Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Часть 1 ОснОоы МВР[е 144 )+Г(п)),Г(п))) () Без начальных условна > тзо1че((Г(л+2)=Г(л+1 /5 — 1 — Р(1) — — Р(1) /5 +Р(0)+ — Р(0),/5 ) — 2 1 3 ( 1 5 5 ) „/5е!1 /5 + 1 > тзо1те((Г(ты 2)48(л+1) ьт(л), Г(0)=1, Г(1)=1), (Г(л) ) ) т () Используя заданные начальные условна П 2 —./5 -ь 1 5;Г5 + 1 5 -(Г5+1 /5 41 2.4.4.
Решение неравенств Для решения неравенств и систем неравенств в области вещественных чисел СдсдуЕТ ИСПОЛЬЗОВВТЬ Коыанду зо1че() ТОЧНО ТВК жс, КВК И ддя рЕШЕНИя уравнений и систем уравнений. Ответ выражается либо в виде множества неравенств, либо через функции аеа1вапое() и орал().
Первая определяет замкнутый отрезок действительных чисел, а вторая используется для указания того, что граничная точка не входит в построенное решение. Для того чтобы задать решение в виде множества, следует задать в виде множества либо само неравенство, либо неизвестную, относительно которой ищется решение. Если этого не сделать, то ответ будет получен с использованием указанных функций определения действительных отрезков.
> зо1че ( (х+2) / (3-х) >2, х) Кеа[Капае~Ореп~-), Орел(3)) > во1че( (х+2) /(3-х) >2, (х) ) ) 4 ( — <х,х<3) 3 > зо1уе(1од [1/3) (1од [21 (х*2-8) ) >=-Ы т Кеа)йапае (Орел(-4), Орел(-3)), Кеа[йапае (Орел(3), Орел(4)) > зо1че((1оо[1/3) (1од [21 (х"2-8) ) >-1) ) т (-4<х х <-3), (3 <хх < 4) 145 Глава 2 Основные обьекты и команды В примере 2.55 решены два неравенства, для каждого из которых построено решение в виде множества и в форме действительных интервалов. Пользователь сам решает, какая форма ответа ему более подходит. 2.5. Дифференцирование и интегрирование Мар!е позволяет вычислять обыкновенные и частные производные аналитического выражения по одной или нескольким переменным. Для этой процедуры предназначены команды сцгг() и щгг().
Вторая команда является так называемой отложенной командой (гоеп сопцпапс1), которая не вычисляет производную от выражения, а просто отображает математическую запись взятия производной. Результат действия отложенной команды можно присвоить пеРеменной МаР!е, а в дальнейшем пРи помощи команды яа1пе() вычислить результат этой отложенной команды. Отложенная форма команды дифференцирования удобна, когда необходимо видеть, какие операции были сделаны для получения нужного выражения. Кроме отложенной команды дифференцирования в Мар!е есть еше целый ряд команд, имеющих отложенную форму, полную информацию о которых можно получить в Справке.
Синтаксис команды дифференцирования следующий: с(1ГГ(выражение, переменная 1, переменная 2, ..., переменная и); с(1ГГ(выражение, (переменная 1, переменная 2, ..., переменная и]) В результате выполнения любой из приведенных команд будет вычислена частная производная п-го порядка от заданного первым параметром выражения по заданным л переменным. При формировании производных высокого порядка полезен оператор последовательности в, который позволяет проще и нагляднее задать производную. Например, для вычисления третьей производной функции г(х) по перЕМЕННОй Х МОЖНО ИСПОЛЬЗОВатЬ КОМаНду с(1ГГ(Г(х),х,х,х), В КОтсрОй трИ раза указано дифференцирование по переменной х, или применить в команде дифференцирования оператор последовательности хвз, что упрощает и дЕЛаЕт бОЛЕЕ НаГЛядНЫМ ЗадаНИЕ трЕтЬЕй ПрОИЗВОдНОй: с)1ГГ (Г(х), хЗЗ).
> гс=х"2*выл(х) еас)хс(у) *1п(сов (х) ) ) Г:= х' в!п(х) + /у !п(сов(х)) > с(1ГГ(Г,х) ) )(у Гйп(х) 2 х в!п(х) + х' сов(х)— сов(х) Часть Ь Осипам Мар)е > а1ГГ(т,х52) 1 — 5(У 5!П(Х) 2 5(п(х) + 4 х сов(х) — х вйп(х) — ./у— сов(х) > д3ГГ(т,х,у)1 1 вйп(х ) 2 !/у сов(х) > хсех1те1=Р1ГГ (1~х) 1 д Щет(уе:= — (х тип(х) + чУ (п(сов(х))) дх > д1=вяхт(ГРех1хе) — — (Х 51П(Х)+ /у 1П(СО5(х))) дх > ча1ие(%) ! Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования.
Интегрирование выражений по заданной переменной осуществляется коман- ДОй тпе(), КОтОрая таКжЕ ИМеет отложеииуЮ форму тат (). Эта команда по- зволяет вычислять как неопределенный интеграл от выражения (при этом, правда, в ответе не будет никакой постоянной интегрирования) с использо- ванием следующего синтаксиса команды: ат1С( выражение, переменная); так и определенный интеграл с помощью следующего синтаксиса команды 1.Пх ( выражение, переменная=а..с) ! где а и ь являются пределами интегрирования, причем эти пределы могут быть и аналитическими выражениями.
> Г:=а*к"2*втп(Ь*х) )':= а хв гйп( Ь х) а (-Ь' х' сов(Ь х) + 2 сов(Ь х) + 2 Ь х 5)п(Ь х)) > 1пе(т,х) а(Ь'сов(Ь) — 2 о)в(Ь)-2 Ь в!п(Ь)+ 2) > 1пс(Г,х=0..1)1 Глава 2 Основные обьекгы и команды 147 > ьпс(г,х=с..а); а (Ьг соз(Ь а) аг — 2 сов(Ь а) — 2 Ь з(п(Ь а) а + 2) Ь' > 1пп(Г,х=С..Р1)' и ах з!п(Ь х) Иг о > на1пе(%); а (-2 соз(к Ь)+ Ь соа(х Ь) х' — 2 Ь з)п(х Ь) к "; 2) Ьз Для символьного вычисления определенного интеграла существуют две опции, управляющие обработкой разрывов подынтегральной функции. Эти ОПЦИИ ЗадаЮтея трЕтЬИМ ПараМЕтрОМ В КОМаНдаХ ьпс () И тпг ().
По умолчанию команда интегрирования проверяет выражение на непрерывность в области интегрирования и вычисляет интеграл как сумму отдельных определенных интегралов на промежутках непрерывности функции. Опция 'сппеьппопа' отключает этот режим и вычисляет интеграл как разность значений первообразной подынтегральной функции в точке начала и конца промежутка интегрирования. Еше одна опция 'сапсьугг1пс1)>а1чагпе' вычисляет несобственные интегралы первого и второго рода в смысле главного значения Коши. Если Мар(е не может найти замкнутую форму выражения для определенного интеграла, то команда интегрирования возврашает просто вызов самой себя (в области вывода печатается математическая запись вычисления интеграла, как при обрашении к отложенной команде интегрирования).
В подобных случаях можно вычислить значение определенного интеграла численным способом с помошью команды ена11(). Синтаксис подобной конструкции следуюший: ена1Г( 1пг(Г,х=а..Ь) ) г ена1г( тпс(г,х=а..ь)); ена1Г( 1пс(Г,х а..ш, с(1Ч1са, Г1аЯ) ( Параметр с)1чгса позволяет задать число значащих цифр при вычислениях приближенного значения интеграла (по умолчанию зто число равно числу ЗНаЧащИХ цИфр, ОПрЕдЕЛЕННЫХ ЗНаЧЕНИЕМ СИСтЕМНОй КОНСтаНтЫ Шдьса), При численном интегрировании по умолчанию используется квадратурная формула Кленшо-Куртиса (С!епз)та)н-Сцгг(з). Если в подынтегральном выражении встречается сингулярность, то применяется специальная методика символьного анализа для ее разрешения. Для задач с неустранимыми сингулярностями используется адаптивный метод двойных экспоненциальных Каадратур.
ПараМЕтр пьат ПОЗВОЛяЕт ЯВНО ЗадатЬ МЕтсд ЧИСЛЕННОГО ИитЕГрнрования. Он может принимать значения, представленные в табл. 2.8. Часть!. Основы Мар!е таблица 2В. Значения параметра /1ад при численном интегрировании 14(! Смысл Значение Применяется только квадратура Кленшо-Куртиса без вызова про- цедуры обработки сингулярности Ссяпаг( Применяется адаптивный метод двойных зкспоненциальных квад- ратур Рехр Применяется метод квадратурной формулы Ньютона-Котеса, яв- ляющийся методом фиксированного порядка, и не эффективен для высоких точностей (0191пз>15) Ясхи1е Несколько примеров численного вычисления интегралов помогут освоиться с использованием вышеприведенной методики.
> зпт (ззп(х) *1п(х),х=О .. 1) з Сз(1) — у > еча1Е ( 1пЬ (аз и (х) *1п (х), х=О .. 1) ) з -.2398117420 > 1пх (ззп (х) *1п (х), х=О .. 1) =еоа1Е (1пх (ззп (х) *1п(х), х=0..1,20, Оехр))з Мп(х)!п(х)з(х = -.2398!174200056472594 о > тпт (1/(1ох"2),х=0..1пт1пгху) =еоа1Г(тпт (1/(1ох 2), х=0..1птзлИту, ЗО, Рехр) ) з з з(х = 1.57079632679489661923132169164 1 1 +х' о > 1пт (ехр(х-х" 2/2) / (1оехр (х) /2), х=-гптгпгту.. 1пт1п1ху) = еоз15(1пп (ехр(х-х 2/2) /(1оехр(х) /2),х=-1пт1п1ху..1пГ1п1ту) ) (.-зп:-) е 1 зух = 1.805577062 1+ — е' 2 Первый интеграл примера 2.58 вычисляется в аналитическом виде, но представляется через значение специальной функции интегральный косинус. Для получения ответа в виде десятичного числа применяется алгоритм численного интегрирования.
На этом же примере показано использование от- Глава й Основные объекты и команды ложенной формы команды интегрирования для более удобного представле- ния ответа. Замечание Численное интегрирование даже функций, внешний вид которых кажется не достаточно сложным, может потребовать значительного времени. Если будет казаться, что Мар)е завис, а такое случается, следите за изменением времени в правой части строки состояния. Если оно изменяется, то просто следует дождаться завершения интегрирования.
В заключение этого раздела отметим, что в системе Мар!е имеется набор команд для полного исследования функций: 11т1с ~) — для отыскания предела функции, зсж~) — для нахождения всевозможных конечных сумм, зегьез() — ЛЛя раЗЛОжЕНИя фуНКцнй В рядЫ ТЕИЛОра, МаКЛОрЕНа И ЛОраНа. ехсгегга )) — для исследования экстремумов функций как одной, так многих переменных, т1п1т1зе~) и пзх1гк1зе() — для поиска минимума и максимума функции на заданном промежутке. Описание всех этих и других команд можно, естественно, найти в Справке Мар!е. В частях 11 и Ш нашей книги мы познакомим читателя с большинством перечисленных команд.
2.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем можно воспользоваться командой г)зс1че)) или функциями пакета овьсо1з, которые позволяют строить численное решение дифференциальных уравнений и отображать их в графическом виде, включая построение фазового портрета систем дифференциальных уравнений (описание этого пакета можно найти в гл. 3). В данном разделе мы остановимся только на описа- НИИ КОМаидЫ г)зс1те ~), С ПОМОЩЬЮ КОтОрОй МОЖНО НЕ ТОЛЬКО ПОЛуЧИтЬ аНалитическое решение дифференциального уравнения, но и сформировать процедуру построения численного решения задачи Коши, если система Мар!е не сможет найти общее решение в аналитическом виде. Наиболее общий синтаксис вызова команды решения дифференциального уравнения следующий: г)зо1че (уравнения, неизвестные, [опции] ) Параметром уравнения задается одно дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
