Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В книге Жданова (см. [1], с. 491-495) доказывается, что в таком случае поле в произвольной точке внутри области, в силу (3.1.3) и (3.2.2), связано с полем на границе так:

Это соотношение носит название интегральной формулы Кирхгофа. Интегральная формула Кирхгофа показывает, как можно восстановить волновое поле внутри области, ограниченной некоторой поверхностью, по значениям этого поля (и его нормальной производной) на границе области.

Интегральная формула Кирхгофа в данном виде является математической записью физического принципа Гюйгенса-Френеля: волновое поле в точке внутри области можно представить как сумму полей точечных и дипольных источников, расположенных на поверхности этой области. При этом и соответствуют плотностям распределения этих двух типов источников.

3.3 Функция Грина в случае двумерной среды

Функция Грина в случае двумерной среды записывается следующим образом:

Данная функция не имеет четких передних и задних фронтов, но возмущение распределено по всей внутренности круга с центром в точке, где располагался источник. На границе круга и в точке, где располагался источник, можно увидеть особенности.

3.4 Функция Грина в случае одномерной среды

В случае одномерной среды функция Грина для волнового уравнения записывается следующим образом:

Данная функция представляет собой волну, распространяющуюся симметрично в обе стороны из точки, в которой находится источник.

1. 4 Методы решения прямой задачи

4.1 Случай трехмерной среды

Пусть область является полупространством, ограниченным (снизу) плоскостью , причем пусть внешняя нормаль к этой плоскости направлена противоположно оси , то есть .

Если подставить в (3.2.3) явный вид функции Грина для волнового уравнения в случае трехмерного однородного (полу)пространства (3.2.2) и проинтегрировать по , то получится следующее выражение:

Возникающее возмущение , зависящее от значения поля в точке в более ранний момент, называется волной запаздывания.

Пусть поле источников задано как импульс Рикера:

Тогда производные из (4.1.1) выражаются следующим образом:

С учетом выражений (4.1.4) и (4.1.5) для производных, (4.1.1) можно переписать как:

Здесь в качестве будет рассматриваться импульс Рикера, подставленный в выражение (4.1.2) для волны запаздывания.

Далее, можно вычислить значения необходимых производных из (4.1.6):

Заметим теперь, что при подстановке в (4.1.6) выражений для производных (4.1.8) и (4.1.9), члены, содержащие их, сокращаются. Поэтому получаем следующее окончательное простое выражение для поля давления:

При этом интегрирование происходит по двумерной плоскости , поэтому множитель можно вынести за знак интеграла. Получаемый двумерный интеграл можно легко свести к повторному интегралу, который является суммой интегралов типа Лапласа. Частично этот интеграл можно упростить, но, так как одно из слагаемых пропорционально кубу расстояния между точкой и источником, аналитически данный интеграл не вычисляется.

4.2 Случай двумерной среды

В случае двумерной среды выражение для поля давления внутри области переписывается следующим образом:

Вместо умножения на функцию Хэвисайда можно изменить пределы интегрирования, но получающийся интеграл по переменной не вычисляется аналитически. Свести двойной интеграл к одинарному с помощью формулы Грина, по аналогии с трехмерным случаем, не получается.

4.3 Случай одномерной среды

В данном случае, поле давления выражается следующим образом:

Изобразим область, внутри которой функция Грина принимает ненулевые значения (она же будет задавать область интегрирования):

Рис. 4.3.1. Область интегрирования для одномерной среды

Тогда интеграл (4.3.1) можно переписать так:

Проинтегрировав по переменной , получим:

1. 5 Результаты расчетов и анализ результатов

В данной работе все расчеты выполнялись (в системе СИ) с помощью программного комплекса Wolfram Mathematica 9.0, численное нахождение определенных интегралов производилось методом трапеций (Trapezoidal), а также для сравнения при помощи метода Global Adaptive (система сама подбирает такой алгоритм вычисления, который подходит для данной функции). В системе можно задавать максимальное и минимальное количество используемых ячеек или точность, с которой должен быть вычислен результат (тогда система сама подбирает минимальное количество ячеек, необходимое для того, чтобы добиться этого результата). Для данной работы в первую очередь были важны качественные, а не количественные результаты, поэтому на цветовых схемах не указаны количественные величины.

При расчетах были использованы следующие значения параметров источника и среды:

Кроме того, как обычно предполагается, что характерное время действия источника – порядка долей секунды, и процессы наблюдаются вблизи источника на временах, близких к характерному времени действия источника.

Далее на Рисунке 1. представлена цветовая схема Temperature Map, которая указывает соотношение между цветами и напряженностью поля давления в точке. При этом напряженность растет слева направо, синий цвет соответствует нулевому значению (отсутствие возмущения), красный цвет соответствует максимальным значениям возмущения (место прохождения волны).

Рис. 5. Цветовая схема распределения напряженности

В качестве приближения дельта-функции в расчетах была использована размазанная дельта-функция. В данной работе используется такой представление размазанной дельта-функции:

Здесь – параметр (острота), который влияет на ширину (и одновременно пиковое значение) дельта-функции.

В качестве приближения функции Хэвисайда в расчетах было использовано следующее выражение:

Здесь – параметр (коэффициент убывания), который влияет на скорость убывания «сглаженной» функции Хэвисайда на границе области.

5.1 Расчет для точечного источника в трехмерном случае

На всех схемах, представленных в этом пункте, ось направлена вверх, ось направлена вправо, и схема симметрична относительно оси . На схемах представлено распределение напряженности поля давления в разные моменты времени.

Рис. 5.1.1 Волна от точечного источника в трехмерном пространстве, t'=50 мс

Рис. 5.1.2. Волна от точечного источника в трехмерном пространстве, t'=100 мс

Рис. 5.1.3. Волна от точечного источника в трехмерном пространстве, t'=150 мс

Рис. 5.1.4. Волна от точечного источника в трехмерном пространстве, t'=200 мс

Из расчетов видно, что в трехмерном случае волна от точечного источника имеет четкие задний и передний фронты, и волна распространяется равномерно в пространстве из точки, в которой находился источник.

5.2 Расчет для импульса Рикера в трехмерном случае

Рис. 5.2.1. Распространение импульса Рикера в трехмерном случае, t'=150 мс

Рис. 5.2.2. Распространение импульса Рикера в трехмерном случае, t'=200 мс

Рис. 5.2.3. Распространение импульса Рикера в трехмерном случае, t'=300 мс

Рис. 5.2.4. Распространение импульса Рикера в трехмерном случае, вдоль оси z, t'=100 мс

Рис. 5.2.5. Распространение импульса Рикера в трехмерном случае, вдоль оси z, t'=200 мс

Рис. 5.2.6. Распространение импульса Рикера в трехмерном случае, вдоль оси z, t'=300 мс

Из результатов расчетов можно сделать следующие выводы:

• У волны есть четко выраженные передний и задний фронты.

• Фронты волны распространяются в пространстве равномерно, со скоростью, равной скорости звука c сигнал сохраняет свой вид – вид Ricker wavelet.

• Теоретически импульс Рикера должен быть симметричной функцией, но из-за артефактов это не вполне выполняется.

• Амплитуда сигнала падает со временем – это соответствует теоретическим предположениям.

• На рисунках видны артефакты, которые возникают из-за того, что интегрирование должно производиться по всей плоскости, чего нельзя добиться при численном интегрировании. Также можно предположить, что данные особенности возникают из-за конечных размеров сигнала по оси x.

5.3 Расчет для точечного источника в двумерном случае

Рис. 5.3.1. Расчет для точечного источника в двумерном случае, мс

Характеристики

Список файлов ВКР