Моделирование сложных геологических структур сеточно-характеристическим методом (1187406), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Степень6достоверности результатов моделирования таких сложных структур, как пересекающиесятрещины пока нельзя сверить с результатами, полученными другими методами, так как покао таких результатах автору неизвестно.Некоторые результаты работ представлены на конференциях МФТИ [19, 20] и в публикациях [21, 22]. Часть результатов или неопубликованы или ожидают публикации.7Глава 1Общая теория численного решения задачлинейной упругостисеточно-характеристическим методом.В данной главе обозреваются задачи линейной упругости в одном, двух и трёх измеренияхи методы их решения, преимущественно сеточно-характеристическим методом.Краткий обзор методов решения одномерной системы уравнений линейной упругостинеобходим, так как в главе 2 исследуются одномерные сеточно-характеристические методы сосквозным счётом.Также обозреваются уравнения линейной упругости в 2-х и 3-х измерениях и их решениес помощью сеточно-характеристического метода, некоторые особенности реализации такихчисленных методов(аппроксимация в 2-мерной и 3-мерной ячейках, методы расщепления,постановка граничных условий, монотонизация).
Ссылки на этот материал будут активноиспользоваться в главах 3 и 4.1.1Уравнение линейной упругости в одном измерении иметоды его решения.1.1.1Одномерные уравнения линейной упругости(акустики).Уравнения акустики в одном измерении можно представить в виде:=01 =0 +˙2+˙(1.1), где (,) - скорость частиц среды, (,) - давление, () - плотность среды, () скорость звука в среде.81.1.2Приведение к инвариантам РиманаПредставим эти уравнения в виде:˙ + =0(1.2), где(︃=)︃(︃, =0 21)︃0Собственные значения матрицы : 1,2 = ∓.
Можно разложить таким образом: = Λ−1 ,где(︃Λ=− 00)︃(︃, =− 11)︃, −11=2(︃−1/ 11/)︃1(︃1)︃= −1 .2Если () постоянна, то в них уравнения акустики расцепляются на 2 уравнения переноса:Где = - импеданс. Введем новые переменные(инварианты Римана) =˙ + Λ=0(1.3)Если же () не постоянна, то система уравнений сведётся к:˙ + Λ= −1 (1.4)Эту систему можно описать как систему уравнений переноса с источником.
Разработка численных методов для такой системы значительно сложнее, чем для системы 1.3. Но используясвойства решений уравнения переноса можно получить численные схемы для частного случаякусочно-постоянного изменения физических параметров(по аналогии с выводом метода Годунова [15]). При этом параметры остаются постоянными внутри ячейки и меняются только награнице ячеек. Именно такой случаи будем рассматривать в дальнейшем.1.1.3Сеточно-характеристический метод в одном измеренииСеточно-характеристический метод заключается в опускании характеристики уравненияпереноса ( = ) из данной точки на ячейку предыдущего временного слоя и аппроксимациив этой ячейке.Используя аппроксимацию первого порядка:{︃+1=+1+ (1 − )если ≤ 0−1+ (1 − )если ≥ 0(1.5)9Рисунок 1.1: Схема сеточно-характеристического метода с постоянными параметрами.получим сеточно-характеристический метод первого порядка точности по пространственнойкоординате.
Здесь =1.1.4ℎ– число Куранта.Сеточно-характеристический метод высоких порядков в одномизмеренииЧтобы получить сеточно-характеристический метод второго порядка точности по координате можно просто заменить линейную аппроксимацию 1.5 на квадратичную аппроксимацию:{︃+1=(2 − 1)+1+ 4(1 − )+1/2+ (2 2 − 3 + 1)(2 −1)−1+ 4(1 −)−1/22+ (2 − 3 +1)если ≤ 0если ≥ 0(1.6)К сожалению, методы более высоких порядков аппроксимации известны только дляструктурных сеток.
Простое повышение порядка аппроксимации в ячейке делает методнеустойчивым, как в этом можно убедиться использовав признак фон-Неймана.1.2Уравнение линейной упругости в двух и трёх измерении и методы его решения.1.2.1Уравнения линейной упругости в 2D. Инварианты Римана в2D.Изотропные уравнения линейной упругости в 2D можно представить в виде:++=0(1.7)10где = ( , , , , ), а матрицы A и B имеют вид:⎛0⎜⎜ 0⎜⎜=⎜ 0⎜⎜ −1/⎝0⎛000−( + 2)00−0000000 −1/000⎟0 ⎟⎟⎟− ⎟⎟0 ⎟⎠00⎞−0⎞⎜⎜ 0000 −( + 2)⎜⎜=⎜ 000−0⎜⎜ 00−1/ 00⎝0 −1/000⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ и это параметры Ламэ [23].
Продольные и поперечные скорости звука выражаютсяследующим образом через параметры Ламэ:√︃1 = + 22 =√︂Матрицы и имеют одинаковый набор собственных значений: Λ = {0, −1 , 1 , −2 , 2 }.Вводя, для удобства, обозначение:3 = (21 − 222 )/1можно записать матрицы перехода к инвариантам Римана( = ), т.е. матрицы правыхсобственных векторов:⎛0 1 −1 ⎜⎜ 1 3 −3 ⎜⎜ = ⎜ 0 00⎜⎜ 0 11⎝0 00⎛1 3 −3 ⎜⎜ 0 1 −1 ⎜⎜ = ⎜ 0 00⎜⎜ 0 00⎝0 1100⎞⎟⎟⎟⎟2 −2 ⎟⎟00 ⎟⎠11⎞00⎟−00 ⎟⎟⎟2 −2 ⎟⎟11 ⎟⎠00−00111.2.2Уравнения линейной упругости в 3D.
Инварианты Римана в3D.Изотропные уравнения линейной упругости в 3D можно представить в виде:+++=0(1.8)где = ( , , , , , , , , ), а матрицы A, B и C имеют вид:⎛0000 −( + 2)0000−0000−0000000000000000000000000 0⎜⎜ 00⎜⎜ 00⎜⎜⎜ 00⎜⎜=⎜ 00⎜⎜ 00⎜⎜⎜ −1/ 0⎜⎜0⎝ 0000 −1/0⎟0 ⎟⎟00 ⎟⎟⎟− 0 ⎟⎟⎟00 ⎟⎟0 − ⎟⎟⎟00 ⎟⎟⎟00 ⎠000−1/ 00 00000−⎜⎜ 00 0⎜⎜ 00 0⎜⎜⎜ 00 0⎜⎜=⎜ 00 0⎜⎜ 00 0⎜⎜⎜ −1/ 0 0⎜⎜0 0⎝ 000 0⎛0 00⎜⎜ 0 00⎜⎜ 0 00⎜⎜⎜ 0 00⎜⎜=⎜ 0 00⎜⎜ 0 00⎜⎜⎜ 0 00⎜⎜0⎝ 0 00 0 −1/0000−( + 2)0000−000−0000000000000000−1/ 00000000 −1/000000⎞00⎛00−−⎞⎟0 ⎟⎟0 ⎟⎟⎟0 ⎟⎟⎟0 ⎟⎟− ⎟⎟⎟0 ⎟⎟⎟0 ⎠0⎞⎟⎟⎟00000 −( + 2) ⎟⎟⎟⎟000000⎟⎟⎟0000 −0⎟⎟000− 00⎟⎟⎟00−1/ 000⎟⎟0 −1/0000⎠0000000000012 и это параметры Ламэ [24]. Продольные и поперечные скорости звука выражаютсяследующим образом через параметры Ламэ:√︃1 = + 22 =√︂Матрицы , и имеют одинаковый набор собственных значений: Λ={0,0,0, −1 , 1 , −2 , −2 , 2 , 2 }.
Можно записать матрицы перехода к инвариантамРимана( = ):⎛0 0 0 1 −1 0⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 1 3 −3 000000000 1 00 0 01 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0000⎞⎟⎟⎟3 −3 0000 ⎟⎟⎟000 2 0−2 ⎟⎟⎟000000 ⎟⎟002 0 −2 0 ⎟⎟⎟110000 ⎟⎟⎟000101 ⎠001010⎛0 0 1 3 −3 ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 1 −1 0 1 0 3 −3 0 0 0000 0 0001 0 0000 0 0000 0 0110 0 000⎛0 0 1 3 −3 ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 1 0 3 −3 0 0 0 1 −1 1 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 011⎞⎟⎟⎟0000 ⎟⎟⎟0 2 0−2 ⎟⎟⎟2 0 −2 0 ⎟⎟0000 ⎟⎟⎟0101 ⎟⎟⎟0000 ⎠1010⎞0000⎟0000 ⎟⎟0000 ⎟⎟⎟0000 ⎟⎟⎟2 0 −2 0 ⎟⎟0 2 0−2 ⎟⎟⎟0101 ⎟⎟⎟1010 ⎠00000000131.2.3Сеточно-характеристический метод для 2-х и 3-х измерениях.Сеточно-характеристический метод в 2-х и в 3-х измерениях, также как и в 1-м измерении,заключается в опускании характеристик на предыдущий временной слой и какой-либо реконструкции(аппроксимации) решения.
Разница относительно 1-го измерения заключается в том,что, во-первых, уравнения 1.7 и 1.8 нельзя преобразовать к системе несвязанных уравненийпереноса, поэтому приходится использовать методы расщепления. Во-вторых, необходимовыбрать в начале расчёта или выбирать на каждом шаге по времени направления расщепления [25]. В-третьих, аппроксимировать приходится не на отрезке, а в треугольнике(2D) или втетраэдре(3D), что сложнее и дольше.14Глава 2Исследованиясеточно-характеристических методов сосквозным счётом.2.12.1.1Описание методаСеточно-характеристический метод для среды с переменнымипараметрамиВ данной работе исследуется алгоритм применения сеточно-характеристического метода куравнению акустики в случае, когда параметры среды меняются в пространстве. Для этогокаждой ячейки сетки ставятся в соответствие свои , .
Выделим одну точку, находящуюсяне на границе области. Эта точка граничит с двумя ячейками - левее и правее от неё. Всепараметры, ассоциированные с левой ячейкой будут помечаться индексом L, все параметры,ассоциированные с правой ячейкой будут помечаться индексом R.Наиболее распространенный в приложениях случай применения среды с переменнымипараметрами – контакты между двумя различными средами. Опираясь на это хотелосьбы исследовать модель среды с одним разрывом параметров. Например одномерную среду,левая половина которой имеет одни параметры, а правая – другие. К сожалению, сеточнохарактеристический метод со сквозным счётом, применённый к такой среде будет существеннонелинейным, что значительно усложняет его исследование на устойчивость. Вместо этогобудем рассматривать более грубую схему с разрывом параметров в каждой точке.
Приэтом, чтобы добиться пространственной однородности, считаем, что отношения физическихпараметров / и / одинаково в каждом узле.Алгоритм заключается в использовании разных параметров, для разных характеристик,проходящих через данную точку. В данном случае для характеристики соответствующейскорости звука −, т.е. для = − будем использовать левую ячейку, а для характеристики15Рисунок 2.1: Аппроксимация решения в окрестности точки длясеточно-характеристического метода первого порядка.
Физические параметры и постоянны внутри ячейки и меняются только между ячейкамисоответствующей скорости звука (т.е. для = ) будем использовать правую ячейку. Тогдапервый порядок аппроксимации в инвариантах Римана запишется так:(︃+1=( −1+ (1 − ))1)︃(︃=( +1+ (1 − ))2( −1 −1+ (1 − )−1 )1−1 −1 ( +1 + (1 − ) )2)︃(2.1)−1где индексы 1,2 означают номер компоненты вектора. А матрицы и −1 определяютсяестественным образом:−11=2(︃−1/ 11/1)︃−1, 1=2(︃−1/ 11/)︃1Нужно обратить внимание, что для аппроксимации на конкретной ячейке используютсяпараметры только этой ячейки. Для аппроксимации в точке, на границе раздела двух сред,необходимо учитывать свойства обеих сред. Рассмотрим три возможных выбора матрицперехода на границе раздела сред:−1(или левых собственных векторов матрицы )1.
Комбинирование строк матриц −1 и в матрицу −1 . Матрица находится обращением. (Метод сквозного счета с заменойстрок.)2. Комбинирование столбцов матриц и (или правых собственных векторов матрицы) в матрицу . Матрица −1 находится обращением. (Метод сквозного счета с заменойстолбцов.)−13. Комбинирование строк матриц −1 и в матрицу −1 . А столбцов матриц и в матрицу . В этом случае матрицы переходов не будут взаимно обратными, поэтому̃︀−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
