Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Такие условия, как известио, состоят из требований непрерывности самой функции (это требование автоматически выполняется конструкцией (9) при любых р» ) и непрерывности нормальных к линиям сетки производных. Последнее требование, разумеется, точно выполнить невозможно, распоряжаясь лишь значениями р» ).
Однако можно потребовать выпола, нения его в некотором «слабом» смысле. га с каждым внутренним узлом сетки (х, нт) свя© жем специальную область о», имеющую нулевую площадь. Эта область имеет форму креста (рис. б1), но каждый его луч имеет две стороны, обращенные в соседние ячейки. Функцию р(х, у) вида (9) будем считать приближенным решением, если для всех внутренних узлов (к, нз) выполняется условие равенства нулю потока в области о . Введя обозначения до» для двусторонней крестообразной линии (границы о» ) и и для направления нормали к до», условие равенства потока в о»,„запишем в виде $ РКИБ=О.
(10) аа„ Можно показать, что такое же условие (10) получается, если проинтегрировать уравнение 61Р Р етаб р = 0 по квадрату Н х Н с центром в узле (/Б, нт), исключив из него, разумеется, скважину, если она имеется в какой-то из примыкающих к узлу ячеек. Уравнение (10) следует превратить в разностное уравнение, связывающее девять значений р» „+а, где а, р е ( — 1, 11. Для этого при расчете базисных функций вычислим и сохраним значения потоков через элементарные контуры ои показанные на рис. 60: аа! П'з =$Р» — '»Ь, 1=0,1,...,4, /=1,2,...,4.
а 509 Ф зз1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ Напомним смысл индексов: з — номер типа ячейки, 1 — номер базисной функции (1-я функция соответствует 1-й вершине, в которой з'-я функция равна единице), У вЂ” номер участка границы. Если коэффйциент диффузии в ячейке постоянен (или очень мало меняется, т.е, в расчетной схеме полагается постоянным), то потоки вычисляются для решений уравнения Ь р = О и затем умножаются на зг. ЕслИ ВЗ в ячейке имеет сложный характер, базисная функция ищется решением уравнения б!у Р агам р = О. Теперь для представления явного вида разиостиой схемы нужно рассмотреть все точки (й + а, лз + В), каждая из которых дает свой вклад в интеграл (10).
Выпишем соответствующую формулу, полагая, что читатель без труда поймет принцип ее образования: Ре — д — А, з + Ра, — ~(Пг з + Пк 4) + Ре Р ь т-1 Пгг 4 + 1 + Ри-ь и(П4 з+ П~ г) + Ре+~,»(Пз 4+ Пз з) + + РВ (Пз з + П4 4 + Пз 1 + Пг г) + РВ з +~ П4 г + + РВ щ+~ (Пз г+ П4 У) + Ри+1 м м Пз У + Р ПО з = О~ ( ) где верхние индексы у П есть номера типов суперэлементов„поме- щенных в ячейки, примыкающие к узлу (к, лг).
В (11) мы ограни- чились случаем, когда только в ячейке 1 имеется скважина с задан- ным на ней давлением Р'. Если попытаться сформулировать класс задач, в которых методы расчета с «большим шагом» окажутся достаточно эффективными, то, видимо, следует принять важное предположение: на координатных линиях сетки с шагом Н искомая функция хоро- шо аппроксимируется с помощью линейной низ терпаляпнн.
Успех вероятен в том случае, когда з ь дифференциальные свойства искомой функции 4 р(х, у) и ее ограничения на координатные линии Н-сетки существенно различны. Для функции, рассматриваемой во всей двумерной области, шаг Н очень велик, ограничение ее на Н-сетку пропускает существенные детали (в данном случае, сильные дефор- мации решения в малой окрестности скважины), Но функция, рас- сматриваемая лишь на координатных линиях, может быть достаточно гладкой, и значения ее в узлах (к, Рл) дают весьма полное представ- ление о поведении функции на линиях сетки, но не во всей плоскости.
Метод конечных суперзлементов второго порядка. Описанную выше конструкцию естественно называть схемой «первого порядка», учитывая линейность базиса на линиях сетки. Можно уточнить ее„построив в том же духе схему «второго порядка», с квадратичным базисом. В этом случае вводятся еще четыре счетные точки — в серединах сторон ячейки (рис. 62). Теперь уже будет во- 510 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. н семь базисных функций, которые определяются специальным выбором значений р на внешней границе ячейки, а внутрь продолжаются, так же как н раньше, решением уравнения Лапласа с учетом условий на скважине (если она есть).
Краевые условия, например для р, и <рз, формулируются так (Е = х/Н, т1 = у/Н): р,(х, 0) = 1 — ЗЦ+ 2ЦВ, р,(0, у) = 1 — 311+ 211«, р, ее 0 на остальных гранях, р (х, 0) =4Ц1 — Ц), р =0 на остальных гранях. На рис. б2 показаны граничные значения Р1 и рь. С каждой счетной точкой на границе ячейки нужно связать свою часть ее контура ог Теперь, кроме «целых» точек (х, лг), появляются «полуцелые» точки (/г, лг+1/2), (/г+!/2, лг) и соответствующие двусторонние контуры о, о«+и о«+из (рис. 63). Опыт применения схемы вто- «1.Н1, рого порядка показал заметное повышение точ- «1,„-«л ности расчета.
Но это связано и с заметным возрастанием сложности схемы: в целой точке она 21-точечная, в полуцелой — 13-точечная. При Рис. 63 выборе элементарных контуров о и двусторонних контуров о „,..., как показал опыт, следует придерживаться естественного правила; контуры о« м, о«»нз а«пз не должны перекрываться и должны покрывать все координатные линии сетки (не допуская «пустот»). Заметим, наконец, что, кроме функционалов, используемых при составлении разностной схемы, часто возникает необходимость при подготовке исходной информации вычислить и сохранить некоторые дополнительные функционалы, необходимые для содержательной интерпретации полученною сеточного решения.
В задаче о трещине гидроразрыва таким функционалом является поток в скважину: Вя Вт Имея такие функционалы, поток в скважину на полученном решении можно вычислить по очевидной формуле «+!р, т+1гз (Р«1 О Р«+1, КО + Р«+1 «+1 ПЗ, о + Р«м+1 П4 О + Р ПО О) где Р— давление на скважине в ячейке (х + 1/2, лг + 1/2) В«+1гх,„+1ц — коэффициент диффузии в ней.
5!! 6 3!1 метод конечных стев»элементов Решение вырожденного уравнения диффузии. Вернемся к уравнению (2) для давления, причем и(х, у) считается известной функцией. Реально эта функция известна в узлах сетки, т.е. в виде сеточной функции ие , полученной как «грубое решение» (см. з 30) при расчете раскрытия трещины. Кроме того, известно, что около внешней границы и представляется е виде нД т1) Я~) т~~ + О(т1зи) (12) где $ — длина дуги на дс., т! — расстояние от дс' по нормали. При столь сильном вырождении уравнения (2) «краееое условие» на дб ставится в очень неопределенной форме — е виде требования ограниченности решения. Этим «условием» надо замкнуть систему разностных уравнений. Ниже в общих чертах мы опишем численную реализацию такого замыкания. Начнем с некоторых терминов. Пусть контур дсг задан, как и в з 30, набором точек (Х!, У!), соединяемых отрезками прямых.
Плоскость (х, у) покрыта сеткой узлов (й, и!). Точ- с а-узлы ° д-увен ки, попавшие внутрь б, называются счетными.. В них определена сеточная функция р„,„(н Рис. 64 и, используемая для вычисления коэффициента диффузии, который полагался постоянным в пределах ячейки; эта постоянная величина вычислялась усреднением и тю четырем вершинам ячейки). Разделим счетные узлы на два типа (рис, 64). Узлы в-типа («внутренние») — это узлы (х, !и), у которых все восемь соседних узлов явлшотся счетными.
В этих узлах используется е стандартная разностная аппроксимация на 9-точечном шаблоне. Остальные счетные узлы суть узлы д-типа («дефектные»). В этих узлах неприменимо стандартное разностиое уравнение и нет привычною краевого условия, с помощью которого е нееырожденных задачах записываются разностные уравнения в узлах Рис. 65 д-типа. Для того чтобы разобраться в том, как следует поступать в таком случае, рассмотрим решение в окрестности границм, вводя местную систему координат (рис. 65). В этих переменных уравнение можно записать в форме (13) Здесь мы используем только главные члены асимптотики (12), прн этом Д можно считать постоянной величиной. Преобразуем пгиьлижвнныв мноды вычислительной»и»яки 1ч.
и 512 выражение (13) к виду; г г А7 Ч ! — + - А7 Ч вЂ” + А7 Ч вЂ” = а+ ... з ггдд 3 з !7гдл з з7гал дчг 2 дя Считая величину Чиг дгР7д$г пренебрежимо малой по сравнению с остальными, рассмотрим асимптотнческое уравнение Ч + Ч =!7= —. ига'Р . З Пгдг д дяг 2 дя Л!3' Оно легко интегрируется. Его общее решение есть Р(Ч) = С, + 2С»Ч !72+ 2!7Ч!7г где С, С, — произвольные постоянные. Очевидно, ограниченное решение можно получить только при С = О. (Именно зто сокращение числа произвольных постоянных в общем решении уравнения второго порядка и является причиной того, что нельзя ставить классическое краевое условие при Ч = О, т.е. на границе области Сг.) Итак, мы получили асимптотику решения около границы: Р(б, Ч) = Сй) + 2(7й) Ч!и+ о(Ч!и).
(14) Используя асимптотику (14) запишем соотношения для р„, Р;! 7г! - — С+ 2!7!IЧд, Р, = С + 2!7г7Ч!. Исключая из них С, получаем связь Ра !«Ра + (1 !«) Рд + ! (~7Чд «Чд). 20 (15) Подставляя в (!3) такое решение (предположим, что СД), !7(г)— гладкие функции), можно оценить отброшенные выше члены и оправдать зги действия. В формуле (14) функция С($), конечно, неизвестна, она определяется некоторой процедурой «сшивки» с решением внутри области, Алгоритмическая реализация асимптотики состоит в следующем.
Рассмотрим некоторую точку д-типа (точка !7 на рис. 65). Пусть (Х1, У!) — ближайшая к ней вершина границы. Через вершины с номерами ! — 1, 1, 7+ 1 проведем окружность, которую будем считать участком границы д0. Через точку д-типа проведем нормаль к дб, пересекающую вертикальные и горизонтальные границы ячеек или их диагонали. Среди зтих отрезков выберем ближайпгий к точке д-типа, такой, что оба его конца суть точки д-типа (на рис.
б5 они обозначены а и р). Пересечение нормали с отрезком обозначим буквой 5. Значение р в точке з можно проинтерполировать по значениям в точках а и р: р,= мр + (1 — !г) рд, !г != 10, 1). 5!3 8ЗН метод кОнечных супеРэлементов Формулу (15) в итерационном процессе решения системы разностных уравнений можно использовать двумя способами. Первый способ состоит в следующем, Пусть получено некоторое приближение р во внутренних узлах в-типа. Используя (15), доопределим его в точках д-типа. Таким образом, значения Р известны во всех счетных точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
