Вычислительные методы алгебры и оценивания. И.В. Семушкин (2011) (1185350), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . . . . . . . . . 19910.1 Конечномерные линейные пространства . . . . . . . . . . 20010.2 Обобщение на гильбертовы пространства . . . . . . . . . 20410.3 Проектирование в конечномерных пространствах . . . . . 20610.4 Наименьшие квадраты и псевдоинверсия . . . . . . . . . 20910.5 Отыскание псевдообратной матрицы . . . . . .
. . . . . . 21210.6 Основные теоремы по МНК и псевдоинверсии . . . . . . 22310.7 Вычисление матриц проектирования . . . . . . . . . . . . 22510.8 Рекурсия в задаче МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.9 Основные свойства симметрических / эрмитовых матриц 233ОГЛАВЛЕНИЕ11Оценивание по методу наименьших квадратов . . . 23611.1 Модели, регрессии и оценки . . . . .
. . . . . . . . . . . 23611.2 Линейная задача наименьших квадратов . . . . . . . . . 23811.3 Статистическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . 24011.4 Включение априорных статистических данных . . . . . . 24111.5 Включение предшествующего МНК-решения . . . .
. . . 24311.6 Рекурсия МНК в стандартной информационной форме . 24411.7 Рекурсия МНК в стандартной ковариационной форме . 24611.8 Ковариационный алгоритм Поттера для МНК . . . . . . 25011.9 Полная статистическая интерпретация рекурсии в МНК . 25111.10 Основные результаты .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112Одновременное решение нормальных уравнений . . 26412.1 Метод нормальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 26412.2 Формирование матрицы A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3 Задание на лабораторный проект № 8 . . . . .
. . . . . . . 26512.4 Варианты задания на лабораторный проект № 8 . . . . . 26813Устойчивые алгоритмы фильтрации . . . . . . . . . . . 27013.1 Фильтрация Калмана в историческом аспекте . . . . . . . 27013.2 Стандартный фильтр Калмана . . . . . . . . . . . . . . . 27213.3 Скаляризованная форма фильтра Калмана . . . . . . . . 27413.4 Стабилизованный фильтр Калмана–Джозефа . . . . . .
. 27513.5 Квадратно-корневой фильтр Поттера . . . . . . . . . . . 27613.6 Одноранговое обновление ПО-матриц . . . . . . . . . . . 27813.7 Факторизованный фильтр Бирмана . . . . . . . . . . . . . 27913.8 Квадратно-корневой фильтр Карлсона . . . . . . . . . . . 28513.9 Редуцированный фильтр Бирмана . . . .
. . . . . . . . . 28713.10 Редуцированный фильтр Бар-Ицхака . . . . . . . . . . . 28813.11 Редуцированный фильтр Бар-Ицхака–Медана . . . . . . . 28913.12 Задача сопровождения судна на траектории . . . . . . . . 29313.13 Пример задачи с мультиколлинеарностью . . .
. . . . . . 30013.14 Задание на лабораторный проект № 9 . . . . . . . . . . . . 30513.15 Варианты задания на лабораторный проект № 9 . . . . . 30914Ортогонализованные блочные алгоритмы . . . . . . . 31614.1 Задача оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31614.2 Блочные алгоритмы в исторической перспективе . . . . . 3179ОГЛАВЛЕНИЕ14.314.414.514.614.714.814.9Расширенный квадратно-корневой К-фильтр . . .
.Расширенный квадратно-корневой И-фильтр . . . .Модифицированный квадратно-корневой И-фильтрКомбинированный квадратно-корневой фильтр . . .Скаляризованный квадратно-корневой К-фильтр . .Скаляризованный квадратно-корневой И-фильтр . .Скаляризованный модифицированный квадратнокорневой И-фильтр . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .14.10 Скаляризованный комбинированный квадратнокорневой фильтр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.11 Задание на лабораторный проект № 10 . . . . . . . .14.12 Варианты задания на лабораторный проект № 10 . ...................320322324326327328. . . 329. . . 329. .
. 330. . . 334Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335AОбоснования алгоритмов для подразд. 14.7–14.10 . . . . . 339A.1 Построение новых скаляризованных алгоритмов . . . . . 339BК задаче управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 343B.1Задача ЛКГ-управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343B.2Решение задачи управления . . . . . . . . . . . . . . . . . 344B.3Двойственность задач фильтрации и управления . . . . . 347B.4Вычислительные алгоритмы задачи управления . . . . . 347Список иллюстраций . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36110ПредисловиеКафедра «Информационные системы» УлГТУ решением от 01.12..2011 г.№ 12, рекомендует данное учебное пособие для студентов высших учебныхзаведений, обучающихся по направлениям:•230700.62 «Прикладная информатика»—профиль «Прикладная информатика в экономике»,•231000.62 «Программная инженерия»,•230700.68 «Прикладная информатика»,•231000.68 «Программная инженерия», а также•для аспирантов по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».Кроме отмеченных, данное пособие может быть рекомендовано студентами других направлений и специальностей, например,•010101 «Математика» при изучении дисциплины «Методы вычислений»,•010501 «Прикладная математика и информатика» при изучении дисциплины «Численные методы»,•010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» при изучении дисциплины «Вычислительная математика»,•210400 «Телекоммуникации» при изучении дисциплины «Вычислительная математика»,•230200 «Информационные системы» при изучении дисциплины «Вычислительная математика».Несмотря на различия в названиях учебных дисциплин, курс «Численныеметоды» по многим специальностям и направлениям подготовки в университетах преследует следующие общие цели:Предисловие•заложить базовые умения и навыки в области разработки вычислительных алгоритмов решения задач, возникающих в процессе математического моделирования законов реального мира;•обеспечить понимание основных идей численных методов, особенностейи условий их применения;•подготовить студентов к применению этих знаний в дальнейшей учебеи практической деятельности.При изучении данного курса значительное время отводят на «Вычислительные методы алгебры», или «Численные методы – I».
Согласно требованиям Государственного образовательного стандарта [7], к фундаментальнойчасти численных методов относят следующие темы из «Вычислительнойлинейной алгебры» (ВЛА):•тема 1 – методы исключения в решении систем;•тема 2 – разложения Холесского положительно определенных матриц;•тема 3 – методы ортогональных преобразований;•тема 4 – итерационные методы решения систем;•тема 5 – методы решения проблемы собственных значений матриц.Часть I данного учебного пособия составили первые четыре темы из этогосписка. Обширная тема 5, хотя и не включена, подготавливается здесь болееосновательным, чем обычно, изложением темы 3.К ВЛА иногда относят тему «Линейное программирование» (ЛП), ночаще ее изучают как самостоятельный предмет, базирующийся на ВЛА, иливключают ее в первый раздел таких дисциплин как «Методы оптимальныхрешений» или «Исследование операций».
Поэтому тема ЛП в данное пособие не вошла, — по ней существует обширная литература, в частности, специальный компьютерный курс [76].Часть II данного учебного пособия определена необходимостью изученияважной прикладной темы — метода наименьших квадратов (МНК).
В статистической интерпретации МНК означает оценивание неизвестных параметров математической модели (идентификация) или неизвестного состояниясистемы (фильтрация и предсказание). При том, что пособие предлагаетпо этой теме необходимый теоретический материал, основное внимание оноуделяет все же практической реализации методов оценивания. Благодарявключению в данное пособие этой части, названной «Линейное оценивание»,12Предисловиеоно поддерживает изучение других прикладных дисциплин, таких как «Прикладная статистика», «Эконометрика» или «Стохастические модели, оценкии управление».Понимание вопросов реализации методов оценивания, бесспорно, является решающим в приложениях теории.
Однако, разработкам и исследованию численно устойчивых методов оценивания в отечественной научнойлитературе не уделено необходимое внимание. Еще меньшее внимание этомууделено в нашей учебной литературе, хотя численная неустойчивость теоретических методов оценивания существует как серьезный барьер для их практического применения. Акцентом на эффективную вычислительную реализацию методов оценивания в этом учебном пособии мы восполняем отмеченный пробел.Учебная направленность всего предлагаемого материала выражена в том,что почти по каждой теме он включает объемный учебный лабораторныйпроект. Для подготовки к его выполнению, а также для контроля знанийстудентов в течение семестра и на экзамене, в пособии разработано большоеколичество контрольных, тестовых заданий.Значение «Численных методов» во многих областях науки и техникитрудно переоценить, — оно растет очень быстро.
В связи с этим важно,чтобы студенты, готовящиеся стать специалистами в области математического моделирования, численных методов и комплексов программ, обладалиподлинно глубокими знаниями, т. е. знаниями, имеющими для них практическую ценность в их будущей деятельности. Такое знание достигаетсяне схоластическим изучением теории и не решением элементарных задач вклассе, но реальной проектной работой по созданию серьезных программных продуктов высокого профессионального уровня, воплощающих этичисленные методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
