Леонов А.И., Васенев В.Н. Моделирование в радиолокации (1979) (1186215), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Покажем это на простых примерах 1, Оценка вероятности шумового.выброса. Пусть 1Р(х, а)=(Г(х, а) — нлотвость вероятностей отсчета Ц шумового процессе; а=ни(2) — среднее значение шУмн; 1ы=Р(й)л„) — веРоЯтвость пРевышениЯ шУмом поРога л»лг йо Рг — оценив р, полученные по формуле (2.71). где параметр а'=а подбярелся оптн-,) мвльно с целью мяяимкзвровзть двсперсян от(р1) в ат(бт) зтнх оценок.

Оценка Д соответствует зксповепцнвльному распределению шумя (являющегося. тзкая обрезом, кввдретом огибающей узлополосного нормвльвого шума), рг — распрелелешпо Рслея. 48 Нз рве. 2 4 приводятся грзфзня знвнснмостя отиосвтельвой среднеявздрзтнческой погрешвосгн ел(р) = рг Ф»з (рь)/р. й= 1, 2 от зияченвя оценнввемой ввроятностн р. Зеввснмзсть »,(р) хврзктернзует точность непосредственной оценки вероятноств »,(р) = г' дуя (р).

где » [р) определяется по формуле [2.бз). Для всех рассмотренных случаев прв малых р погрешностн оценок 11» в остям ряз меньше погрешностн р. Превмушестзо оценок рь сохраняется н прв неоптямальшш выборе а . Твк. непрвмер, умеиьшевве я увеличение среднего знзчення Шуме, соответствующего плотности йг(к*ь а»). в 2 раза прннодвт к увелнчеянвз а,(р) соответственно нв 20 н йтг, в то время кзк прн непосредственном оцеваванин оз(р) превышает о,(р) в 41 рвз (цифры относятся к р=0.42-10 »). Зто обстоятельство является существенным для прввтнкн, где точный ресчет оптвмельных знвченнй а' невозможен н прн выборе а» руководствуются результатами предвврятельньш мешвнных зксперш»евтов.

' Рассмотрим теперь общие правила рационального выбора а» ' Условия (2.13), (2.74) соответствуют формированию плотности ((Г(х, а») к распределения Р(х, а*) выделением и нормированием значений плотности (Г(х, а] н распре- о; деленна Р(х, а), соответствующих уз~ Хгг=й 1 Чтпг ЕСГЕСтВЕННО, П(:61ВОДНт Гат к увеличению вероятности появлеуцш события А в преобразованной д .З' ~ г ~».еь Вием оптимальности можно восполь- ж г Ю г 'гр» гр х р зоваться в тех, характерных дла мого 1 оделяровяьня случаях Рве я4. пш1 нос лмх вероятностей когда а суть кебтествеиныев параметры распределения, фигурирующего в первоначальном описании моделируемой системы: параметры а' выбирак1тся так, чтобь1 увеличить частоту события А в преобразованной модели. Заметны далее, что дисперсии оценок [2.7Ц.

(2.72) зависят от того, каков разброс функций йш=ЯГ(ф*, а)/((у(й», а*) или р,.=— =Р(б», а]/Р(й», а ) в области (Ге-:2). Поэтому, в частности, иа следует допускать, чтобы в этой области могли быть значения ртг (кли (Зр) ~1. Во многих задачах составляющие 21 вектора случайных воздействий й=Кь ..., 2„11 независимы. В этом случае параметры распределения величин $1 следует изменять в соответствии с нх влиянием на оцениваемую вероятность, в частности: изменять в равной степени, если й, одинаково распределены и одинаконги вчияют на результат моделирования; не изменять параметры распределения малозначимых составляющих.

В последнем случае сомножителн величин ()тг и бе, соответствующие малозначимым составляющим, обращаются в единицу и ие вызывают ненужногш увеличения дисперсии. ч См. поясненье к формулам [2.69) в (22б). 4 — 824 [[еречисленные общие рекомендации легко конкретизируются шрн анализе физического смысла задачи и оказываются достаточно определенными. Вместе с тем представляет интерес более детальное изучение механизма форсирования и типовых задачах, простейшие примеры которых рассмотрены ниже. 2. Оценка эерозтногги ошибки лри классификации наблюдении Рассмотрим случай, когда классы А! н Аь содержашне дани!!е о двух объектах, задаютсн .тачками х=о и х=а)0 на числовой оси*!. Для классификации берутся точка А', и А'ь координаты которых $! и $! суть независимые нормальные случайные величины со среднимн значениями а!=О.

и!=и и еднничнымн дисперсиями. Исследуемое правило классификации относит А', к А, н А'., к Аь если )А!— — А'!)з+)Ав — Аз[»~)А! — А"»[!+)Аг — А'![з„. в протвином случае А', относится .к Аь А',— к А! (здесь )А —.В[ — геометрическое расстояние между точками А и В) [106). нетрудно провернтгь что ошябке классифякэция соответствует прп этом условие $!~~, Если расстояние о между «цеитрамв классов» велико, вероятность ошвбочмой класснфикацнн р мала н ее непосредственная опенка по результатам моде.лирования неточна. Оценка (2.71), основанная на переходе от параметров а= =1!оь и«!1 к оараметрэм м = !1а !, ц*»!!„имеет анд Р=Р(") = — „' ~[(",) Х а=! г .х Хехр — 2 (о' — а! — аз ) + (о — аа,),з««! — а"!х~!!), (2.75) зде х*!=11х«ы, х»»!1! — независимые реализации нормального вектора $«= =)яа!, ь«з!! со средянм значением ц* и единичной корреляционной матрицей, з(х«!) =1, если классификация реализации х*! неправильна; [(х«.) =0 э прогна!шм случае.

Дисцерсия оценки (2.75) равна а* (Р (и») ) = — [ехр (а з + а з + и» - - гиаа») Х где ф( ) = ~ —.— р( — -2-) д ' Еслв расстояние и велико, дисперсия (2.76) записывается в виде 1 ! 1 аз(р(ц Ц вЂ”,~, Х 1 " (2 — -*,—.*.) Х ехр <За!з+ Заза — 4иаа! — 4иа«»+ 2«*!а»» ! ! г и«Х ! '! Рассматриваемый процесс классификации может интерпретироваться, на .пример, как отождествление новых замеров дальности двух целей с ранее усред вепными замерами илн данными целеуказания. 50 , — (и!2) 17!+2!(р" й) = уг, ««» = и — а, — и/2 преанмаег мнншшлькое значение. равное и суишственно меньше дисперсии аз(р) непосредственной оценки (2.11).

В частности, пРи л=5 (Я=2.10-«) пз(Р)/о!.(Р(ц«)) — '1,6-10'. ВыбоР оптимальных значений а*!, ц*з.в этом случае не очевиден. Действительно.-увелвченви вероятности неправильной классификации в преобразованной модели можно добиться различными способами, н том числе, положив ц»,=и*а=О я упростив при этом запись оценка (2.75) по срааиеншо с оптимальным вариантам. В обоих случаях эта вероятность равна приблизятельно 0„5. Однако дисперсая оценки (2.75) прм Оа»=ц«з=о, равная приблизительно(2и)г н) -'; суше«твенно превышает не только дисперсию оптимальной, но и дисперсию непосредственной оценки (при =5 Оташ ние (ги)!'в)- 7»з грт -270) Вынгрыш, получаемый прн оптимальном выборе параметров объясняется малюй дисперсией функцнв р» =1«(х«ь и)7йг(х'!, а») в оценке (271)! прн переходе и — »ц* аяачения [)гг(1 для всех х'!, прв которых х !!)х'»! (т. е.

)(х'!) = 1). 3. Оценка вероятности выброса в дискретном фильтре. Отсчет Ч», б=я. «7+!... на выходе дискретного линейного фильтра с кояечной памятью опрсделяетса формулой Я чь= чэ'. С,йа, (2.76) г а где кь-ь г=О„ 1, .... )7 †отсче фнльтруемого случайяого процесса; С вЂ весовые козффвциевты. В дальненшем предполагается, что значения йз . суть независимые, нормально распределенные величины со среднимн зивчеяиями иь,=0 и едянячвымн дисперсиями. Вероятность Р=Р(ча> П) выб)юса г)ь эа порог П оценивается по формуле (2.71) в предположения, что плотность верон'гяостей воздет!ставя меняется посредстиом нзменевня средних значений ць- — »п«ь †.

Пря произвольном варьирования ць, оценка (271) ямеет внд У 1 ж'т (а а-г) р= 7(х«.) Пехр г ( а» х» .~ (270) ! ! г=а где х с=1!х«ь!, х сз ч!...., т«!ь — ям!). »=1, 2, ..., 17 — независимые реализации случайных воздействий, отлнчаюшнеся от исходных наличием ненулевых средних значений цаь „г=О. 1,,, 17; )(х«!) =1, есля реализации х*, соответствует выброс, [(х'!)=О прк отсутствии выброса.

я Если ааы !=а~)0 г=о 1 )7 то днсперсня сомножителя Цечр[ ) г э в формуле (2.79) растет ио мере роста 17, в то время как влияние переменных х'!»-г! на величину !б. определяемое соотношеняем весов С, в формуле (2.76), в обшем случае имад!елково. Например. прн эксшшенцызльном сглаживании иля 4» б! ыакооленнн снгналов [за) значвмость отсчетов хзш,н прогресснано убывает с увеличением г; в фильтрах для определенна пров»водной малозначоцнмя являются отсчеты с вндексамн г, блвзквмв к (/1+1)/2 н т. д, В соответствии с даннымн выше обшнык рекомендацвяма можно ожндать, что, оставляя нензмекнымк параметры агз- ! малозначашнх переменных я, следовательно. нсключав соотзетствуюшве сомножнтелв язП ехр [.).

Характеристики

Список файлов книги