Моделирование сложных геологических структур сеточно-характеристическим методом (1187406), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При этом вид и ̃︀−1 упрощается, но тот факт, чтовведём новое обозначение ̃︀−1 ̸= , может привести к нефизичностям решения. (Метод сквозного счета с заменойстрок и столбцов.)16Для того чтобы понять какой выбор матриц перехода является правильным, подробнорассмотрим решение вблизи некоторой точки (рис. ??). Для 1-го порядка аппроксимации решение представляет собой кусочно-линейную функцию. Распределение параметров –кусочно-постоянно.
Таким образом решение внутри ячейки подчиняется уравнениям (1.3)и представляет собой две волны (1 и 2 ) перемещающиеся в противоположные стороны.Вклад в приносят волна 1 = 1 из левой ячейки и волна 2 = 2 из правойячейки. Следовательно общее выражение для можно представить в виде:(︃ =1)︃(︃=21 )︃= −1 2 (2.2)Это соответствует замене строк в матрице −1 . Для нахождения комбинированной матрицы перехода от к (т.е. матрицы ), целесообразней всего обратить найденную матрицу−1 .
В итоге получаются следующие матрицы перехода:(︃−1 =−1/ 11/1)︃1, = + (︃− )︃(2.3)Получили метод с заменой строк.Метод с заменой столбцов не удовлетворяет свойствам решения уравнений переноса,поэтому непригоден для вычислений. Интересно, что в теории конечно-обьёмных методов(например в методе Годунова [15]) применяется именно такой метод расчёта со сквозным∫︀счётом.
Это объясняется разницей постановки задач. В методе Годунова значения = привязаны к ячейкам и на границе между ячейками решается задача Римана (рис. ??). Приэтом +1/2 − ∼ 1 , а +1 − +1/2 ∼ 2 , где - правые вектора матрицы . Из этогоследует, что в методе Годунова нужно использовать сквозной счёт с заменой столбцов.Наконец, метод с заменой строк и столбцов может быть неустойчив для больших отношений̃︀−1 ̸= .
Тем не менее, из-за того,импедансов сред, что является следствием того, что что, во-первых, в геофизике отношение импедансов не очень велико(обычно / 6 2) и,во-вторых, из-за того, что в этом методе матрица имеет более простой вид (что влияет наскорость работы численной программы) этот метод тоже имеет смысл исследовать. В этомслучае получается следующие комбинированные матрицы:(︃̃︀−1 =−1/ 11/1)︃(︃; =− 11)︃(2.4)Перейдём к выводу численной схемы.
Введём изменение инвариантов Римана на одномшаге по времени:+1+1+1∆= − = − −1 17Рисунок 2.2: Аппроксимация решения в окрестности точки для метода Годуновапервого порядка. Физические параметры и постоянны внутри ячейки и меняютсятолько между ячейками.Тогда схему можно представить в виде:+1+1+1̃︀−1 )= + ∆= + (−(2.5)̃︀−1 = −1 = , схему можно записать в виде:В случае когда +1+1= (2.6)̃︀ выбираются соответствующим образом, а +1 определена в 2.1., матрица и 2.22.2.1Исследование методовИсследование сеточно-характеристической схемы со сквознымсчётом с заменой строк на спектральную устойчивостьИсследуем схему с заменой строк на спектральную устойчивость. Для этого считаем, что −∼ − . То есть представим −1и +1в виде и соответственно.
Тогда схемасквозного счета с заменой строк запишется в виде:+1= (2.7), где оператор имеет вид:1= + (︃ + ( − 1) + (− − 1) −(− − 1) + ( − 1)(− − 1)( + ) )︃ − (− − 1) + ( − 1) (2.8)Его собственные значения равны:1,2 = 1 + (∓ − 1), ,(2.9)18При различных значениях собственные значения лежат на комплексной окружности сцентром в точке 1 − и радиусом . Таким образом метод сквозного счета с заменой строкспектрально устойчив при , ≤ 1.2.2.2Исследование сеточно-характеристической схемы со сквознымсчётом с заменой строк и столбцов на спектральную устойчивостьИсследуем схему с заменой строк и столбцов на спектральную устойчивость.+1= , где оператор и его собственные значения имеют вид:(1 − − )=+21,2(︃ − + +(1 − − ) [︁ − ±=1+2)︃ − √︂( +]︁ )( + )(2.10)(2.11)На рисунке 2.3 изображены значения собственных значений 1,2 на комплексной плоскости.Представим полученные собственные значения в виде:1,2 (, , , , ) = 1 − 1,2 (,,)где = / - отношение чисел Куранта, а = / = - отношение импедансов.Для сходимости необходимо, чтобы выполнялось |1,2 | ≤ 1 + для любого .
