Part_1 (1185558), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Полученное соотношениеназывается интегралом Бернулли.Если умножить уравнение Эйлера скалярно на вектор вихря, то вновь получим интегралБернулли, который сохраняется теперь вдоль линии вихря. Таким образом, интеграл Бернуллисохраняется на поверхности, натянутой на линию тока и вихря, проходящую через выбраннуюлинию тока.Интеграл КошиРассмотрим теперь безвихревое изэнтропическое движение идеальной жидкостинаходящейся в поле консервативных массовых сил. Безвихревым или потенциальнымназывают движения жидкости, при котором во всем пространстве завихренность равна нулют.е.1ω = rot v = 0.2Поле скоростей при потенциальном течении может быть представлено в видеv = ∇Φ ≡ gradΦ .rСкалярная функция координат и времени Φ (r , t ) называется потенциалом скорости.Подставив эти выражения для скорости и вихря в уравнение Громеки-Лэмба, получимr Φ v2∇++ w + U  = 02 t.Полученное уравнение можно проинтегрировать:∂Φ v 2++ w + U = f (t),∂t2где f (t ) - произвольная функция времени.

Этот интеграл называется интегралом Коши.∂Φ= 0 , f ( t ) = constПри стационарном движении ∂t, и интеграл Коши переходит в синтеграл Бернуллиv2+ w + U = const.28. Поток энергии идеальной жидкостиОграничимся рассмотрением адиабатных изэнтропийных процессовТеорема об изменении энергииУмножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно получить уравнение,описывающие изменение плотности энергии среды:rr rr dvr rρv= −(v ⋅ ∇p ) − ( f ⋅ v ).dtmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 17 of 20Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:rr dvd  v 2  d  ρv 2  v 2 dρ ∂  ρv 2−ρv= = ρ   =dtdt  2  dt  2  2 dt ∂t  2 r r ρv 2 v 2 dρ + v ⋅ ∇−22 dt .Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:rrr rr rdρ= −ρ ∇v = −∇(ρv ) + v ⋅ ∇ ρ.dtВ итоге левая часть уравнения принимает вид:rr dv ∂  ρv 2  r r ρv 2 ρv 2 r r∂  ρv 2  r  ρv 2 r  + ∇ + v ⋅∇ρv+∇v = = v 22∂t  2 dt ∂t  2 (а) 2 r rrrr rДля вычисления мощности поверхностных сил давления в среде v ⋅ ∇ p = ∇( pv ) − p ∇v(( )()( )())()( )воспользуемся первым началом термодинамикиde dq p dρ=+dt dt ρ2 dt ,которое, с учетом уравнения непрерывности, можно записать в виде:rrde dq p ∇v=+dt dtρ .( )Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаемrrrrded(ρe ) + ρe ∇vr − q& = ∂ (ρe ) + ∇(ρevr ) − q&p ∇v = ρ− q& =.dtdt∂tОтсюда для адиабатных процессов q& = 0 мощность сил определяется выражениемrrrr rr∂f пов ⋅ v = − v ⋅ ∇ p = − (ρe ) − ∇((ρe + p )v ).(б)∂tРавенства (а), (б) и (в) приводят к уравнениюr r ρv 2 r ∂  ρv 2 ∂r + div v  = − (ρe ) − div ((ρe + p )v ) + ( f ⋅ v )∂t  2 ∂t, 2 которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества иполя:∂ρv 2 ρv 2  r  ρe + = − div   ρw +v∂t 2 2 ( )( )() ()Здесь w = e + p ρ - плотность энтальпии.Это выражение можно проинтегрировать по некоторому фиксированному объемуИспользуя тензорную форму записи, получим v2 v2∂∂+edV=−v+ w dVρρi∫∫∂t∂x i 2 2 .Преобразуя интеграл, стоящий справа, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, винтеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, получим выражениекоторое допускает простую интерпретацию: v2 v2∂ρ+edV=−ρv+ w dS ii∫∫∂t 2 2.Подынтегральное выражение слева представляет собой плотность энергии и определяетсясуммой внутренней энергии и кинетической энергии макроскопического движения среды.

Этовыражение аналогично соответствующему выражению в механике системы точек, котороеопределяется по теореме Кенига.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 18 of 20Подынтегральное выражение справа представляет собой плотность потока энергии средычерез поверхность, а также учитывает мощность поверхностных сил, действующих насистему.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 19 of 209. Вихревое движение жидкостиС помощью уравнения Эйлера в форме Громеки-Лэмба можно получить уравнениедвижение вихря в баротропной среде, применяя операцию rot к левой и правой частям:r∂ωr r+ rot(ω × v ) = 0,∂trr 1ω = rotvгде-вихрь скорости.2Для несжимаемой среды дополнительно выполняется соотношениеrdiv v = 0 .rЕсли ω ≠ 0 , то движение является вихревым, а не потенциальным.Совокупность жидких частиц, составляющих вихрь, как бы отделена от остальной частиrжидкости поверхностью раздела.

Векторное поле ω можно изобразить с помощью вихревыхлиний, уравнение которых имеет вид:dx1dx2dx3==ω1 (t ) ω2 (t ) ω3 (t ) .Совокупность вихревых линий, натянутых на замкнутый контур C , ограничивающийвыделенную элементарную поверхность S , образует вихревой шнур (трубку вихря), чтопозволяет определить поток вихря или его интенсивность:r rΦ = ∫ ω ⋅ dS.SПреобразуя это выражение по теореме Стокса, получим:r r 1r r 1 r r 1Φ = ∫ ω ⋅ dS = ∫ rotv ⋅ dS = ∫ v ⋅ dS = Γ2S2C2 .SrrΓ = ∫ v ⋅ dSЗдесь- циркуляция вектора скорости.CЗамечание.

Теорема Стокса применима лишь в односвязной области, в которой контур путемнепрерывной деформации может быть стянут в точку. Если движение жидкости происходит внеодносвязной области, то течение может характеризоваться отличной от нуля циркуляцией иrв случае rotv = 0 .Примером такого движения является обтекание цилиндра двумерным потоком с циркуляцией.Это пример рассматривается далее.Теорема Томсона о сохранении циркуляцииЦиркуляция скорости по контуру, проводимому через одни и те же частицы идеальнойжидкости, не изменяется с течением времени Γ = const , если процессы являютсябаротропными, а силы потенциальными.Доказательствоrdd r rd r rdlrΓ = ∫ v ⋅ dl = ∫ v ⋅ dl + ∫ v ⋅ ddtdt CdtdtCCПреобразуем первое слагаемое в правой части с помощью уравнения Эйлераrd r r∫C dt v ⋅ dl = −C∫ grad(U + P )⋅ dl = −∫C d (U + P ) = 0 .Второе слагаемое также обращается в нуль, поскольку контур образован жидкими частицамиmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫrdlr= dvdи dt, так чтоPage 20 of 20rv2r dlr r⋅=⋅=vdvdvd∫C dt C∫∫ 2 =0.CТеоремы ГельмгольцаПервая теорема.Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данныймомент времени.ДоказательствоРассмотрим жидкость, заключенную в трубке вихря между сечениями S1 и S 2 в некоторыймомент времени и вычислим поток вихря через замкнутую поверхность, ограничивающуюэтот объем, воспользовавшись теоремой Гаусса:r rr rr rr∫S ω ⋅ dS = S∫ ω ⋅ dS − S∫ ω ⋅ dS = V∫ divω ⋅ dV = 0 .12rrr1 r∫S ω ⋅ dS = 2 S∫ v ⋅ dS = ΓПоскольку, полученный результат означает, что циркуляция вектораскорости в любом сечении трубки, вычисленная в некоторый момент времени, остаетсяпостоянной:Γ1 = Γ2 = const .Отсюда следует, что вихревая трубка может быть либо замкнутой, образуя вихревыекольца, либо опираться на границы жидкости.Вторая теоремаЕсли внешние силы потенциальны, то жидкая масса, составляющая вихревую трубку в какойто момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моментывремени.ДоказательствоЛюбой контур, образованный частицами жидкости на поверхности вихревой трубки,остается на этой поверхности.Действительно, циркуляция вектора скорости в некоторый момент времени по контуру наповерхности трубки равна нулюr rr rr rΓ = ∫ v ⋅ dl = ∫ rotv ⋅ dS = 2 ∫ ω ⋅ dS = 0,CSSrrибо ω⊥dS на поверхности трубки вихря.

Но так как Γ = const для контура, связанного сжидкостью, то значение циркуляции остается равным нулю для любого контура. Это значит,что вектор вихря остается перпендикулярным элементарной площадке, натянутой на контур,т.е. площадка принадлежит поверхности вихревой трубки. Следовательно, вихрь движетсявместе с жидкостью.Третья теоремаПри действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вихревой трубки во все времядвижения остается постоянным.См. теорему Томсона.Вторая и третья теоремы Гельмгольца составляют принцип сохранения вихря илиустойчивость вихревой трубки:Если в начальный момент вихри в жидкости отсутствуют (течение потенциально), то они ине могут возникнуть в идеальной жидкости без границ. Таким образом, для возникновениявихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005.

Характеристики

Список файлов лекций