Part1 (1185553), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Теорема Стокса применима лишь в односвязной области, в которой контур путемнепрерывной деформации может быть стянут в точку. Если движение жидкости происходит внеодносвязной области, то течение может характеризоваться отличной от нуля циркуляцией иrв случае rotv = 0 .Примером такого движения является обтекание цилиндра двумерным потоком с циркуляцией.Это пример рассматривается далее.Теорема Томсона о сохранении циркуляцииЦиркуляция скорости по контуру, проводимому через одни и те же частицы идеальной жидкости, не изменяется с течением времени Γ = const , если процессы являются баротропными, асилы потенциальными.Доказательствоrdd r rd r rr dlΓ = ∫ v ⋅ dl = ∫ v ⋅ dl + ∫ v ⋅ ddtdt CdtdtCCПреобразуем первое слагаемое в правой части с помощью уравнения Эйлераrd r r()v⋅dl=−gradU+P⋅dl= − ∫ d (U + P ) = 0∫ dt∫CCC.19Второе слагаемое также обращается в нуль, поскольку контур образован жидкими частицамиrdlrd= dv, так чтои dtrv2r dlr r⋅=⋅=vdvdvd∫ dt C∫∫ 2 =0CC.Теоремы ГельмгольцаПервая теорема.Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данный момент времени.ДоказательствоРассмотрим жидкость, заключенную в трубке вихря между сечениями S1 и S2 в некоторыймомент времени и вычислим поток вихря через замкнутую поверхность, ограничивающуюэтот объем, воспользовавшись теоремой Гаусса:r rr rr rrω⋅dS=ω⋅dS−ω∫S∫S∫S ⋅ dS = V∫ divω ⋅ dV = 012.rrr1 r∫S ω ⋅ dS = 2 S∫ v ⋅ dS = Γ, полученный результат означает, что циркуляция вектораПосколькускорости в любом сечении трубки, вычисленная в некоторый момент времени, остается постоянной:Γ1 = Γ2 = const .Отсюда следует, что вихревая трубка может быть либо замкнутой, образуя вихревые кольца, либо опираться на границы жидкости.Вторая теоремаЕсли внешние силы потенциальны, то жидкая масса, составляющая вихревую трубку в какойто момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моментывремени.ДоказательствоЛюбой контур, образованный частицами жидкости на поверхности вихревой трубки, остается на этой поверхности.Действительно, циркуляция вектора скорости в некоторый момент времени по контуру наповерхности трубки равна нулюr rr rr rΓ = ∫ v ⋅ dl = ∫ rotv ⋅ dS = 2 ∫ ω ⋅ dS = 0CSS,r rибо ω⊥dS на поверхности трубки вихря.

Но так как Γ = const для контура, связанного с жидкостью, то значение циркуляции остается равным нулю для любого контура. Это значит, чтовектор вихря остается перпендикулярным элементарной площадке, натянутой на контур, т.е.площадка принадлежит поверхности вихревой трубки. Следовательно, вихрь движется вместес жидкостью.Третья теоремаПри действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вихревой трубки во все время движения остается постоянным.См.

теорему Томсона.Вторая и третья теоремы Гельмгольца составляют принцип сохранения вихря или устойчивость вихревой трубки:Если в начальный момент вихри в жидкости отсутствуют (течение потенциально), то они ине могут возникнуть в идеальной жидкости без границ.

Таким образом, для возникновениявихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ.20.

Характеристики

Список файлов лекций