Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Теперь по стандартной формуле простейшего метода релаксации новые значения ре можно получить-во всех внутренних точках. Далее процесс повторяется. Уточним некоторые детали. Представим разностную схему в форме ! 1 (16) ! -!! — ! Метод релаксации с ускорением состоит в следующем. В каждой внутренней точке (к, л!) поочередно пересчитывается значение ! = — (с + «~~' Ок ' Р .)!СО О (17) !,/ — ! (звездочка отмечает пропуск слагаемого !'= !'=О). Это предварительное значение. Окончательное значение есть Ра,м' РКН+!О(Рк, Рдт)' (18) где параметр !О, ускоряющий сходимость, подбирается экспериментально, Теория уравнения Лапласа с постоянными коэффициентами указывает диапазон оптимального значения: О! 1.7 —: 1.8.
Найденное по (18) значение р» сразу записывается в массив р, так что формула (18) является «полунеявнойж часть входящих в сумму значений ре ! Ну относится к ч-й итерации, часть — к (я+1)-й. Вычислительный эксперимент показал слабую расходимость этого итерационного процесса. Второй способ состоит в том, что связь (15) заранее вносится в разностные уравнения. Если точка д-типа !1 входит в шаблон в точке (к, л!), причем соответствующие точки а и р тоже входят в этот шаблон, то точка д-типа исключаегся из схемы. Выражение (15) подставляется в (1б), пересчитываются коэффициенты схемы, соответствующие точкам а и р, коэффициент, соответствующий точке !1, делается нулевым.
Далее итерационный процесс выполняется точно так же, как было описано выше, но значения в точках д-типа в расчете фактически не участвуют. После выполнения итерации формула (15) используется для расчета значений Р в точках д-типа. Редко, но все же встречаются ситуации, когда хотя бы одна из точек а и р не входит в шаблон в точке (й, и!). Тогда операция исключения дефектной точки из схемы не производится и работает первый способ учета асимптотики (15). 514 нгивлиженныв методы вычислительной физики 1ч. и Итак, алгоритм построен. Ои основан ие иа точной теории, а иа соображениях, привлекаемых из близких ситуаций (в которых эти соображения являются результатом достаточно аккуратной теории).
Такой способ действия характерен для вычислительной физики. В ией редко встречаются чистые, укладывающиеся в уже готовую теорию задачи. Специалист по вычислительной физике обычно начинает построение алгоритма «по аналогии» с тем, что ои уже знает, и начинает именно с практического использования своего алгоритма, а ие с развития соответствующей ему теории. Это понятно: ведь алгоритм может оказаться неудачным и стоит ли тогда строить теорию? Если же ои оказался удачным, наступает время решать прикладиые задачи, а теория может и подождать.
, В данном случае, конечно, в первую очередь хочется повять, удачен ли алгоритм или надо в ием что-то менять. Естественным средством проверки алгоритма является решение задачи, имеющей точное решение и содержащей характерные для данного случая трудности. Такая задача может быть построена. В круге единичного радиуса в центре помещена скважина малого радиуса.
Коэффициент диффузии берется в виде (1 — г)51з. поскольку задача цилиндрически-симметричиа (ее решение зависит только от г), уравнение диффузии становится обыкновенным уравнением; -„'-„"„~г(1 —.)" Я =У= 1, .~(0, Ц. Оио элементарна интегрируется: где Сы Сз — произвольные постоянные. Ограниченное решение находим при С, = — У/2. Постоянная Сз ие существенна, положим Сз = О. Это решение имеет корневую особенность иа внешней границе (г = 1) и логарифмическую — в центре.
Преобразованием подобия получим решение уравнения (2) в области р ~ г(х, у) к Я, где р = 0.1, Р = 250. Постояииую У легко подобрать так, чтобы выполнялось внутреннее краевое условие: р = 1.2 иа границе скважины, Задача решалась с помощью метода конечных супер- элементов иа квадратной сетке с шагом Н = 17. Число счетных узлов было около б50. Заметим, что граница исходной области (окружиость г= М) аппроксимируется контуром (Х„У,) достаточно аккуратно, хотя область определения счетных величин р (миожество счетных узлов) аппроксимирует круг г и я очень грубо. Вычислительный эксперимент имел целью выяснить два обстоятельства1 как сходятся итерации и какова точность разиостиого решения? Сходимосгь итерационного процесса (использовался второй способ) иллизстрирует табл.
24, в которой представлены: т — число итераций, в — невязка (максимум по (?е, т) модуля левой части (1б)), 515 ззИ метод конечных стоя»элементов ю — значение параметра релаксации в (18). Итерации начинались с рз = О, значеиия сз 4 -." 5. Из таблицы видно, что при ю = 1 невязка быстро достигает малых значений, затем сходимость становится очень медленной: за первые 200 итераций невязка уменьшается почти в 104 раз, в дальнейшем за 200 итераций она уменьшается примерно вдвое.
Как расценить этот результат? С одной стороны, погрешность в правой части (порядка 0.01 ), кажется, не требует существенного улучшения, с другой стороны, медленная сходимость внушает какую-то тревогу. Обычно она свидетельствует о том, что оператор (здесь д1« из 8гад) имеет собственное значение, близкое к нулю. В з 14 специально отмечалось, что связь между невязкой и погрешностью определяется минимальным собственным значением: погрешность есть величина порядка невязки, деленной на ) Х щ ). В рассматриваемой задаче есть основания подозревать наличие очень малого собственного значения.
В самом деле, легко угадать функцию, которая является «почти собственной» с собственным числом Х = О. Это есть функция р(х, у) ш 1. Она удовлетворяет «почти всем уравнениям» б)т (и' 8гадр) = О. Не выполнено только однородное краевое условие на скважине: р= О на д8. Конечно, од Х = 0 не является собственным зиачением, но приведенное выше рассуждение служит о,4 основанием ожидать близкого к нулю собственного значения, тем более близкого, чем од меньше радиус скважины.
Действительно, результаты, приведенные в табл, 24, показывают, что дальнейшее Рис. 65 уменьшение иевязки (казалось бы, излишнее) сопровождается заметным изменением важных величии р', р". Это значения рк, взятые на луче, выходящем из центра скважины по диагонали сетки: р' — первое значение р на луче (на расстоянии Н! П ог центра скважины), р" — последнее, почти граничное значение р на луче.
Видно, что уточнение в процессе итераций решения системы разностных уравнений до значений з ж 10 ь имело смысл. Таблица 24 дает представление и о точности самой разностиой схемы (при шаге Н= 17). Значения точного решеиия в соотвегст- 1ч. и ПРИБЛЮКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ЕЫЧИСЛИТЕЛЬИОЙ ФИЗИКИ 516 вующих точках суть 0.680 и 0.124. На рис. 66 представлено точное решение в сечении по линии х = у, проходящей через центр скважины. Кстати, значение р на скважине есть 1.2.
Приближенное решение отмечено кружхами. Расчет трещины гидроразрыва. Метод Пикара. Расчет трещины гидроразрыва привел к системе двух уравнений, содержащих неизвестные и и р, причем уравиение (1) при известном р решается методом, описанным в З 30, уравиеиие (2) при известном и решается так, как было описано выше. Это типичная ситуация, в которой естественно начинать работу с самого простого итерационного метода — метода Пикара. В данном случае ои оказался удовлетворительно сходящимся. В основных чертах стандартная итерация состоит из следующих операций. О. Пусть имеется некоторое приближение и, р.
1. Фиксируя р, решаем уравнение (1), причем находится как грубое решение, тах и уточненные на локальных сетках решения, позволяющие достаточно аккуратно оценивать коэффициеит концентрации напряжений на контуре дР(ч), Ои используется в дальнейшем при аппроксимации уравнении (2) вблизи контура. 2. Рассчитываем коэффициенты схемы метода хоиечных супер- элементов (16): се Р, сь „,, т к, Рл, 1, у = — 1, 1.
эти десять двумерных массивов хранятся в памяти ЭВМ: расчет коэффициентов достаточно сложен, чтобы его производить заново при каждом обращеиии к точке (х, ль). (В методе конечных разиосгей коэффициенты схемы часто вычисляются так просто, что их не имеет смысла вычислять заранее и хранить.) 3, С учетом асимитотики (14) в соответствии с формулой (15) корректируем коэффициенты схемы в тех внутренних узлах сетки, в которых шаблои 9-точечной схемы включает дефектные счетные точки. 4.
Решаем уравнение (2) для р при фиксированном и. Далее процесс повторяется до стабилизации результата. Под решением уравнений (1), (2) выше понимается некоторое число итераций, причем в качестве начального приближения, естественно, берутся имеющиеся к этому моменту приближенные значения и, р. О достигнутой точности можно судить по невязкам в уравнениях (!), (2). Следует только подчеркнуть, что эти невязки вычисляются дважды: иа входе в итерационный и- и р-процессы и на их выходе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
