кирхгофа.

Решение прямых и обратных акустических задач в настоящий момент является необходимым в таких перспективных направлениях, как дистанционные геофизические методы исследований, сейсмоакустические исследования. Создание теоретической базы методов решения задач акустики, изучение и сравнение результатов их использования, а также численное моделирование позволяют улучшить процесс нефтедобычи, которая является одной из основ современной экономики России.

Таким образом, эффективное решение задач акустики позволяет исследовать структуру полостей верхних слоев земной поверхности, а также получать определенные данные о физических характеристиках исследуемой среды.

Целью данной работы является теоретическое исследование решений задач акустики с помощью метода Кирхгофа, а также качественный анализ их численного решения. Конкретными задачами данной работы являются исследование решений задачи акустики для среды, на границе которой находится точечный или линейный источник, который имитирует взрыв при помощи волнового импульса Рикера в одномерном, двумерном и трехмерных случаях, а также исследование возможности перехода от одного случая к другому при изменении конфигурации задаваемой области.

Другим направлением задач, рассматриваемых в данной работе, является исследование применения метода Кирхгофа для решения обратных задач акустики, и, тем самым, к исследованию характеристик земной поверхности.

Определения

В настоящей работе применяют следующие термины с соответствующими определениями:

Дистанционные геофизические методы исследований – методы исследований, в которых измерительные приборы находятся на удалении от изучаемого объекта. Обычно объектом изучения является толща земли недалеко от поверхности.

Сейсмоакустические методы – методы исследования, основанные на использовании акустических (звуковых) волн.

Прямая задача сейсморазведки – задача восстановления геофизических данных в рамках заданной модели с заданными параметрами среды и распределением источников.

Обратная задача сейсморазведки – задача восстановления модели и значений ее параметров по геофизическим данным при заданном (обратная модельная задача) или неизвестном распределении источников.

Обратная задача рассеяния – обратная модельная задача в применении к распространению электромагнитного или акустического поля.

Сейсмическая миграция – реконструкция изображения земной среды по сейсмическим данным.

1. Обозначения и сокращения

В данной работе будут использованы следующие обозначения и сокращения:

– напряженность поля давления;

– вторая частная производная поля по времени;

– вторая частная производная поля по координате

– квадрат градиента по пространственным координатам;

– напряжение внешнего источника энергии;

– функция Грина волнового уравнения;

– частная производная поля по направлению внешней нормали;

– частная производная поля по переменной

– трехмерная дельта-функция Дирака.

1. 1 Обзор методов

Решение задачи распространения акустической волны в земной коре является этапом решения задачи сейсмической миграции – построения глубинного изображения исследуемой области земной коры.

Все существующие алгоритмы миграции можно рассматривать как алгоритмы, которые основаны на методах прямого и обращенного продолжения волнового поля внутрь земной поверхности.

Алгоритмы визуализации сейсмических данных известны с начала 1970-х, тогда же впервые был введен термин «миграция Кирхгофа». Первый предложенный советским ученым Ю.В. Тимошиным алгоритм сейсмической миграции основывался на принципе Гюйгенса, согласно которому каждый элемент среды можно рассматривать как вторичный источник волны, и далее, просуммировав регистрируемое приемниками поле, определить положение неоднородностей в среде. Так как данный алгоритм не был подтвержден экспериментом, от него пришлось отказаться.

Впоследствии, Г.И. Петрашень и С.А. Нахамкин в книге «Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки» изложили метод поля времен для построения отражающих границ.

Используемые сейчас алгоритмы глубинной миграции сложны, используют динамику сигнала, и поэтому близки к решению обратной динамической задачи.

Теоретические основы для решения задачи сейсморазведки методом Кирхгофа изложены в книге М.С. Жданова [1].

2 Постановка задач

В данной работе рассматривается задача о распространении скалярного волнового поля в некоторой области пространства. Решение этой задачи является частью решения задачи визуализации геологических неоднородностей в земной коре. Приведем постановки обеих связанных задач, а также обратной задачи.

2.1 Распространение скалярного волнового поля

Допустим, что задана поверхность , ограничивающая некую область S пространства. Вне (на границе) области S находятся некоторые источники, возбуждающие акустическую волну, которая распространяется внутрь области S. Распределение скорости внутри области S предполагается известным. Необходимо по данным характеристикам источников построить модель распространения волны внутрь области S. Схема задачи представлена на Рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1. Постановка задачи распространения волнового поля

2.2 Миграция волнового поля

Допустим, что возбуждение и регистрация колебаний производится на свободной поверхности (например, это может быть поверхность Земли), рельеф которой задается плавной криволинейной функцией пространственных координат. Пусть существует некоторая граница неизвестной конфигурации (например, разлом в земной коре), которую мы хотим определить, при этом распределение скорости в пространстве между свободной поверхностью и границей считается известным. Допускается, что среда над искомой границей может быть как однородной, так и слоистой.

Помимо расположения границы необходимо узнать и коэффициент отражения от этой границы (что позволит определить тип и характеристики вещества, находящегося в слое, лежащем ниже границы).

Итак, задана поверхность , на которой расположены источник(и) и приемник(и), а также искомая граница (см. Рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Постановка задачи миграции

2.3 Обратная задача сейсморазведки

Обратная задача сейсмоакустической разведки состоит в восстановлении распределения скорости по заданному всюду в исследуемой области полю давления, формально – в нахождении такого оператора , что:

Допустим, что задана поверхность , ограничивающая некую область S пространства. Вне (на границе) области S находятся некоторые источники, возбуждающие акустическую волну, которая распространяется вглубь области S. Необходимо по данным характеристикам источников и геофизическим данным определить характеристики среды (такие как, например, распределение скоростей).

3 Определяющие уравнения

3.1 Акустическое волновое уравнение

В рассматриваемой задаче модель сейсмических волн берется такой, что Земля рассматривается как акустическая среда, для которой распространение такой волны можно описать с помощью скалярного акустического волнового уравнения:

Здесь – скорость распространения звуковой волны в точке с радиус-вектором . В рассматриваемом случае однородной среды .

В случае точечного источника , и тогда волновое уравнение можно переписать в виде:

Для решения различных уравнений, в том числе гиперболического типа, применяются функции Грина. Идея метода Кирхгофа заключается в том, что для того, чтобы решить волновое уравнение с произвольной правой частью , то есть с произвольным распределением источников, достаточно знать функцию Грина для волнового уравнения для точечного источника.

Более конкретно, распределение поля давления в произвольной точке внутри области следующим образом зависит от поля точечного импульсного источника:

3.2 Функция Грина в случае трехмерной среды

В случае трехмерной среды поле будет связано с функцией Грина следующей сверткой:

Здесь – трехмерная поверхность, ограничивающая область .

Функция Грина для трехмерного волнового уравнения в пространстве записывается следующим образом (вывод см. в [1], с. 483-486):

Такая функция Грина называется запаздывающей функцией Грина, так как эффект, наблюдаемый в точке в более поздний момент времени вызывается возмущением, которое произошло в точке в более ранний момент времени .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР