Part1 (1185553), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Частично изменение импульса в выделенном объеме обусловлено переносом его частицами, пересекающими границу объема. Поток импульса через границу определяется выражением:I ip = − ∫ ρvi vk dsk.Другая часть изменения импульса выделенного объема вызвана приложенными к немувнешними силами и определяется соответствующей теоремой динамики системы частиц.
Этоприводит к следующему уравнению, учитывающему действие как объемных, так и поверхностных сил:r ∂P& = ∫ ρvi dV = I ip + ∫ f i dV + ∫ pik dsk∂t VΣV.ΣПодставляя сюда выражение для потока импульса через границу, получим выражение дляскорости изменения импульса рассматриваемого объема:∂ρvi dV = − ∫ ρvi vk dsk + ∫ f i dV + ∫ pik dsk∂t V∫VΣΣ.Переходя, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, от интегрирования по поверхности кинтегрированию по объему, получим окончательно:∂ (ρvi vk )∂p∂ρvi dV = − ∫dV + ∫ f i dV + ∫ ik dV∫∂xk∂t V∂xkVVV.В силу произвольности объема интегрирования, можно перейти к дифференциальномууравнению, определяющему изменение импульса сплошной среды:9∂(ρvi ) + ∂ (ρvi vk ) = fi + ∂pik∂t∂xk∂xk .Для идеальной жидкости pik = − pδ ik это уравнение принимает вид:∂(ρvi ) + ∂ (ρvi vk ) = fi − ∂p∂t∂xk∂xi .и называется уравнением Эйлера.Использование субстанциальной производной позволяет записать уравнение в векторной формеrr rd r(ρv ) + ρvdivv = f − gradpdt,которую можно упростить, учитывая уравнение непрерывностиrdv rρ= f − gradpdtВместе с уравнением непрерывности это уравнение составляет основу описания идеальнойсплошной среды.6.
Элементы термодинамикиУравнение непрерывности и уравнение Эйлера позволяют определить поле скоростей и поле плотности для системы, в которой задано поле давлений и поле массовых сил. Однако вобычной постановке задач поле давлений не задано. Для формулировки задач о движениисплошной среды в этом случае необходимы дополнительные соотношения, связывающие давление, плотность и скорость. Такие соотношения могут быть получены в рамках термодинамики. Напомним основные свойства классических термодинамических систем (ТД систем).Характеристики тела определяются совокупностью механических величин, таких как масса,плотность, объем, полная энергия, давление, а также специфических термодинамических величин, определяющих параметры теплового движения, таких как температура. Термодинамические характеристики могут быть использованы только для систем, находящихся в термодинамическом равновесии.Состояние однородной системы при заданном числе частиц N = const определяется термодинамическими переменными – давлением, объемом и температурой - p, V, T .
Связь междуэтими переменными определяется свойствами рассматриваемого вещества и задается термическим уравнением:p = p (V , T , N ) .Для идеального газа термическим уравнением является уравнение Клапейрона-Менделеева:m Tp= Rµ V.Первое начало термодинамикиОдной из основных характеристик системы частиц является ее энергия. Полная энергия молекул, включающая энергию хаотического (теплового) движения молекул и энергию их взаимодействия в рассматриваемой системе отсчета, усредненная за время измерения, называетсявнутренней энергией.
Внутренняя энергия термодинамической системы является функциейсостояния. Напомним, что для идеального одноатомного газа внутренняя энергия определяетсясоотношением:3mE=RT2 µ.Воздействие на ТД систему внешних тел условно подразделяется на механическое, вызывающее деформации (изменение объема), и тепловое, которое может изменять состояние системы без деформаций.10При механическом воздействии изменение внутренней энергии системы определяется совершенной ею механической работой. Величина теплового воздействия определяется количеством энергии, передаваемой системе в процессе теплопередачи, и измеряется количествомтеплоты.
Суммарное изменение внутренней энергии во всех процессах∆E = Q − A .Количество теплоты и механическая работа, совершенная системой при переходе из начального состояния в конечное, зависят как от этих состояний, так и от характера перехода. Тоесть, они не являются функциями начального и конечного состояний рассматриваемой системы.Теплопередача обычно сопровождается изменением температуры системы. Если изменениетемпературы при теплопередаче пропорционально количеству теплоты, полученной системой:δQ ~ dT ,что обычно бывает в случае малых изменений в системеδQ << E ,то коэффициент пропорциональности, зависящий как от вещества, так и от характера рассматриваемого процесса, называется теплоемкостью:δQ = Cn dT .Здесь индекс указывает характер процесса: изобарный, изохорный и т.д.В общем случае теплоемкость процесса зависит от начального состояния системы. Если механическая работа системой не совершается, то количество теплоты, полученное системой,равно изменению ее внутренней энергии, которая является функцией ее термодинамическихпараметров, например, температуры и объема E = E (V , T )δQ = dE (V , T ) .Малое изменение внутренней энергии системы в этом случае приводит к малому изменению ее температуры.
Коэффициент пропорциональности CV = CV (V , T ) в этом случае называ-ется теплоемкостью при постоянном объеме, т.к. dA = pdV = 0 , и зависит от температуры иобъема. Задание E = E (V , T ) называется калорическим уравнением:Задание термического и калорического уравнений полностью определяет модель рассматриваемого вещества.Идеальный газОдной из простейших содержательных моделей является модель идеального газа. Для массы m идеального одноатомного газа теплоемкость изохорного процесса3mCV =R2µ .Теплоемкость изобарного процесса такого газа связана с изохорной теплоемкостью соотношением Майера:mC p = CV + Rµ .Вводя отношение теплоемкостей γ = C p CV , соотношение Майера можно записать в видеmR = CV (γ − 1)µ.Удобной моделью для быстро протекающих механических обратимых процессов, когда теплообменом можно пренебречь, является адиабатическое приближение.
Теплоемкость системы в таком процессе равна нулю. Используя первое начало термодинамики в дифференциальной форме, получим уравнение, связывающее давление и объем в этом процессе – уравнениеПуассона.11При малых изменениях объема системы элементарная работа пропорциональна изменениюобъема, а коэффициент пропорциональности определяется термическим уравнением состоянияp = p (V , T ) , так что первое начало термодинамики может быть представлено в дифференциальной форме, причем все величины, входящие в правую часть уравнения являются функциями состояния:δQ = dE + pdV .Для идеального газа dE = CV dT .
С учетом термического уравнения p = CV (γ − 1) T V первоеначало термодинамики для адиабатических процессов приводит к уравнениюTCV dT + CV (γ − 1) dV = 0V.Если переход из начального состояния в конечное можно рассматривать как последовательность промежуточных квазиравновесных состояний, то дифференциальное соотношение допускает интегрирование:TV γ −1 = const .Учитывая термическое уравнение, отсюда легко получить зависимость давления от объемасистемы – адиабату Пуассона, описывающую обратимые процессы без теплопередачи:p (V ) = p0 (V V0 ) .Здесь p0 ,V0 - параметры начального состояния системы.Уравнения термодинамики в переменных сплошной средыПри использовании термодинамических уравнений для описания газодинамических процессов часто бывает удобно ввести в уравнения плотность среды, исключив объем с помощьюуравнения m = ρV . Вводя удельные величины с помощью соотношений:Q = mqR = µr ,CV = mcVcV = R µ ,E = meтермическое и калорическое уравнения для идеального газа можно записать в виде:p = rρTe = cV T .Первое начало термодинамики для удельных величин в этом случае представляется уравнением:pδq = de − 2 dρρ.γУравнение обратимой адиабаты Пуассона в этих переменных имеет вид:p = p0 (ρ ρ 0 ) ,где p0 , ρ0 - давление и плотность газа в начальном состоянии.γЭнтропия ТД системы и второе начало термодинамикиДифференциальная форма первого начала термодинамики позволяет ввести для описанияпроцессов теплопередачи функцию термодинамического состояния системы - энтропию в соответствии с уравнениемδQ = TdS .Для идеального газа это утверждение формально следует из дифференциальной формы первого начала при учете термического и калорического уравнений:δQ = CV dT + pdV ,Tp = CV (γ − 1)V .где CV = const ,12∂CV∂p≠Поскольку ∂V T ∂T V , то δQ не является полным дифференциалом и, следовательно, неможет быть функцией состояния.
Однако, поделив левую и правую часть уравнения на температуру, мы получим равенство:∂ ⎛ CV ⎞∂ ⎛ CV ⎞⎜⎟ =⎜⎟ =0∂V ⎝ T ⎠ T ∂T ⎝ V ⎠ V,которое является необходимым и достаточным условием того, что выражение является полным дифференциалом:δQdS == dS (T ,V )T.Таким образом, для идеального газа существует функция состояния - энтропия, описывающая теплообмен при квазиравновесных процессах.
Интегрирование приводит к явному выражению для нее:⎛ TV γ −1 ⎞p / p0⎟ = mcv lnS (T , V ) = CV ln⎜⎜γ −1⎟(ρ / ρ 0 )γ .⎝ T0V0⎠Здесь константа интегрирования выбрана равной нулю.Отсюда выражение для удельной энтропии идеального газа:p / p0s = cv ln(ρ / ρ 0 )γ .Утверждение о том, что температура для любой системы, а не только для идеального газаявляется интегрирующим множителем, называется вторым началом термодинамики, которое вформулировке Каратеодори гласит:"Вблизи любого термически равновесного состояния системы существует другое состояние,как угодно мало отличающееся от первого, которое не может быть достигнуто путем адиабатического перехода".
Можно показать, что оно эквивалентно более привычной формулировкеКлаузиуса о необратимости самопроизвольного перехода теплоты от более нагретого тела кменее нагретому без каких-либо других изменений в неравновесной системе.Как следует из определения, в адиабатических (и квазиравновесных) процессах энтропиясохраняется.Введение энтропии позволяет с помощью второго начала определить внутреннюю энергию,как функцию двух переменных – энтропии и давления:pdε = Tds + 2 dρρи установить связь между различными термодинамическими переменными с помощью соотношений:⎛ ∂ε ⎞⎛ ∂ε ⎞T =⎜ ⎟p = ρ 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎝ ∂s ⎠ ρ ,⎝ ∂ρ ⎠ s .В изэнтропийных процессах при s = s 0 = const ε = ε(ρ, s 0 ) = ε(ρ ) , что и определяет зави-симость p = p (ρ) , необходимую в уравнениях движения сплошной среды.Термодинамические потенциалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