Из-за того,что используется приближенная модель среды, можно упростить это вырожение до вида:|1,2 | ≤ 1. С помощью функции это условие запишется следующим образом: ≤2 Re 1,2 (,,), ∀|1,2 (,,)|2(2.12)Предположим, что если || ≤ 1 в окрестности = 0, то || ≤ 1 для любого .Раскладывая 1,2 (,,) в окрестности = 0, и подставляя в 2.12 получим ограничение начисло Куранта:2(1 + ) 2√︀ ≤ √︀( + 2 )(1 + 2 )(| − 1| + ( + 2 )(1 + 2 ))Ограничение на легко получить умножив обе части этого неравенства на = / .Перепишем уравнение в переменных отношения плотностей =звука =.и отношения скоростейСчитаем, при этом, что и ℎ одинаковы в обеих ячейках.19(a) / = 1.0(b) / = 1.1(c) / = 1.5(d) / = 3.0Рисунок 2.3: График комплексных значений 1,2 при различных . Также нарисована единичнаяокружность.
Параметры /ℎ = 0.15, = 1 и = 5 фиксированы. Меняется только отношениеплотностей от 1 до 3. Схема начинает рассходиться когда какое-либо из собственных значенийвыходит за единичную окружность. В данном случае при / ≈ 1.1. Таким образом схемарасходится даже тогда, когда = /ℎ < 1.20 ≤2(1 + )2√︀(1 + 2 )(1 + 3 2 ) + (1 + 2 )(1 + 3 2 )| − 1|(2.13) = 1, = 1 = 1/4, = 1 = 1, = 1/410.80.60.40.200246810 /1214161820Рисунок 2.4: Графики зависимости максимального значения числаКуранта от / при различных .2.2.3Методы второго порядкаДля получения сеточно-характеристического метода второго порядка достаточно заменитьлинейную аппроксимацию в ячейке (2.1) на квадратичную:(︃+1=( (2 − 1)−1+ 4 (1 − )−1/2+ (22 − 3 + 1))1( (2 − 1)+ 4 (1 − )+1/2+ (22 − 3 + 1)+1)2)︃(2.14)Подставив это выражение в (2.5), можно получить новый оператор и его собственныезначения.
Для метода с заменой строк собственные значения выглядят следующим образом:(︀)︀(︀)︀1 = −4−/2 + 2− + 2 2 + 4−/2 − − − 3 + 1(2.15)(︀)︀(︀)︀2 = −4/2 + 2 + 2 2 + 4/2 − 3 − 1 + (2.16)21Легко найти, при каких условиях эти выражения по модулю меньше нуля. Домножив накомплексно-сопряженное, получим:1 1 = 1 + ((/2) − 1)2 ( − 1)( − 1/2)2(2.17)2 2 = 1 + ((/2) − 1)2 ( − 1)( − 1/2)2(2.18)Видно, что метод сквозного счёта с заменой строк спектрально устойчив при , ≤ 1.Для метода с заменой строк и столбцов второго порядка выражения для собственныхзначений матрицы перехода слишком громоздки и аналитически сложно получить условиядля ограничений на числа Куранта.
Но качественно наблюдается та же картина, что и дляэтого же метода, но первого порядка. При небольших отношений импедансов метод устойчив,но начиная с некоторого отношения ( / ≈ 5¯10) начинает расходиться.2.2.4Сравнения с численными расчётамиКонечно, из спектральной устойчивости не следует устойчивость метода. Поэтому полученные результаты на ограничения чисел Куранта следует рассматривать как оценки,полезные для практических реализаций сеточно-характеристических методов. Такие оценкимогут быть полезны, так как известно, что многие спектрально устойчивые методы являютсяустойчивыми.Для сравнения с численными расчётами была написана численная программа для 1мерного сеточно-характеристического метода со сквозным счётом.
Были реализованы методсквозного счёта с заменой строк и метод сквозного счёта с заменой строк и столбцов. Дляпервого метода наблюдалась сходимость при различных отношениях импедансов (вплоть доотношений порядка погрешности чисел с плавающей точкой), при условии, что выполненоусловие Куранта.Для метода сквозного счёта с заменой строк и столбцов наблюдается другая ситуация.При некотором большом отношении импедансов ( / ≈ 5¯10) метод начинает расходиться,что качественно совпадает с теорией. Нужно отметить, что из-за использования упрощенноймодели среды теоретическая оценка даёт заниженную оценку на максимальные возможныечисла Куранта. Тем не менее на больших диапазонах изменения параметров эта оценкаотличается от численных значений не более чем в 2 ¯ 3 раза, что является удовлетворительнымдля практических расчётов.
На рис. 2.5 представлено сравнение теоретической оценки счисленной.22 = 1/4, = 1 = 1, = 1ТеорияПрактика10.80.80.60.60.40.40.20.2000510 /15ТеорияПрактика1200510 /15Рисунок 2.5: Сравнение полученной формулы (2.13) с численными результатами2023Глава 3Сеточно-характеристический метод сосквозным счётом в двух измерениях.В данной главе, основываясь на теории, описанной в главе 2, рассматривается реализациячисленных сеточно-характеристических методов со сквозным счётом в двух измерениях. Экспериментально исследуются свойства полученных численных методов. Результаты вычисленийсравниваются с аналитическими решениями и результатами вычислений других методов: разрывного метода Галёркина на неструктурных сетках и сеточно-характеристического методана структурных сетках3.13.1.1Описание методаОбщее описание сеточно-характеристического метода со сквозным счётом в 2D.Как обычно, расщепляя линейной упругости+ 1+ 2=012(3.1)вдоль направлений 1 и 2 (координаты будем обозначать как 1 и 2 ), получим два уравнениявида:+ 1=01(3.2)Приводим к инвариантам Римана: 1 = 1 Λ1−1 .
Обозначим ячейку, в которую попадаютхарактеристики с положительными собственными значениями, и все физические параметрыей соответствующие как . Соответственно, ячейку, в которую попадают характеристики сотрицательными собственными значениями, обозначим как (рис. ??). Расчётный шаг, как ив одномерном случае, можно разбить на три этапа:24Рисунок 3.11.
Находим инварианты Римана с помощью комбинированной матрицы −1 : = −1 .О выборе правильного вида комбинированной матрице ниже.2. Аппроксимируем значения для инвариантов Римана в четырёх точках 1,2 1 , 1,2 2 и+1получаем .+1+1+13. Находим с помощью комбинированной матрицы : = + (− ).Также, по аналогии с одномерным случаем, используем комбинированную матрицу −1со строкам, определяющимися той ячейкой, в которую попадает соответствующая характеристика:⎛1−10=0⎜ ⎜ ⎜ =−2⎜ = ⎜ =2⎜⎜ ⎝ =−1=1⎞⎛03 /01⎟ ⎜⎟ ⎜ 1/(21 )⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜ −1/(21 )⎟ ⎜⎟ ⎜0⎠ ⎝01000⎞⎟0 ⎟⎟⎟001/2 0 ⎟⎟0 1/(22 ) 0 1/2 ⎟⎠0 1/(22 ) 0 1/2001/2(3.3)Где - левые собственные вектора матрицы , а - левые собственные вектора матрицы .В отличии от одномерного случая, здесь присутствуют величины 01 , 03 - некие аппроксимацияфизических параметров в заданной точке, а не в ячейке.
Есть несколько способов выбораэтой аппроксимации:1. 01 = (1 + 1 )/2, аналогично для 02 . Такой тип аппроксимации был использован вреалиации сеточно-характеристического метода со сквозным счётом, рассмотренной вэтой работе.252. 01 =1| |∑︀1 , аналогично для 02 . Где - множество всех ячеек, касающихся даннойточки.3. 03 /01 = (3 /1 + 3 /1 )/24. 03 /01 =1| |∑︀3 /1 , аналогично для 02 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
