Part3 (1185555)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Раздел III. Волновое движение1. Волновые уравненияПри описании среды в переменных Эйлера физические характеристики ее определяютсязаданием некоторой величины (или совокупности физических величин) в каждой точкепространства в данный момент времени. Изменение этих величин (в данной точкепространства) с течением времени называется движением.Среди возможных движений сплошной среды выделяется волновое движение, которое вбольшинстве случаев можно интерпретировать, как последовательное перемещение значенийфизических величин, заданных в некоторый (начальный) момент времени в определенныхточках пространства от одной точки к другой.

Представление о волновом движении впростейшем случае иллюстрируется одномерным движением. Пусть при t = 0 в некоторойобласти пространства 0 < x < l задано начальное распределение физической величины(например, плотности массы) с помощью функции: ρ( x , 0 ) = f ( x ) . Движение называетсяволновым, если с течением времени изменение распределения плотности можноинтерпретировать, например, как смещение начального распределения в положительномнаправлении оси OX :ρ( x , t ) = f ( x − Vt ) .В рассматриваемом случае смещение пропорционально времени. Коэффициентпропорциональности называется (фазовой) скоростью волны.Если начальное распределение задано дифференцируемой функцией, то нетрудно найтидифференциальное уравнение (в частных производных), которому удовлетворяет данноеволновое движение среды:∂ρ∂ρ+V=0∂t∂x.(1)Полученное уравнение называется уравнением простой волны.Если начальное распределение не описывается дифференцируемой функцией, то уравнениеволнового движения удобнее задавать в интегральной форме, рассматривая перенос волнойданной физической величины (например массы) через границу выделенного объема.x2m(t ) = ∫ ρ( x, t )dxx1Изменение массы в данной области, вызванное волновым движением среды, определяетсяпотоком ее через границу:xr r∂ 2m& (t ) = ∫ ρ( x, t )dx = −V ∫ ρ( x )dσ + V ∫ ρ( x )dσ = − ∫ ρ( x )Vdσx2x1∂t x1Σ(2)Для дифференцируемой функции, используя теорему Гаусса, это соотношение можно привестик виду:2∂∂()ρ=−x,tdx∫x ∂t∫x ∂x (ρ(x )V )dx11x2x,что сразу же дает дифференциальное уравнение (1).Если среда является изотропной и допускает распространение волн как в положительном,так и в отрицательном направлении с одинаковой скоростью, то волновое уравнение (1) удобнозаменить уравнением второго порядка:2∂2ρ2 ∂ ρ−V=0∂t 2∂x 2,(3)31решениекоторогопредставляетпроизвольнуюсуперпозициюфункцийρ( x, t ) = f 1 ( x − Vt ) + f 2 ( x + Vt ) , описывающих две волны, распространяющиеся навстречу другдругу.Представление Фурье позволяет описывать произвольную функцию в виде интеграла:+∞~ (k , ω) exp{ikx − iωt}dkρ( x , t ) = ∫ ρ−∞,~где каждая Фурье-компонента ρ (k , ω) удовлетворяет волновому уравнению (3), что приводит ксоотношению (4), связывающему волновое число k и частоту ω:ω2 − V 2k 2 = 0 ,(4)которое называется дисперсионным соотношением.Решение волнового уравнения в виде монохроматической волны называется нормальнойволной и является обобщением решения линейного уравнения для определения собственныхколебаний системы.Во многих случаях распространение волны в среде сопровождается изменением формыначального распределения.

Фурье-разложение представляет естественный подход дляобобщения понятия волнового движения. Действительно, начальное распределение физическойвеличины может быть задано как суперпозиция нормальных волн с различной скоростьюраспространения. В этом случае можно задать V = V (k ) или V = V (ω) и исследоватьраспространение волнового пакета. Для упрощения поставленной задачи положим, что внекоторой окрестности значений волнового числа k задано дисперсионное соотношение (4),которое представлено лишь первыми членами разложения:2∂ω(k − k 0 ) + 1 ∂ ω2 (k − k 0 )2 + o (k − k 0 )2ω = ω(k ) = ω0 +∂k2 ∂k,(5)где ω0 = ±Vk0 .()Пространственное распределение физической величины представляется в виде интегралаФурье:ρ( x , t ) =∫ ρ~(k , ω) exp{ikx − i[ω+∞0]}+ ω′0 (k − k 0 ) + ω′0′ (k − k 0 ) 2 t dk =2−∞+∞~ (k + k , ω) exp{i ( x − ω′ t )k − i (ω′′t 2 )k 2 }dk= exp{ik 0 ( x − Vt )} ∫ ρ000−∞.Если волновой пакет состоит из группы волн с близкими значениями волнового числаk − k 0 < ∆ и одинаковыми амплитудами, то при ω′0 ∆ >> ω′0′∆2 волновое решение имеет видволны с изменяющейся амплитудой:ρ( x, t ) = A( x, t ) exp{ik0 ( x − Vt )},где~ (k ) exp{i ( x − ω′ t )k }dk =ρ~(k ) 2 sin (( x − ω′0t )∆ )A( x, t ) = ρ0 ∫00( x − ω′0t )∆ .−∆+∆Полученное пространственное распределение физической величины называется волновым∂ωV gr =∂k , называемой групповой скоростью волны.пакетом и распространяется со скоростьюОбласть локализации волнового пакета определяется не равными нулю членами Фурье~разложения ρ (k , ω) , вносящими заметный вклад в интеграл.

При вычислении интеграла мыполагали, что отличные от нуля члены дают заметный вклад лишь в малой окрестности k0.32Квадратичные члены разложения (5) приводят к изменению начальной формы пакета – егорасплыванию:⎧ ( x − ω′0t )22ππ⎫exp ⎨− i+i ⎬2ω′0′t4⎭ω′0′t−∞⎩.Явление расплывания волнового пакета, образованного из нормальных волн с различнойфазовой скоростью распространения, называется дисперсией (от лат.

Dispersio – рассеяние,уничтожение).Волновое уравнение для волн, обладающих дисперсией, несколько сложнее рассмотренногоранее простейшего. Примером может служить уравнение Клейна-Гордона∂ 2ϕ 2 ∂ 2ϕ−c+ ω02ϕ = 0∂t 2∂x 2,для которого дисперсионное уравнение имеет видω2 (k ) = c 2 k 2 + ω02 .+∞2∫ exp{i(x − ω′0t )k − i (ω′0′t 2)k }dk =Фазовая скорость этой волныV ph (k ) =ω= c 1 + ω02 c 2 k 2k,Vgr (k ) =ck∂ω=∂k1 + ω02 c 2 k 2 .а групповаяСвязь между фазовой и групповой скоростью нетривиальна. Возможны случаи, когда этискорости отличаются знаком..Полученные результаты допускают естественное обобщение на многомерные системы.

Вrэтом случае приходится вместо волнового числа вводить волновой вектор k , определяющийнаправление распространения волны. Поверхность постоянной фазы, определенная внекоторый момент времени, называется волновым фронтом. Волновой вектор определяетнормаль к волновому фронту – направление распространения волны.Другая возможность обобщения понятия волнового движения связана с рассмотрениемпроцессов переноса выделенного состояния среды со скоростью, определяемой этимсостоянием (в каждой точке).

Рассмотрим вновь одномерную волну. Пусть начальноераспределение задано на некотором интервале, например 0 < x < l , некоторой функциейρ( x , 0) = f ( x ) , а распространение волны происходит со скоростью, определяемой состояниемсреды в данной точке: V = V (ρ ) . В этом случае в момент времени t ≠ 0 координата точки,имевшей значение ρ(s ) изменится:x = s + V ( f (s ))t(6)Это уравнение можно рассматривать, как параметрическое задание волнового решения впроизвольный момент времени, поскольку оно определяет структуру волны ρ( x , t ) позаданному начальному распределению. Если распределение описывается дифференцируемойфункцией, то нетрудно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяетволновое движение рассматриваемого типа.

Действительно, ρ( s ) определяет волну в33произвольный момент времени, если уравнение (6) определяет (в неявной форме) значениепараметра s = s ( x, t ) в произвольный момент времени в данной точке пространства.Дифференцирование дает:∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂x∂x ∂s ∂x∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂t ∂s ∂t∂t .Из уравнения (6) следует:∂s1∂sV==−∂t1 + V ′t .∂x 1 + V ′tρ(x,t)получается нелинейное дифференциальноеОтсюда для дифференцируемой функцииуравнение, описывающее волновой процесс:∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0∂t∂x.Уравнение такого типа называется квазилинейным. Описанный метод построения решенияквазилинейного уравнения называется методом характеристик (Римана).

Напомним, чтохарактеристикой уравнения называется зависимость x = x (t , f 0 ) , определяющая закон движенияточки с заданным значением физической величины f 0 = const . Дифференцирование этогосоотношения позволяет определить скорость распространения рассматриваемой точки «вдольхарактеристики». В частности, для указанного нелинейного уравнения скоростьраспространения постоянна.Однозначное решение указанного типа для произвольного начального распределения можетсуществовать лишь в ограниченной области пространства в течение ограниченного интервалавремени.Рассмотрим простой пример.

Пусть, для определенности, скорость распространения волныρV (ρ ) = V0ρ 0 , а начальное распределениепропорциональна величине возмущения среды, т. е.задано зависимостью, изображенной на рисункеρρ0xlРис.Деформация профиля волны, обусловленная тем, что скорость точки с максимальнымзначением ρ = ρ0 превышает скорость всех остальных участков волны, изображена на рисунке.Для рассмотренного распределения решение перестает быть однозначной функциейкоординаты при t > t0 . Определить дальнейшую эволюцию системы с помощьюдифференциального уравнения невозможно, поэтому дальнейшее описание процесса мыпроведем с помощью интегральных соотношений. Квазилинейное уравнение34∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0∂t∂xможет быть представлено в виде∂ρ ∂Φ+=0∂t ∂x,гдеΦ = ∫ V (ρ )dρ.Ему соответствует интегральное соотношение:∂ 2ρ( x )dx = Φ ( x1 ) − Φ ( x 2 )∂t x∫1x.Для рассматриваемого случаяρ22ρ 0 .Выбирая контрольные поверхности в точках, где поток равен нулю, получим закон сохранения(массы) в выделенном объеме:Φ = ∫ V (ρ )dρ =x2∫ ρ(x )dx = const.Предположим, что в начальный момент времени имеется разрывное решение(сформировавшееся из рассмотренного ранее непрерывного треугольного)x<0⎧ 0⎪ρ( x ) = ⎨ρ 0 x l 0 < x < l⎪ 0x>l⎩Если при дальнейшей эволюции этого решения имеется лишь единственный разрыв, то егокоордината в момент t = t1 связана с амплитудой волны соотношениемx1ρ0ρ1=x1 l + V0 t ,которое следует из подобия треугольников.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций