Пересчёт систем координат (1186285)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТПРОТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫПространственные прямоугольные координаты. Рассмотрим пространственные прямоугольные координаты, имеющие большое значение в связи с широким использованиемспутниковых данных. Начало координат - в центре земного эллипсоида, ось X — в плоскости начального меридиана долготы L0, ось Z направлена по оси вращения эллипсоида, при этом оси X и Y лежат в плоскости экватора (рис. 6.1).

Если центр эллипсоида совмещен с центром масс Земли, а начальным меридианом является меридиан Гринвича (L0= 0), то имеет место гринвичскаягеоцентрическая система координат. Если же центр эллипсоида смещен с центра масс Земли, то получим квазигеоцентрическую систему координат.Рис. 6.1. Пространственныепрямоугольные координатыГеоцентрические прямоугольные координаты.

Изрис. 6.1 следует: X   r cos L    Y  =  r sin L  . Z   r tg Φ   Эти уравнения используем в качестве исходных для получения последующих формул.Выразив радиус параллели r через радиус-вектор ρ и геоцентрическую широту Φr = ρ cos Φ ,для координат X, Y, Z получим: X   ρ cos Φ cos L    Y  =  ρ cos Φ sin L  . Z   ρ sin Φ  (6.1)Пусть некоторая точка Q расположена на поверхности эллипсоида.

Определим ее прямоугольные пространственные координаты в функции геодезической широты B и геодезической долготы L. Учитывая формулы для радиуса параллели и для взаимосвязи геоцентрической и геодезической широт для точек на эллипсоиде()r = N cos B , tg Φ = 1 − e 2 tg B ,получим: X o   N cos B cos L    Yo  =  N cos Bsin L  .Z  2 o   N (1 − e ) sin B (6.2)Эти формулы верны только для точек на эллипсоиде. Рассмотрим случай, когда некотораяточка QH приподнята над земным эллипсоидом на геодезическую высоту H.Геодезическая высота H отсчитывается по нормали от точки Q на эллипсоиде. Нормальобразует с плоскостью экватора угол, равный геодезической широте B. Поэтому для приращений координат точки QH над точкой Q (рис.6.1) имеем:86Пространственные координаты Лекция 6Б.Б.

Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ X − X o   H cos Bcos L   Y − Y o  =  H cos Bsin L  . Z − Z   H sin Bo (6.3)Суммируя координаты (6.2) и (6.3), получаем формулы прямоугольных координат для точек, расположенных на любых высотах H над эллипсоидом: X   ( N + H ) cos B сosL    Y  =  ( N + H ) cos B sin L  .Z  2   ( N (1 − e ) + H ) sin B (6.4)Производные от X, Y, Z по B, L и H. Их используют в разных целях, в частности, дляоценки точности определений прямоугольных координат.∂X / ∂B = −(M + H )sin B cos L; ∂X / ∂L = −( N + H ) cos B sin L; ∂X / ∂H = cos B cos L;∂Y / ∂B = −(M + H )sin B sin L; ∂Y / ∂L = ( N + H ) cos B cos L; ∂Y / ∂H = cos B sin L;∂Z / ∂B = (M + H ) cos B;∂Z / ∂L = 0;∂Z / ∂H = sin B.Для взаимосвязи дисперсий ошибок σ в X, Y, Z и B, L, H имеем (ρ″= 206265″): σ 2X   ((M + H )sin B cos L )2 2 2 σY  =  ((M + H )sin B sin L ) σ 2   ((M + H )cos B )2 Z ПринявH = 10σX = σY =σZ ≈ 0,003 мкм,((N + H )cos B sin L )2 (cos B cos L )2  (σ B ρ" )2 ((N + H )cos B cos L )2 (cos B sin L )2  (σ L ρ" )2  .(sin B )2  σ H 2 0B = L = 45°,σB= σL= 0,0001″,σH=0,003м,получимВычисление геоцентрической широты и радиус-вектора.

Из формул (6.1) следует:sin Φ =tg Φ =ZX 2 +Y2 + Z2ZX2 +Y2,.(6.5 а)(6.5 б)Если точка расположена над полюсом (X = Y = 0), то Ф приписывается широта полюса.Для радиус-вектора имеем:ρ = X 2 +Y2 + Z2 .(6.6)Вычисление геодезической долготы по прямоугольным координатам. Из формул (6.1)или (6.4) следует:Ysin L =,(6.7 а)X2 +Y2tg L =Y.X(6.7 б)87Б.Б.

Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТПространственные координаты Лекция 6Если точка лежит в плоскости меридиана, перпендикулярной плоскости начального меридиана (X = 0), то долгота L принимается равной 0° при Y = 0, 90о, когда Y > 0, и 270o приY < 0. Если Y = 0, то L = 0 при X ≥ 0, и L = π при X < 0.В публикации [10] даётся следующий алгоритм:Y+ π(1 − sign Y ), если Y ≠ 0 ;X +R0 при X ≥ 0 и Y = 0L=;π при X < 0 и Y = 0L = 2 arctgR=X 2 +Y2 .(6.8)Вычисление геодезической широты и высоты.

Выводом формул для вычислений геодезических широт и высот занимались многие учёные. Их работы опубликованы.Предложенные способы можно разделить на две группы:• итеративные, выполняемые последовательными приближениями,• неитеративные, вычисляемые по конечным формулам.В данной лекции представлены основные, разработанные разными авторами, способы решений упомянуты в заголовке задач. Практически они все обеспечивают высокую точностьопределений геодезических координат.1. Итеративный алгоритм вычисления геодезической широты и высоты по отрезку(N+H) нормали к эллипсоиду.

Имея в виду формулы (6.4), введём обозначении:S = sinB . N = a1 − e2 S 2 , P = e2 N S ,X 2 + Y 2 + ( Z + P)2 = (N + H ) .Q=Построим следующую последовательность вычислений:S1 , N1 , P1 , Q1 ,S2 = ( Z + P1 ) / Q1 ,∆ = S 2 − S1 ≤ ε .(6.9)Итерации продолжаются до тех пор, пока абсолютная разность результатов двух последовательных приближений S2 и S1 не станет удовлетворять условию ∆ ≤ ε. Допуск ε определяется погрешностью вычисления геодезической широты. Например, ε = 0,5⋅10-9 (допускаетсяошибка в 0,5 единиц в девятом после запятой знаке синуса) соответствует погрешности0,0001″ в широте или около 3 мм в линейной мере. В начальном приближении принимаетсяS1 = 0. При этом после первого приближения будет вычислена геоцентрическая широта Ф(6.5а).

Поэтому данное действие следует рассматривать не как приближение, а как подготовку к итерациям. Удобно, что такая подготовка органически включена в общую схему приближений. Фактически первое приближение лишь начинается после определения геоцентрической широты. Далее, приняв S1 = S 2 , приступают к следующему приближению. По завершении итераций вычисляются геодезическая широта и высота:()B = arctg S 2 / 1 − S 22 , если ( X 2 + Y 2 ) ≠ 0,B=π Z2 Zпри ( X 2 + Y 2 ) = 0 ,,H = Q2 − N 2 .88Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТСпособ отличается простотой теоретических построений, понятностью алгоритма и высокой точностью получаемых результатов.

Он приведён в работе [15] и использован в практикуме [14]. Число приближений зависит от требуемой точности вычислений широты B, и эточисло несколько увеличивается с приближением определяемых точек к экватору (табл. 6.1).В ходе вычислений не возникает необходимости в каждой итерации находить arcsinB илиarctgB. Благодаря этому несколько ускоряется весь процесс приближений.Таблица 6.1Число приближений в способевычисления широт и высот по отрезку (N+H)ТочностьвычисленийsinBЧисло приближений приразных широтах90°89°45°5°10-6123310-91244-121356102. Итеративный алгоритм вычисления геодезической широты и высоты на основегеометрических представлений.

Суть способа можно выяснить на основе геометрическихпредставлений по рис. 6.2. На рис. 6.2а более наглядно представлено изображение в плоскости меридиана долготы L. Заметим, что нормаль к эллипсоиду, проходящая через точки Q и K и радиусвектор ρ = OK, лежат в одной и той же плоскости.Поэтому треугольник nOK является плоским треугольником. Тогда из теоремы синусов следует:sin (B − Φ ) sin (90 − B )=.ρnOОтрезок nO определяет расстояние между центром O эллипсоида вращения и точкой n пересечения нормали с полярной осью эллипсоида.

Этот отрезок равен [9, с.44]Рис. 6.2. К построению итеративногоалгоритма вычислений геодезической широты и высотыnO = e 2 N sin B .Имеем:e 2 N sin Bsin (B − Φ ) =cos BρРадиус-вектор ρ определяется формулой (6.6). Выделим постоянные для точки K величины:e2aZZ; R = X 2 + Y 2 ; Φ = arcsin = arctg .2ρρRВеличина Ф – геоцентрическая широта (6.5а). Учитывая формулу для N радиуса кривизныпервого вертикала, получаем:p=89Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТB = Φ + S , S = arcsinПространственные координаты Лекция 6p sin 2 B1 − e 2 sin B.Эти выражения служат основой для построения итеративного алгоритма. Вначале принимается S1 = 0.

Вычисляются B и S2. Затем выполняется проверка∆ = S 2 − S1 ≤ ε .Если это условие не выполняется, то принимаетсяS1 = S 2 .Вычисления повторяются. Итерации продолжаются до выполнения указанного неравенства. После этого находят H:H = R cos B + Z sin B − a 1 − e 2 sin 2 B .(6.10)Формулу (6.10) легко вывести:R cos B + Z sin B = ( N + H )cos 2 B + ( N + H )sin 2 B − e 2 N sin 2 B =()N + H − e 2 N sin 2 B = H + N 1 − e 2 sin 2 B = H + a 1 − e 2 sin 2 B .Отсюда следует формула (6.10). Погрешность ∆H в высоте H в зависимости от ошибок ∆B в широте определяетсяуравнением [10]:Рис. 6.2а. Треугольник KnO1∆H = − (a + H )∆B 2 .2Если предположить, что половина суммы радиуса Земли с высотой составляет около10 000 км или 1010 мм, ошибка в широте 2″, в радианах это около 10-5, а в квадрате 10-10, топогрешность в высоте составит 1 мм.Такой алгоритм рекомендован в [5].3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания