Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 88
Текст из файла (страница 88)
На рис. 17.5 приведено окно 5соре с графиками зависимости переменной х и ее производной. Видно, что полученный временной ряд не похож на периодичесие колебания Нзображение траектории на фазовой плоскости (элемент Хт' бгар11) приводится ва рис. 17.6 51и011нх 469 Рнс. 17.5. Окно 5соре Рнс. 11.6. Двумерное окно ИАПАВ двк вывода траекторнн Редактор динамических систем Имеются и другие способы задания моделей, требующие минимального использования блоков. Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно подготовить модель при помощи специального редактора динамических систем ВЕЕ. В этом случае диаграмма состоит из специального блока ПЕЕ, в котором содержится описание модели в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка и начальных данных, и блока вывода. Полученная таким образом система будет вычисляться с той скоростью, с которой работают встроенные бло- ки 51р1ШЛМ К.
Рассмотрим работу с редактором ПЕЕ на примере подготовки модели, описывающей движение шарика с потенциалом, меняющимся из-за наличия обратной связи (см. главу 10 «Примеры решения задаче). Заполнение областей ввода представлено на рнс. 17.7. В строке напте можно определить имя, которым будет помечен блок ВЕЕ иа блоковой диаграмме, см. рис. 17.8. Число входных данных задается в стро- га70 Глава 17. Расширения ИАТЕАВ ке Ф о11пригв:, отрицательное число, введенное в эту строку, преобразуется в нуль.
Правые части уравнений вводятся построчно в окне Игвг огдег епцайопк Для обозначения вектора переменных используются компоненты векторов х, а ц обозначает входной вектор данных (например, время, если нужна неавтономная система). При формулировании правой части системы могут применяться любые переменныс из рабочей области МАТ(.АВ, любые функции, поддерживаемые в блоках 51 пац(1 п1 Реп Ь(осВ (тригонометрические, гиперболические, их обратные и др., полный список функций содержится в руководстве по 51И001ЙК). Область начальных данных обозначена Х0:, а список выводимых параметров дается в окне Оигрцг Еццайопв:.
Параметры рассматриваемой системы дифференциальныхуравнений (шн и 1ашЬПа) достаточно ввести в командном окне МАТ(.АВ: » мн=.з: ~амьса-.!: Рис. ЕПГ. Окно редактора ОЕЕ Рис. 17,8. Окно модели Кнопка йеЬО!Ы предназначена для реконструкции файла модели (расширение гпй) системы после коррекций, а назначение остальных кнопок (Не1р, Сапсе1, 0опе) стандартно. Диаграмма модели (рис. 17.8) состоит из двух элементов; в блоке «Маятник» содержится собственно система дифференциальных уравнений, а для вывода результатов на фазовую плоскость добавлен элемент из библиотеки 51гпцйпВ ИЬ гагу Вгошвег (ХУ бгарЬ). На рис.
17.9 приведена траектория, полученная в результате запуска с начальными данными после длительного установления. Здесь использована возможность получения расчетных данных в командном окне МАТ1.АВ. Для этого в окне параметров запуска (пункт Рагагпе1егв... меню 5)пан(айоп, см. рис. 17.10) был отмечен соответствующий пункт. Чтобы нарисовать траекторию, приведенную на рнс.
17.9, было сделано несколько расчетов. Вначале использовались данные из 51мшлнк 471 окна редактора. Затем было указано, что финальная точка доступна в командном окне, переменной х ! пт 0т а1 присвоено содержимое вектора хЕт па1: » х!от гта1-хгтпа! х!Птттаг- 3.635бе-001 -1.0221е-001 1.0802е»000 Наконец, в окне параметров запуска был выбран пункт, указывающий в качестве начальных данных использовать х ! птгт 01.
Результат запуска с этими данными представлен траекторией (рис. 17.9). Рис. 17.9. Хаотихескал траектории Рис. 17.10. Окно параметров модели С помощью акселлератора 51И1) ЯМ К Ассе0егагог прямо из блоковой модели можно сгенерировать код на языке С и откомпилировать его. В результате будет получена версия модели, расчет которой потребует в несколько раз меньшего времени.
472 Глава 17. Расширения МАПАВ Это существенно, например, при использовании метода Монте-Карло, когда многократно, с разными начальными данными производится расчет динамики одной модели. К тому же код создается в стандарте АЬ(51 С и является переносимым. Ускоритель поддерживает все стандартные интеграторы 51М0Ь1МК, отслеживает изменения структуры модели и запускает перекомпиляцию, позволяет изменять параметры модели без перекомпиляции. Генерируемый код оптимизируется, чтобы стало возможно моделирование в реальном масштабе времени. Это достигается оптимизацией циклов и вызовов функций, удалением единиц и нулей из арифметических выражений.
Из 51М0Ь11чК могут использоваться следующие пакеты; йеа!-11п!е РГогйвйор, 5сасейош, 5сагейош Собег, 05Р В1осКвес, Р!хеб-Ро1пс В(осйвед Мопйпеаг СопГго1 Оегбдп В1осКвеп Например, с помошью йеа1-11ае !ВогКвпор можно сгенерировать код на С и создавать программы, запускаемые автономно. Система 51М0 ПИК помимо графического 'интерфейса позволяет проводить эксперименты, используя командный режим (функция в ! ш). Модели можно отлаживать при помощи функции з ! беьцд, для задания параметров применяются функции в1шзег и в|вдет, использование которых аналогично работе с функциями вес и дет для определения параметров интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 1акет РОЕ Рассмотрим организацию пакета РВЕ Тоо! Ьох, предназначенного для решения уравнекий в частных производных.
Пакет составляют команды задания области и ее дискретизации, формирования и решения систем алгебраических уравнений, а также сервисные функции. Ряд процедур ориентирован на решение классов задач: гиперболических (ПурегЬо11с), параболических (рагаЬо! ! с) и нелинейных уравнений (), определения спектра (рбее! д). Для решения уравнения Пуассона на прямоугольной сетке имеется функция ро! во! ч. Пакетом поддерживается дискретизация на треугольной неравномерной сетке, и решение задачи основывается на алгоритмах метода конечных элементов. Пакет включает функции построения треугольной сетки (1п|тшевп), ее уточнения (геГ! пешеьп) и другие функции. Адаптивная сетка генерируется функцией абарсшезп, а для ассемблирования (формирования системы алгебраических уравнений) применяются процедуры авзешрбе, азвешЬ, аваева.
Специальные функции реализованы для часто используемых областей, например построение регулярной сетки для прямоугольника (ро1шезп). Имеются функции для записи спецификаций краевых условий (иЬоипб) и параметров дискретизации (идеош). Для задания области применяются функции, определяющие окружность (рбес| гс), эллипс (рбее!11р), прямоугольник (рбе гесс) и многоугольник (рберо1у).
Кроме того, имеется специальное средство для построения интерфейса (рбесоо1). Набор графических функций позволяет дать изображение области (рбедр1ог), сетки (рбнлевь), вывести 11езулътат в виде поверхности (рбез цгГ) и линий уровня (рбесопг). Вычислительные алгоритмы включают прямое и обратное дискретные сннус-преобразования — бвг и 1бвг соответственно, а также быстрое решение уравнения Пу- Пакет РОЕ 473 ассона на прямоугольной сетке (ро)са1с). Для вычисления обобщенной задачи на собственные значения для разреженной матрицы используется функция зрсагп, Имеются функции для вычисления потоков, градиента, интерполяции функции, оценки погрешности, для интерполяции данных с треугольной сетки на прямоугольную (Гш 2о г1 О).
Последняя команда полезна при построении линий уровня и поверхностей стандартными графическими средствами МАТ(.АВ. При решении двумерных задач удобно использовать команду общего назначения (рОер1ОЕ), которая обеспечивает графический интерфейс для всех этапов работы; выбора модели, задания области, определения граничных и начальных условий, решения и вывода результата.
После запуска команды появляется окно, см. рис. 17. 11, на котором показано построение сетки для области, полученной объединением двух эллипсов. 87 81 Оз Ов Од 02 О .02 -Оа -Од -08 -1 -1 8 -1 -Ов О Оз 1 15 Рнс. 17.11. Окно конандн рве1оо1 Работать с рдер1ос довольно просто. Пункт АррйсаГ)опт (меню Орг)опз) позволяет выбрать тип задачи из списка: скалярное уравнение или система, уравнения теории упругости (плоское напряженное состояние или плоская деформация), уравнения электро- или магнитостатики, задача диффузии и др. Затем необходимо задать область (меню Огата). Даже геометрически сложная область может быть быстро подготовлена при помощи графического интерфейса и мыши.
После этого следует задать краевые условия (меню Воопда ау или соответствующий значок). Здесь можно выделить часть границы и двойным щелчком мыши вызвать окно, в котором 474 Глава 17. Расширения МАТЬАВ указать тип (условие Дирихле или Неймана) и задать числовые значения. Далее следует конкретизировать вид уравнений (меню РОЕ или одноименный значок). Двойным щелчком мыши на каждой подобласти можно вызвать специальное окно (Р0Е 5рес!Всайоп), см. рис. 17.12, в котором следует определить уравнение и назначить числовые коэффициенты. Рис.
17.12. Окно дкк аадання уравнений !команда рйевоо!) После этого производится дискретизация области треугольниками, причем можно уточнять сетку, оценивая ее качество графически и численно. Для определения расчетных параметров и запуска решения служит пункт меню 5о!че и соответствующий ему значок (еравно»). Приведенную последовательность действий можно менять, проходя этапы подготовки задачи в ином порядке. Например, сразу после задания области можно построить сетку, а затем перейти к определению уравнений и краевых условий. При работе рбегоо1 вызывает функции пакета Р01 для задания области, триангуляции, постановки краевых условий и т. д. Результаты решения могут быть представлены графически в окне рс!ер!О1 или отдельных окнах МАТЮКАВ. На рис.
17.13 дан контурный график собственной функции для рассматриваемой задачи, Подготовленные интерактивно в рйе1оо! данные можно сохранить в виде па-файла модели (Гипсйоп рс!егпос!е!), куда запишутся геометрия области, краевые условия, сведения о сетке, коэффициенты уравнений и другие параметры задачи. Это позволит впоследствии продолжить работу с моделью. Рассмотрим задачу о диффузии в квадратной области начального температурного пятна в форме двух холмов (восьмерка в плане). Будем решать уравнение теплопроводности, считая, что на границе заданы нулевые краевые условия (задача Дирихле): » 9еов- вднагео : Ьонп- вдоагеш '; По входной информации о геометрии рассматриваемой задавая функция 1п11шезЬ проводит триангуляцию области и формирует три массива: вершин, сторон и тре- угольников; » [рокеср.гга3-~пасвевыяеоап: Паяет РОЕ 475 Ьапзпие(11)>84.7712 Соп(ииг и 08 01 04 0 -02 -04 О 05 -0 05 -08 -01 -08 -1 -1.5 -1 -05 0 05 1 15 Рис.
17.13. Результат решения е анне риесео( Введем начальную температуру: » иО-ехр(ра1 (> .. ) ."2-4*роз (1.: ) . "4-4*ро1(2.: >."2- 4) ' . и0-аЬз(ззп(01*роз( 1.:)> *соз(рз>2+роз(2.;)))': (х 71пе(роз(),:>."2+роз(2,:>,"2>0.8"2); иО(зх)-гегоз(11ге(зх)): Определим моменты времени для записи температуры(с) 7 зь) и обратимся к функ- ции интегрирования параболической задачи рагаЬО) >с: » С>111-0;.05:1; х-)1пзрасе(-1.1,21) у=х. и)-ра гаЬО) 1с(иО. 1> з зс, Ьаип. роз, еОО, Сгз, 1, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
