Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Многосеточные методы конечиьш элементов, — Мл Наука, 1989 162. Шоким Ю. Н., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближенна: Применение к пшовой динамике, — Новосибирск: Наука, 1985 163. Шор Н.3. Методы минимизации недифференцируеммх функций. — Киев: Науковй думка, 1979 ' ' 164. Ямз'Д, Хейгдаи Л. Прикладные итерационные методьь — М., Мир, 1986 165.
ЯмемЮ Н. Н, Метод дробных 'шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, !967 523 ьиьлиоп лвический комментлгий БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ К у А Решение систем нелинейных уравнений Конструкции итерационных методое н их теорию см. в 197); там же имеется полная библиография и сведения по истории. Решение функциональных уравнений методом продпзжения по параметру предложено Д. Ф.
Давиденко [49), в частных задачак оно использовалось и раньше (см. [97], с. 230). Термин «инвариантное погружение» введен в [Ю]. Нормировка задачи введена в [61, 145). Метод Ньютона в функционаяьиых пространствах рассмотрен в [71, 72]. К у 2, Численное дифференцирование Численное дифференцирование описано в [18, ! 9, 70, 1 ГВ) и др. О современных алгоритмах надежного дифференцирования си. обзор [151]. Некорректная задача вычислений производной как функции, определенной на интержше, изучена в [134).
К у 3. Интерполяцил функций Теорию интерполяции см. в [18, 19, 70, 118) и в монографиях [9, 54, 92), Вопросы наилучшей аппроксимации функций см. в [9, 331. Теорию сплайн-интерполяции см. в [5. 126), Об оригинальной конструкции локальных сплвйнов, разработанной В. С. Рябеньким (1952 г.), см. в 1115]. Метод конечных элементов описан в монографиях [131, !61].
Конструктивную теорию функций (включая теорию полиномов Чебышева) см. в [54, 92) . К у 4. Вычисление определенных интегралов Теорию численного интегрирования см, в учебниках [9, 18, ! 9, 70. ! 18) и др. Современные исследование оценок минимального обьема вычислений, необходимьш для интегрирования с заданной точностью, см, в [! 24]. Теория и приложения метода МонтеКарло описаны в [83, 87, 125, 159). Экстраполяция Ричардсона в сложных задачах математической физики рассмотрена в [83). К 9 5. Численное интегрирование задачи Коиш для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Методы Адамса (! 883 г.), Рунге Н 895 г ), Кутты (190! г ), составляющие основу современных алгоритмов, описаны з руководствах [9, 18, 19, 70, ВЗ, 118] и др. О современньж исследованиях повышения надежности, автоматизации выбора шага интегрирования, обеспечивающего заданную точность при возможно меньшем объеме вмчислений, см.
в [! 9, 44, 152, 155]. О развитии ма»адов приближенного интегрирования уравнений с большим параметром (жестких систем) см. в [51, 108] и в 8 17, 18. К у б. Абстрактная форлкг приближенного метода Изучение приближенных методов с позиций функционального анализа проведено в [2, 72, 1!5, 117].
Исследование точности некоторьпг конкретных схем при возможно более слабых предположениях о гладкости решения см., например, в !64 — 66]. К у У. Исследование сходимости методов Рунге-Кутты См. список литературы к 8 5. К у 8. Приближенное решелие краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения краевых задач (зключая вычисление спектра) см. в [9, 18, 19, 44, 70) . Реализация метода Ньютона в функциональном пространстве и пример решения жнпы нз [103].
Метод вычисления точек комплексною спектра применен при решении задачи, связанной с исследованием устойчижхти атмосферы Венеры, в дипломнод ра- боте А. В. Лемехи (МФТИ), БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ 524 к 9 9. метод дифференциальной прогонки Прогонка, как устойчивый метод решения краевых задач с большим параметром, была введена и исследована И. М. Гельфандом и О. В. Локуцневским в 1952 г. (опубликована в приложении к [43[). Важнейшие обобщения принадлежат А. А. Абрамову [2! и С, К, Годунову [43[. См. также список литературы к 8 1О, 18.
К 9 10. Прогонка в розностной задаче Штурма-Лиувиллл Прогонка ввлвется алгоритмом Гаусса с предписанным порядком исключения неизвестных, который обычно неустойчив (устойчив метод Гаусса с выбором максимального элемента матрицы). Прогонка была «открыта» И. М. Гельфандом и О, В. Лакуциевским в 1952 г. именно как применение алгоритма, изложенного в школьном учебнике алгебры. Их заслугой является установление устойчижктм и использование алгоритма при решении сложных задач. Примерно в то же время в связи с аналогичным работами прогонка была предложена другими авторами. В настоящее время она является одним из самых массовых алгоритмов. Этот алгоритм (и его обобщения) описаны практически в любом руководстве по численному анализу [9, 18, 19, 118, 120[, См. также список литературы к 8 9, 15, 18, 22.
К 9 уй Численггое интегрирование задачи Коши длл уравнений с частными производными Методы построения и анализа разностных аппроксимаций уравнений ьатематической физики на простейших сетках подробно описаны в [9, ! 9, 30, 43, 44, 70, 83, 112, 118[; там же рассмотрены вопросы реализации схем. Впервые на важность соотношения между шагами сетки бьио указано в [76[.
Фундаментальный характер «условий Куранта» в полной мере был оценен позже, когда на ЭВМ стали решаться задачи, требующие проведения миллионов операций без контроля математика. В настоящее время практика вынуждает использовать сетки с нерегулярным расположением узлов. Построение аппроксимаций на таких сетках осуществляют не явными формулами, а алгоритмами вычисления коэффициентов схемы. Видимо, первым такие схемы использовал В.Ф.Дьяченко [58, 591 (см. б 23).
См, также [130, 156[. К 9 12. Спеюпральный признак устойчивости Автором метода спектрального анализа устойчивости считают фон-Неймана, хоти он и не является автором первой публикации [28[. Это — пример работы, оказавшей огромное влияние на численный анализ, несмотря на крайнюю простоту используемого математического аппарата. Изложение теории устойчивости разностных схем и практики ее применения см. а [30, 43, 44[.
Общую теорию устойчивости (необходимые и достаточные условия в терминах матричных неравенств) см. в [! 16-118[. Метод исследования разностных краевых условий был доложен К. И. Бабенко, И. М. Гельфандом и О. В. Локуциенским на конференции по функциональному анализу (Москва, 1956) и опубликован в [10!. Подробное изложение и дальнейшее развитие этого метода см. в (44[. К у 13. Метод переменных направлений Метод переменных направлений, принадлежащий к небольшому числу алгоритмических изобретений, оказавших существенное кзияние на развитие вычислительной математики, быя предложен в 1955 г.
Д. Писманом и Г. Рэчфордом [107!. Обобщение этой конструкции привело к созданию методов расщепления. В настоящее время эта конструкция широко используетсв для решения двумерных н трехмешгых задач. Методы решения систем линейных уравнений с разреженными матрицами описаны в [5э!. Теория схем со слабой аппроксимацией изложена в [117, 165[. К 9 14. Решение эллиптических задач методом сеток Теория приближенного решения эллиптических краевых задач разработана очень полно. Многие теоретические результаты (особенна расчет оптимальных итерационных параметров) используются в практической работе. До появления ЭВМ основным был 525 БиБлиОТРАФический кОмментАРий релаксационный метод Р. В, Саусзелла (!32), используемый и сейчас, Современное ега антонине описано в [ ! 64) . Метод переменных направлений, предложеннмй апервме в [!071 и оптимизированный В.Л.
Вашпрессом [361, стал ярким сабьпием в развитии численного анализа. Обобщения метода. расширяющие обяасть ега приложений, и развитие соответствующей теории выполнены Б. Г. Лимоновым [561. Подробно описание итерационных ментов см. в [83, !20, !22, !40). Теория устойчивого метода чебышезского ускорения предложена в (78, !16). Устойчивый трехслойный вариант алгоритма, основанный на рекуррентном соотношении для полиномов Чебышева, изложен в (164). Многосеточный метод предложен Р. П. Федоренко (149); его теоретическое обоснование в простейшем случае (уравнение Пуассона в квадрате) дано в [!44]. См.
также [140, !6Ц, Независимость зффективностн итераций от шаш сетки в весьма общей ситуации доказана в [8, !7, ! 6Ц. Широкое распространение метод, названный Ма!ВБг!д, получил после работ Хакбуша ( !57], Применение метода к уравнениям упругости (бигармоническому, системе уравнений Ламе) см, в (98, 127), К у 15. Спектральная задача Штурма-Лиувиллл Метод тригонометрической прогонки был предяожен в [80, 94[. См. также список литературы к $9, ! 1, 12, ! 8. Алгоритмы Х.
И. Бабенко см. в [91. К у 16. Главная спекгпральпая задача для краевых задач математической Физики Изложение теории и практики решения спектральной задачи в расчетах реакторов см. в [35, 36]. Метод решения уравнения Шредингера разработан П. М. Блехерам н В. И. Турчаниновым [23], Исследование равновесных конфигураций плазмы проводилось Н. М. Зуевой [68) и др. Метод расчета нестационарного процесса в реакторе разработан и реализован Л. Г. Страхавскоп и Р. П. Федоренко (127, ! 23(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
