Пересчёт систем координат (1186285), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Итеративный алгоритм вычисления геодезической широты и высоты по отстоянию R точки измерений от оси вращения эллипсоида. Этому способу учёными уделенобольше всего внимания. Отстояние R определяется формулой (6.8). Итерациями вычисляетсяширота на основе решения трансцендентного уравнения, следующего из формул (6.4):Z + e 2 N sin Btg B =.(6.11)RЕсли точка расположена над полюсом (R = 0), то величине B приписывается широта полюса. В начальном приближении рекомендуется принять [12, 10]:tg B0 =Z.1 − e2 R()(6.12)Погрешность ∆Bk вычисления широты в k-м приближении будет [10]:∆Bk" = ρ"a k e 2k +2 H2 k +1sin B0 (cos B0 ) ,k +1(a + H )где a, e – параметры эллипсоида, ρ″ = 206 265″ – число угловых секунд в радиане.
Максимальные значения погрешностей при геодезической высоте H = 10 км составили: ∆B0 = 1,1″;∆B1 = 0,0047″; ∆B2 = 0,000025″. Следовательно, для вычисления широты с погрешностью90Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ0,0001″ достаточно двух приближений [10]. Практически число итераций колеблется от 3 до5.Для определения высоты, по мнению П.А. Медведева, лучшей является формула (6.10)[10].При вычислениях по формуле (6.11) в каждой итерации приходится определять arctgB иsinB. Поэтому в учебнике [11, с. 192] вместо (6.11) рекомендована видоизменённая формула:ptit i +1 = t 0 +,k + ti2Zce 2a2; p=; k = 1 + e '2 ; c = ; R = X 2 + Y 2 .RRbШирота B и высота H определяются по последнему приближению t:t0 =B = arctg t ,c 1+ t2 .H = R −2 k +t Число приближений, без учёта широты наблюдений, указано в табл.
6.2 [11, с. 193].Таблица 6.2Число приближений в способевычисления широт и высот по отрезку RТочностьвычисленийsinBЧислоприближений10-6210-93-124104. Итеративные вычисления геодезической широты и высоты по алгоритмуBorkowski K.M. Способ основан на использовании приведенной широты U [17]. Для радиуса параллели и аппликаты Z имеем (см. (3.1) Лекции 3):r = a cos U ; Z = b sin U .Из формул (6.4) следуют:R = (N + H )cos B = a cosU + H cos B,( ())(6.13)Z = N 1 − e 2 + H sin B = b sin U + H sin B.Из уравнений исключают высоту H:Z − b sin Ua sin U= tg B =.R − a cos Ub cos U()aR sin U − bZ cos U − a 2 − b 2 sin U cosU = 0.Обозначают:sin Ω =bZ(aR ) + (bZ )22, cos Ω =aR(aR ) + (bZ )22, tg Ω =bZ,aR91Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТС=Получают:Пространственные координаты Лекция 6a 2 − b2(aR )2 + (bZ )2.2 sin (U − Ω ) − C sin 2U = 0 .(6.14)Это уравнение решают методом Ньютона:U k +1 = U k − [2 sin (U k − Ω ) − C sin 2U k ]/ W ,W = 2[cos(U k − Ω ) − C cos 2U k ].В качестве начального приближения, что следует из (6.13) при Н = 0, предлагается aZ U 0= arctg. bR Для обеспечения высокой точности результатов достаточно лишь двух итераций [17].
Геодезическая широта и высота вычисляются по формулам:atg B = tg U ,bH = (R − a cosU )cos B + (Z − b sin U )sin B .Формула для высоты следует из (6.13).Этим же автором получена формула, не требующая итераций. Результат найден путём определения корней полинома четвертой степени [17].5. Итеративный алгоритм вычисления геодезической широты и высоты способомПолещенкова В.Н.
Алгоритм изложен в статье [13]. Введён масштабный множитель k, равный отношению отрезков AD/AC (рис. 6.3). Оба этих отрезка лежат на нормали к эллипсоиду. Координаты точки С(xC, zC), лежащей на эллипсоиде, выражают через координаты точки D(R, Z). Получают:RZxC =; zC = ; k ≥ 1.2 b k k + e2 a Вводится ряд обозначений для величин, сохраняющих постоянное значение при заданных параметрах эллипсоида a, b,e, e’ и координатах точки D:a2R2Z2R2 = X 2 + Y 2; f = 4 ; g = 2 .bbДля уравнения эллипса в плоскости меридиана долготы L,Рис.
6.3. Меридиональноена котором лежит точка C, получают:сечение эллипсоидаfki2+1 =+g.2 e '2 1 + ki Это выражение можно преобразовать. Но оно и в таком виде удобно для итеративных вычислений множителя k. В начальном приближении следует принять e’ = 0.Геодезическая широта вычисляется по формуле92Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ e' 2 tg B = tg Φ1 + .k Формула замечательна сама по себе. Она обобщает формулу связи геоцентрической и геодезической широт и становится верной, как для точек на эллипсоиде, так и для точек вовнешнем пространстве: k = 1 – для точек на эллипсоиде, k > 1 – для точек над эллипсоидом.Любопытно заметить, что с ростом числа k разность широт B и Ф уменьшается.
