Part4 (1185556)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Малые возмущения в газахРассмотрим распространение малых возмущений в среде. Пусть равновесное состояниесреды описывается параметрами p0 , ρ 0 , V , а отклонения от этих значений в каждой точкепространства в любой момент времени (возмущения) малы и описываются дифференцируемымифункциями p, ρ, u :))p = p0 + p, ρ = ρ 0 + ρ, vk = Vk + uk .Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для сплошной среды))∂ρ ∂ (ρv k )+=0∂t∂xk))∂ (ρvi ) ∂ (ρvi vk )+=0∂t∂x kпри подстановке в них выражений для плотности и скорости дают в линейном приближении повозмущениям следующую систему уравнений:∂ρ ∂ (ρ 0 uk ) ∂ (ρVk )++=0∂t∂x k∂xk∂u∂u∂pρ 0 i + ρ 0Vk i +=0∂t∂xk ∂x k.Для рассматриваемых баротропных процессов давление среды определяется лишь ееплотностью в данной точке пространства, так что уравнения движения дополняютсязависимостью) ) )p = p (ρ ) .Обычно при описании распростанении звуковых волн предполагается, чтотермодинамические процессы в элементарном объеме среды являются квазиравновесными ипроисходят без изменения числа частиц в данном объеме и без теплообмена.

В этом случаеможно использовать модель адиабатических процессов, в которых зависимость давления отплотности дается соотоношением:))γp = p0 (ρ ρ 0 ) ,где γ = c p cv - отношение теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.Выполняя дифференцирование по координатам и вводя обозначение∂pp= γ 0 = c2∂ρ sρ0,получим систему дифференциальных уравнений для возмущений плотности и скорости:∂ρ∂u∂ρ+ ρ0 k + Vk=0∂x k∂t∂x k∂u∂u∂ρρ0 i + ρ0Vk i + c 2=0∂xk∂t∂xk37Часто для решения системы используется метод исключения одной из переменных, например,возмущения скорости. Получившееся при этом уравнение для возмущения плотности средыбудет уравнением второго порядка:2222ρρρρ2VcVV+2−+=0kk m2xk txk xkxk xmt.Будем искать решение линейной однородной системы в виде суперпозиции плоскихмонохроматических волн плотности и скорости. Воспользуемся для этого представлениемрешения в виде интеграла Фурье~ (k ) exp{iωt − ik x }d 3kρ( x k , t ) = ∫ ρks sui ( xk , t ) = ∫ u~i (k k ) exp{iωt − ik s x s }d 3kПодставляя эти решения в уравнения и проводя дифференцирование, получим длятрансформант Фурье систему алгебраических уравнений:(ω − Vk k k )ρ~ − ρ0 k k u~k = 0~ + ρ (ω − V k )u~ = 0− c 2 ki ρ0k ki.Система будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль, чтопозволяет определить значения частоты ω , при которой существуют волновые решения.Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между волновым вектором и частотой,удобно получить, если умножить второе уравнение на k i и рассматривать нетривиальные~~ ~решения системы относительно величин ρ и z = (k i ui ) .

В этом случае дисперсионное уравнениеимеет вид:(ω − Vk k k )2 = c 2 k 2Вводя угол θ между вектором скорости невозмущенной среды и волновым вектором(направлением распространения волны), приведем уравнение к виду(ω − Vk cos ϑ)2 = c 2 k 2 .Решение полученного уравнения имеет вид:ω = ω0 (1 + V cos ϑ c ) ,где введено обозначение ω 0 = ck .Решение с ω > 0 существует для любых направлений волнового вектора, если скоростьдвижения невозмущенной среды V меньше фазовой скорости распространения волны визотропной среде c.Величина фазовой скорости монохроматической волны зависит от скорости среды и V инаправления распространения волныωV ph = = c + V cos ϑk.Волна подвергается "сносу" потоком, движущимся со скоростью V.38Из уравнения непрерывности для возмущений следует, что вектор скорости возмущения uiнаправлен вдоль волнового вектораВ том случае, когда скорость невозмущенного потока V превосходит скорость звука (внеподвижной среде) V > c , распространение волны ограничено углами, при которыхвыполняется неравенство c + V cosϑ > 0 .

Волны, волновой вектор которых составляет угол .ϑ. снаправлением вектора скорости среды V, имеют фазовую скорость, равную нулю, т.е.поверхность постоянной фазы плоской волны любой частоты не перемещается в пространстве(относительно выбранной системы отсчета). Волновой фронт такой волны составляет с векторомскорости потока угол ϕ , такой что sin ϕ = c V . Этот угол называется углом Маха. Есливозмущение среды вызвано неподвижным источником, находящимся в некоторой точке среды,например, в начале координат, то волны, создаваемые таким источником, распространяютсявнутри конуса, вершина которого совпадает с точечным источником, а угол при вершине равен 2ϕ .

Этот конус называется конусом Маха. Распространение волновых возмущений вне конусанавстречу набегающему потоку невозможно.3. Излучение источника в движущейся средеДля более подробного анализа возмущений среды, создаваемых точечным источником,рассмотрим решение системы уравнений, исключив из нее одну из неизвестных, например,скорость. При этом удобно перейти к волновому уравнению второго порядка. Наличие точечногоисточника возмущения плотности описывается введением δ-функции в правой части уравнения.Пусть среда, в которой находится источник, движется со скоростью V в положительномнаправлении оси OX. Размеры источника будем считать пренебрежимо малыми, а еговоздействие на среду – периодическим.

В этом случае волновое уравнение будет неоднородным.Пусть возмущение среды описывается скалярной функцией ϕ:⎧ ∂2∂2∂2∂2∂ 2 ⎞⎫222⎛⎟ φ = 4πqc 2 δ(x )δ(y )δ(z ) cos Ωt⎜2VcVc−−−−+⎨2222 ⎟⎬⎜∂t ∂z∂z∂y ⎠⎭⎝ ∂x⎩ ∂t.Решение уравнения удобно проводить с помощью разложения Фурье по плоским волнам:r r ikrrr1r~ k,t edk x e ik x xδ( x ) =ϕ(r , t ) = ∫ dk ϕ∫2π,,что дает для временной зависимости фурье-компоненты уравнение вынужденных колебанийвида222~2 2~~~&&& − 2iVk ϕϕz + c 1 − β k z ϕ + c k ⊥ ϕ = F (t ) ,(1)с правой частью4πqc 2F (t ) =cos Ωt(2π )3.Решение уравнения вынужденных колебаний мы будем проводить с помощью функцииГрина, что позволяет в явном виде учесть условие причинности. Будем искать это решение ввиде()( )(~ (t ) =ϕ)t∫ G (t − t ′)F (t ′)dt ′−∞.(2)39Интегрирование по времени формально можно вести до t → ∞ , если положить, что функцияГрина имеет вид:⎧G (t − t ′) t ′ < tG (t − t ′) = ⎨⎩ 0 t′ > t.Такое представление функции Грина соответствует обычному представлению опоследовательности причинно-следственных связях, когда динамическая переменная не можетзависеть от будущего воздействия на систему.Подставляя решение (2) в уравнение (1), для функции Грина получим уравнение:∞∫ {G&&(t − t′) − 2iVk G& (t − t′) + c [(1 − β )k22z2z]+ c 2k ⊥2 G (t − t ′)}F (t ′)dt ′ = F (t )−∞,(3)откуда следует, что выражение в фигурных скобках является δ-функцией:[]&& (t − t ′) − 2iVk G& (t − t ′) + c 2 (1 − β 2 )k 2 + c 2 k 2 G (t − t ′) = δ(t − t ′)Gzz⊥.~Фурье-образ для функции Грина G (ω ) , который мы определим выражениемG (τ ) =∞~∫ G (ω)e−iωτ(4)dω−∞формально выражается дробью11~G (ω) =⋅22π − ω − 2βck z ω + (1 − β 2 )c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 ,22знаменатель которой обращается в нуль в точках ω1,2 = −βckz m ck , где k = k⊥ + k z - волновоечисло.

Для определения функции Грина G (t − t ′) следует вычислить интеграл, что удобносделать с помощью теории вычетов. При этом можно так выбрать контур интегрирования, чтоусловие причинности будет выполнено автоматически. Для этого достаточно обойти полюсасверху в комплексной плоскости ω или, что тоже самое, сместить оба полюса вниз сдействительной оси на малую величину ε > 0 , которую после вычисления интеграла следуетустремить к нулю.[]1e − iω(t −t′ )dωG (t − t ′) =2π −∫∞ − ω2 − 2βck z ω + (1 − β 2 )c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 − iεω .∞[]Вычисляя интеграл при t − t ′ < 0 по контуру, который замыкается в верхней полуплоскости,мы получим нуль, так как внутри контура полюсов нет.

При t − t ′ > 0 контур следует замыкать внижней полуплоскости, где расположены полюса. Это приводит к следующему выражению:G (t − t ′) = −ϑ(t − t ′)e iβckz (t −t′ )sin ck (t − t ′)ck.40Зависимость от времени фурье-компоненты плоской волны имеет вид:~ (t ) = 4πqc e iβck zt ϑ(t − t ′)e −iβck zt′ sin ck (t − t ′) cos Ωt ′dt ′ϕ∫ck(2π )3−∞∞Теперь нетрудно получить выражение для пространственного распределения поля,создаваемого точечным источником:r4πqcφ(r , t ) = −(2π )3r ik βc (t −t ′ ) sin ck (t − t ′) ikrrr′′′()dttttdkcosΩe−∫−∞∫ e zk∞Внутренний интеграл представим в виде:r i {k x +k y +k [z −βc (t −t ′ )]} sin ck (t − t ′)r r r sin ck (t − t ′)r= ∫ dke ikRI = ∫ dke x y zRkk, где = (x, y, z-V (t − t ′)) .Для выполнения интегрирования выберем сферическую систему так, чтобы полярный угол ϑrотсчитывался от вектора R .

Тогда1∞π∞r r r sin ck (t − t ′)sin (ckτ ) ikR cos θ()I = ∫ dke ikR= 2π ∫ k 2dkesinθdθ=2πkdksinckτdqe ikRq =∫∫∫kk000−1∞=2ππ{δ(cτ − R ) + δ(cτ + R )}kdk sin (ckτ ) sin (kR ) =∫R 02R.Для запаздывающей функции τ = t − t ′ > 0 , R > 0 , так чтоI =πδ(cτ − R )2Rиrqφ(r , t ) =cos Ωt ret4πR.Фаза зависит от запаздывающегораспространения возмущения.времени,обусловленноеконечнымвременемr β cos ϑ + 1 − β 2 sin 2 ϑt ret = t − ⋅1 − β2c.Поверхности равной фазы, определяющие волновой фронт в некоторый момент времени,изображены на рисунке.При движении потока со скоростью, превышающейскорость звука (в неподвижном газе), область возмущенияимеет вид конуса, угол раствора которого называется угломcsin θ =V .Маха и определяется выражением:41Рис.42.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций