Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(7) Рассмотрим теперь случаИ р случаИнык величин ХР Хм ..., Х . Их совместная функция распределения Р(хп ..., х )=Р(Х, (хп ..., Х «(хр! (8) определена для любого набора действительных чисел хп ..., х . Если Р(хп ..., х ) абсолютно непрерывна, то плотность распределения вероятностеИ есть д~Р(хь ..., хр) дх~ ... дх 7( н '''* р) (почти всюду) и рр Р(хо.,„хр)= ~ ... /,7(ио ..., ир)г(и1 ... Г(ир. (10) Вероятность попадания точки ХР ..., Х в измеримое мнор жсство Й р-мерного евклидова пространства равна Р ((хн .. „х ) ~ й) = ~ ...
~ 7 (хн ..., х ) г(х,... с(х . (11) Элемент вероятности 7'(хн ..., х )бх, ... йх приближенно равен Р (х, ««Х, С х, + Дхм ..., хр ««Хр ««хр+ Дхр). Смешанные моменты равны (е(Х,1 ... Х р = ~ ... ~ х 1 ... х р~(х ... х ) г(х ... Фх . (1И) 17 осиовныг понятия 2.2.2. Частные распределения. Если задана Р(х, у)— совместная функпня распределения случайнык величин Х, У, то частная функция распределения Х будет Р [Х < х[ = Р [Х < х, У < ос[ = Р(х, со), (13) Обозначии ее через Г(х). Ясно, что Р(х) = ~ / у (и, и) Ю г(и.
(14) Назовем [ у(и, о)суп= 7(и) (15) частной плотностью вероятности величины Х. Из (14) ясно, что Р(х) = [ 7(и) Фи. (16) Тогда частная плотность вероятности величин Хн ..., Х, равна Таким же обрааом могут быть определены частная функция распределения О (у) и частная плотность вероятности л (у) величины У. Рассмотрим теперь общий случай. Лана совместная функция распределения Г (хо ..., х ) случайных величин Хн ..., ..., Х и нужно определить частную функцию распределения некоторых из величин Хн ...„ Х , например величин Хо ..., Х, (г < р). Имеем Р[Х,<х,, ....
Х,<х[= =Р[Х, <х,, ..., Х, <х„Х,„, <, ..., Х < =Р(хн ..., х„со, ..., сю). (17) 18 МНОГОМГРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДГЛРНИЕ 1ГЛ. 2 Частные функции распределспия и плотности вероятности любых других групп величин Х, , Хр могут быть определены аналогичным образом. Смешанные моменты любого подмножества случайных величин могут быть вычислены по их частной функции распределения; например, ю ~ю сю = ) ...
) хьц.. хогг'(хп..., х )г(х,...г(х .= ~ ... ) хлс. (19) 2.2.3. Статистическая независимость. Две случайные величины Х, У с совместной функцией распределения л (х, у) называются независимыжи, если Г" (х, у) =- Р (х) 0 (у), (20) где Г (х) есть частная функция распределения Х и 0 (у)— частная функция распределения У. Из этого следует, что плотность вероятности пары (Х, У) есть дур(х, у) дуЛ(х) 0 (у) г'(х, у)— дх ду дх ду — = У (х) А'(у). (21) ар (х) д0 (у) Обратно, если у(х, у) = у (х) д(у), то у к у к Р(х, у)= ~ ~ у(и, о)г(иг(о= ~ / у(и)р(о)г(иг(о= к у / у" (и)Ии ~ д(о)г(о=р(х)0(у). (22) Поэтому вквивалентпое определение независимости в случае, когда существует плотность вероятности, сеть у(х, у) =у(х) д(у).
ОСИОВИЫР ПОНЯТИЯ 19 2.21 Пусть даны любые х, ( х2, у, ( уа Рассмотрим вероятность Р (х, ( Х: х., у, ( У ( ут) = У1 У| )г у (и, и) Фи г(п = ~ г (и) а и ~ д (о) г(о = У~ к, У = Р (х, ( Х ( х21 Р (у, .( У.( у2) . (23) Вероятность совместного осуществления двух событий— попадания Х в псрвыИ интервал и попадания У в другой интервал — равна произведению вероятности попадания Х в псрвыИ интервал и вероятности попадания У во второИ интервал.
Если совместная функция распределения величин Хи ... ..., Х есть )Р(хи ..., х ), то случайные величины называются взаимно независимыми в том случае, когда В(хм ..., хр) = Р, (х,) ... Вр (хр), (24) где Ру(х,) является частной функцией распределения величины Х, (1= 1, .... р). Говорят, что величины Хм ..,, Х, независимы от величин Х,+м ..., Х, если В(хп ..., х )= = В(хи .... х,.
Оо, ..., Оо) В(оо, ..., Оо, х,ем ..., х ). (25) Одним из следствий независимости является формула, согласно которой смешанный момент совокупности случаИ- пых величин выражается через произведение соответствующих моментов каждоИ случайноИ величины. Например, если Лм ..., Х взаимно независимы, то МХ,"~... Х"»= к~ ... ~ х,"е .. х",У'г",(х,)... ) Ш р ... Ур(хр)г(х ...
гтхр — Д ~ хлУ (х )~(х =Д (МХ,11. 1 ! -ш г ! (26) 2.2.4. Условные распределения. Если А и  — два события, вероятность совместного появления которых равна Р(АВ) и вероятность появления В равна Р(В), то условная 20 мнОГОмГРное нОРмАлънОГ РАОПРепелениГ [Гл.т (28) к, Р (х, (Х ~(хе~у ()'~(у+Ьу) = / ' У, с(и. (30) Следует упомянуть, что для фиксированных у и Ьу() 0) подынтегральная функция в (30) обладает теми же свойствами, что и одномерная функция плотности вероятности. Для значений у, при которых л (у) Р О, мы определим Р (х, ~(Х ~(хе! )'= У) (вероятность того, что Х лежит между х, и хт при фиксированном )', равном у) как предел (30), когда Ьу->О. Таким образом, Р (х, (Х (хе 'г'=-у) = ~ 7(и(у)Ни, вероятность появления А при условии, что В произошло, будет равна Р(АВ);.
Р(В) (если Р(В) ) 0). Допустим, что событие А есть попадание Х в интервал (хо ха) и событие  — попадание У в интервал (уп уз). Тогда условная вероят- ность того, что Х попадет в (хн хз), при условии, что )' попала в интервал (уп уз), равна р ( . ~Х ~ ~ () ( ) Р(х14Х~(хк У~~4)'~(УУ) 1 хз уг уз р(, <у~ ) к, у, ~ у (и, Р) л'и Ии (27) ~ е(Р) кЬ У Теперь допустим, что у, = у, уз = у+Ьу, Тогда для непре- рывной плотности вероятности У~ АУ А" (о) г(о = К(у ) ~)'у У еде у ~(у'~(у+Ьу.
Также уэьу 7'(и. о) г(о = ЬУ7'(и, у(п)), (29) где у <у(и) (у+ду. Поэтому 21 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ где у (и ~ у) = у (и, у), й (у). для данного у г (и ) у) есть плотность вероятности и называется условной плотностью Х при данном У.
Заметим, что если Х и У независимы, то /(х ~ у) =/(х). В общем случае для величин Хп ... Х с совместной функцией распределения г'(хи ..., х ) условная плотность распределения величин Хп ..., Х,, при данных Х,+, —— = х, ,, ..., Х = х , равна у(хь ..., кр) (32) ) у(иь,. „и„х еь .. „хр) Ли, ... г(иг Г Боже общее рассмотрение условных вероятностей читатель найдет в работе А. Н. Колмогорова 11).
2.2.6. Преобразование переменных. Пусть у (хи..., х ) есть плотность вероятности величин Х„..., Х . Рассмотрим р дейстпительных функций у,=у~(хи ..., хл). (=1, ..., р. (33) Мы допустим, что преобразование х-пространства в у-пространство япляется взаимно однозначным ') и обратное преобразопание есть хг = хг()3 ° ° Ур) 1 = 1, ..., р. (34) Пусть случайные величины У,...,, У определяются слеп дующим образом: 1г — Уг(ХН Хр), (=1, °... р. (35) Тогда плотность вероятности величин У,, ..., У равна а'(Уп ' ' ' Ур) = =У'(х,(у, ..., у ), ..., х (уп ..., у )! У(уп ..., Ур), (36) ') Точнее, мы допустим, что зто справедливо для той части х-пространства, дла которой г(хь ..., хр) положительна.
многомпрноп нормлльноп рлспрпдвлянии (гл. я где .l(у), ..., у ) =п)од (зу) дхр дхр дх, дур ду, дз есть функциональный определитель Остроградского — 11коби ') для этого преобразования. Мы сч)паем, что произподиые существуют, а символ «п)о()» обозначает абсолютную пслнчину следующего за ним выражения. Вероятность того, что (Хп .., Хр) попадает и область й, определяется по формуле (11), а вероятность того, что (Рм ..., 1' ) попадает в область 5, будет равна Р НУ' ." ~'р)ЕЯ =~ . ~ 8(У ° Ур)((У), ((Ур (38) Пусть о есть образ области )(т, т. с. пусть каждая точка области й преобразуется по (33) в точку области 5, и каждая точка 5 преобразуется по (34) в точку т(т; тогда (11) раино (38) по общей теории преобразования кратных интсгралоп, Отсюда слслует, что (36) является плотностью распределения величин г(, ..., у . 2.8.
Многомерное нормальное распределение Одномерная нормальная плотность распреде.тенин может быть записана следующим образом: -- «И" т)' 1 1 — — (к-з) «(.к- в) )ге л =хе где е поло)кительно, а к выбирается таким образом, чтобы интеграл от (1) по всей оси х был равен единице. Плот- ') Во многих книгах этот функциональный определитель называется якобианом, однако название «определитель Острогралского— Якоби» явлистсн более точным, ибо этот определитель был введен Остроградским и 11коби независимо друг от друга. (П)тик(. ред.) дх, ду, дхт ду, дх,,дх, дуг ''' ду, дх, дх, дул ''' дур 2Л! МНОГОМЕРНОГ НОРХ1ЛЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛГНИЕ 2З ность вероятности многомерного нормального распределения величин Х, ... Х имеет аналогичную форму.
Скалярная 1' ''' р переменная х заменяется вектором х, (2) х скалярную постоянную р заменяют вектором Ь, а положительную постоянную а заменяют положительно определенной (сииметрической) матрицей ан а12 ° ° а1р А — а21 а22 ' ' а2 (4) ар1 ар2 ' ' ' арр Выражение а(х — (2)2 —.— (х — !1) а(х — р) а этом случае заиеняется кпадратичиой формой (х — Ь)'А (х — Ь) = ~ а,.~(х; — Ьг)(х) — Ь)). (5) 1,)=1 Тогда плотность вероятности р-мерного нормального распределения равна ! /(х1, ..., х )=Ке (6) где К(Р О) выбирается таким образом, чтобы интеграл по псему р-мерному евклидову пространству переменных хн ..., х был равен единице.
В матричной записи становится ясным подобие много. мерной нормальной плотности распределения вероятностей (6) и одномерной плотности распределения вероятностей (1). Поэтому мы в этой книге будем использовать матричные 24 мнОГОмернОе нОРмлльнОе Распределении !Гл а обозначепич и операции над матрицами. В приложении читатель может поапакомиться с обзором теории матриц, Заметим, что у(хо ..., х ) псотрицательпа. Так как А положительно определена, то (х — Ь)'А(х — Ь)) О, (7) поэтому плотность распределения вероятностей ограничена, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