Но лишь судалением от Земли на 6,7 млн. земных радиусов она достигает пренебрегаемой величины∆(B − Φ ) = 0,0001" .Геоцентрическая широта определяется по формуле (рис. 6.3):Ztg Φ = .RФормул для вычисления долгот и высот в упомянутой статье нет. Что касается долгот, тоони вычисляются обычным путём. Судя по приведённой программе, высота определяетсякак длина отрезка CD (рис. 6.3). Поэтому можно записатьH=(R − xC )2 + (Z − zC )2 ,221 + Z 2 1 − 1 .H = R 2 1 − 2a kk + e2 2bАвтором лекций выполнен подсчёт числа итераций в зависимости от широты положенияточек и точности вычислений множителя k (табл.
6.3).Таблица 6.3Число приближений привычислениях широт и высотТочностьвычислениймножителя kЧисло приближенийна разных широтах89°45°5°10-412210-5133-623310-723410-824410В случае первой строки табл. 6.3 (точность вычислений 10-4) ошибки ∆B в широте достигали 0,0001″, 0,008″ и 0,005″, а ошибки ∆H в высотах – 0, 0,24 и 1,9 метра соответственно вполярных, средних и экваториальных широтах. Во всех остальных случаях ошибки в широтах ∆B = 0,0000″. Что касается ошибок ∆H в высотах, то во второй и третьей строках они соответственно равнялись 0, 1 и 12 мм, в четвёртой строке 0, 1 и 0 мм, а в пятой строке равнялись нулю миллиметров.
Поэтому точность вычислений множителя k должна быть не ниже10-8.В той же статье [13] опубликован неитеративный алгоритм, составленный на основе определения корней полинома третьей степени.93Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТПространственные координаты Лекция 66. Неитеративный способ вычисления геодезической широты по формулеА.А. Изотова. Профессор А.А. Изотов применил последовательные приближения аналитически в ходе вывода формул с удержанием членов только с e4 [6; 7, с.
35]: ae 2 ae 4 sin 2 Φ a 2e 4 cos 2 Φ tg Φ ,tg B = 1 +++ρ2ρρ2 ae 2 ae 4 sin 2 Φ a 2e 4 cos 2Φ sin 2Φ,B − Φ = ++22ρρρ 2где a, e – параметры эллипсоида, Ф – геоцентрическая широта, ρ - радиус-вектор (6.6). Помнению автора статьи [6], приведённые формулы тем точнее, чем точка выше над эллипсоидом; максимальная погрешность “выражается в тысячных долях дуговой секунды, когда рассматриваемая точка находится на поверхности эллипсоида под широтой 45°”.Для вычисления высоты в [6] и [7 с.
34] приводятся разные формулы. Вторая работа появилась позже, поэтому ориентируемся на неё:H = X 2 + Y 2 seс B − N .Автор статьи [17] сравнил десять разных алгоритмов, в том числе и описанный выше. Изприведённой в его публикации таблицы не следует, что данный способ является наиболееточным; при низких высотах и на экваторе возможны ошибки около 7 дм.7. Неитеративный алгоритм Л.В. Огородовой. В публикации [12] для вычисления с высокой точностью геодезических координат точек земной поверхности, когда высоты не превышают 10 км, предложен следующий неитеративный алгоритм:Z22tg Bο =(1 − e2 )R , R = X + Y ,H ο = R cos Bο + Z sin Bο − a 1 − e 2 sin 2 Bο ,ρ" e'2 H οsin 2 Bο ,2 Re'4 H ο2H = Hο +sin 2 2 Bο .8 RВ формулах ρ″=206265″.
Однако, в статье [10] указывается, что предложенные формулыне обеспечивают заявленной высокой точности.B = Bο −8. Неитеративный алгоритм Баландина Б.Н. и группы соавторов. Алгоритм опубликован в статье [1]. По мнению авторов, он обеспечивает точность вычисления геодезическойшироты при Н < 10 000 м до 0,0001”(в линейной мере это составляет 3 мм):Z22tg Bο =, R = X +Y ,2(1 − e )RHe 2 tg B οtg B = 1 − tg Bο .2 Z 1 + tg B ο При этом значение геодезической высоты может быть вычислено по формуле:94Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТH =ρ−b.21 − e 2 (R / ρ )Погрешность вычисления геодезической широты оценивается по формуле:23 He 2 R Z .dB" = 206264,8 a+H ρ ρОднако в статье [10] указывается, что предложенные формулы не обеспечивают высокойточности: ошибка в высоте даже в примере, рассмотренном в [1], составляет 0,056 м.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
