Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Математической моделью, на которой основывается этот анализ, является многомерное нормальное распределение илн комбинация многомерных нормальных распределений. Проблемы, которые мы станем рассматривать, должны затрагивать выводы о параметрах этих распределенцй. Здесь мы коснемся таких вопросов, как проверка гипотез о равенстве средних значений, получение оценок коэффициентов корреляции, а также вопроса о том, с каким нз нескольких заранее известных распределений совпадает данное распределение. Хотя существуют многомерные статистические проблемы, которые не могут быть описаны моделью нормального распрелелення, н хотя суьпествуюг статистические методы, которые применяются для выборок из других тшюв распределений (например, полиномиального распределения), мы рассматриваем в этой книге только статистический анализ, основанный на нормальном распределении.
Основным оправданием широкого изучения методов, относящихся к нормальному впгдгннг. распределению, является приемлемость математической модели зтого распределения для большого числа многомерных случаев. В самом деле, обзор развития теории, приведенный в этой книге, показывает, что в значителыюй мере эта теория возникла для решения практических проблем. Одним из первых ста.т заниматься такими статистическичи проблемами генетик Френсис Гальтон (Ргапс[з Оайоп) во второй половине Х1Х века.
Исследования Гальтона з статистической теории заключались в том, что он изучал большое число выборок и установил, что многомерное нормальное распределение является обобщением наблюденных свойств выборок. В частности, он изучал пары наблюлений; нал родителем и над потомком. Интересно отметить, что Гальтон направлял своим друзьям просьбы выращивать душистый горошек, производить наблюдения над двумя поколениями горошка и присылать ему результаты. Плотность распределения вероятностей двумерного нормального распределения до Гальтона изучалась Адрианом [1[, Лапласом [1[, Плана [1[.
Г а у с с о м [1[, Б р а в е [1[. Однако никто из этих авторов не дал определения ни коэффициента корреляции как меры взаимосвязи, ни таких характеристик условных распределений, как линии регрессии и гомоскедастичность, что было спела но Г а л ь т о н о м [1[ '). В свою очередь К. Пирсон и другие разработали теорию и применение различного рода коэффициентов корреляции для изучения проблем генетики, биологии и других наук.
Проблемы клзссификации в антропологии и ботанике привели к определению «коэффициента рзсового сходства» и «лискримицантных функций». С лругой стороны, анализ большого числа испытаний умственных способностей привел к разработке теории, включзющей такие понятия, как «факторный анализ», выборочная теория яоторого базируется на нормальном распределении. В этих случаях, как и во многих других (в сельскохозяйственных экспериментах, в технических проблемах, в ряде экономических проблем и в других областях), оказалось, что многомерное нормальное распределение является достаточно хорошим приближением ') По поводу рззвнтня понягнй, связанных с корреляцией, см.
Уокер [1[. овщнп овзоп многомнпных методов ья! к деиствительному распределению, так что статистические анализы, основанные на модели нормального распределения, вполне оправданы. Одномерное нормальное распределение возникает очень часто, потому что изучаемый эФфект является суммой действия многих независимых случаИиых факторов. Г!одобно этому многомерное нормальное распределение часто встречается в связи с тем, что множествснныс измерения являются суммами многих малых независимых воздеИствип.
11одобно тому, как из центральноИ прсдсльноИ теоремы следует, что предельным распределением одномерных независимых случайных величин является одночерныИ нормальный закон, так и из обобщснноИ центральноИ предельной теоремы следует, что предельным распределением в случае нескольких измерений является многомсрное нормальное распределение. Мы ограничиваемся рассмотрением в этоИ книге только нормального распределения также потому. что многомерные методы, основаннью на нормальном распределении, нашли широкое распространение и их можно изучать более организованно и систематически. Распространение этих методов обусловлено не только практнческоИ их применимостью, но также и тем, что для теории нормального распределения разработаны точные математические методы.
Соответствующие этой теории методы анализа основываются, как правило. на обычных операциях матричной алгебры; распределения многих статистик могут быть наидсны точно или, по крайнея мере, охарактеризованы моментами; во многих случаях могут быть получены оптимальные своИства. 1.2. Общий обзор многомерных методов Статистические методы многомерного анализа удобно разделить на следующие пять групп: 1. Корре гяяия. Г1рсжде всего необходимы методы намерения степени зависимости между двумя случайными величинами в совокупности и в выборке.
!'!онятие коэффициента корреляции распространяется на измерение зависимости между одноИ случаИноИ величиной и множеством случаИных величин посредством множественного коэффициента корреляции. ггл, ! ввиде!гне 12 '!астныИ коэффициент корреляции измеряет зависимость между случаИными величинами, когда действие других корреляционных случайных величин исключено.
Различныс выборочные коэффициенты корреляции используются для оценки соответствующих параметров распределения и для проверки таких гипотез, как гипотеза независимости. 2. Аналоги одномерных статистических лгетодов. Многие проблемы, возникающие при изучении многомерных совокупностсИ, совершенно аналогичны проблемам, возникающим при изучении одномерных совокупностей; методы решения этих проблс» сходны. Например, в одномерном случае мы хотим проверить гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной величины; в многомерном случае мы также хотим проверить гипотезу о том, что ма' тематические ожидания нескольких случайных величин равны нулю.
Аналогией 1-критерия Стьюдснта для одномерного случая является обобщснныИ Тг-крнтериИ для многомерного случая. Мы обобщим также методы наименьших квадратов и диспсрсионный анализ. Для решения большинства этих проблем выбор системы координат не играет роли, т. е. линейное преобразование переменных не влияет на метод. В частности, во многих случаях провсркн гипотез линеИное преобразование нс меняет гипотезы или процесса проверки. 3.
Проблемы системы координат. Эти проблемы являются по существу проблемами выборз системы координат таким образом, чтобы случаИные величины имели желаемые статистические свойства. Можно сказать, что эти свойства включают свойства, характеризующие нормальныс распределения. Указанные проблемы тесно связаны с алгебраическими проблемами представления матриц в канонической форме. 11римсром является отыскание такоИ нормализованной линспноя комбинации случайных величин, что се дисперсия максимальна или минимальна (нахождение главных компонент); это равноценно отысканию повара!а осей, которыИ приводит ковариационную матрицу к диагональной форме. Другой пример — характеристика зависимости между двумя множествами слуггаИнг!х величин (нахождение канонических корреляций).
Для решения этих проблем требуется находить характеристические корни и характеристические векторы различных матриц. овщгпч ОБЭОР мпогомгяных методов 1З 4, Более детализированные проблемы. Во многих из этих проблем множества случаИных величин разбиваются на подмножества. Одной из интересных проблем здесь является проверка гипотез о независимости этих подмновксств. Другие проблемы относятся к гипотезам о симметрии между подмножествами или внутри подмножеств.
В категорию «более детализированных проблем» мы включаем также факторныИ анализ. 5. Зависимые наблюдении. При анализе временных рядов наблюдения производятся над случайными величинами, последовательными во времени. Наблюдения, сделанные в нс- которыИ момент времени, могут зависеть от ранее произведенных наблюдениИ. Такие проблемы ведут к изучению внутрирядноИ корреляции и стохастическим разностным уравнениям, Это обширная проблема; к сожалению, мы не можем рассмотреть се достаточно полно. ЛИТЕРАТУРА Адриан [Ц, Брзве [Ц, Гальтон [Ц, Гаусс [Ц, Лаплас [Ц, Плана [Ц, Уокер [Ц.
ГЛАВА 2 МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Введение В этой главе дастся определение многомерного нориального распределения и рассматриваются некоторыс его своИ- ства. В 5 2.2 приводятся основные понятия, связанные с многомерным распределением: определение частных рас- прсдслсннИ, условных распределения, математических ожн- даниИ и моментов с помощью многомерной плотности вероятности.
В следующих параграфах эти понятия рассматриваются для нормальных распределений. Одним из важных свойств многомсрных нормальных распределений является то, что частныс и условные распределения также являются нормальными. 2.2. Понятия, связанные с многомерными распределениями 2.2.1. Совместные распределения. В этом параграфе будут рассмотрены понятия совмсстных распределений нескольких случайных величин, частных распределений подмножеств случаИных величин и условных распределениИ. Во-первых, рассмотрим случаИ двух (действительных) случайных величин ') Х и У. Вероятности событий, определяемых в терминах этих величин, могут быть получены из совмссшно» функция распределения Р(х, у).=Р (Х(х, 1' (у1, (1) ') В главе 2 будем различать случайные зслнчичы, которые обозначаются прописными буквами, и аргументы, обозначаемые строчными буквами.
В последующих главах мы нс сможем прндержнеатьск этого соглашения, поскольку его соблюдснне усложнит обозначения. 15 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ определяемой для каждой пары действительных чисел (х, у). Нам интересен случай, когда г".(х, у) абсолютно непрерывна, зто соответствует точу, что почти всюду существует частная производная: д'с (х, у) — '-.— = — у'(х, у) дх ду (2) у х Е(х, у) = ~ ~ у (и, и) Фи до.
у (и, о) Фиг(о (4) (ох ) О, оу ) 0). Вероятность того, что случайная точка (Х, У) попадет в некоторо множество Е, для которого следующий интеграл определен (т. с. в некоторое измеримое множество Е), равна Р)(Х, 1 ) ~Е) = 1 1 ~(х, у) дхду, (5) Это следует из определения интеграла (как предела сумм вида (4)). Если у (х, у) непрерывна по обеим переменным, то элемент вероятности у (х, у) Ьудх приближенно равен вероятности того, что Х окажется между х и х.)- ох, а У вЂ” между у и у+ау, ибо Р)х (Х (х.)-ох, у.< У (у+йу) =- уэху хх хг у (и, о) ди до = у'(х„, у„) Ьх Ьу (6) у х Неотрицательная функция У(х, у) называется плотность о распределения еероятностед Х и У (плотность веооятности). Случайные величины (Х, У) определя1от случайную точку на плоскости.
Вероятность того, что (Х, У) попадет в прямоугольник, будет Р [х <Х < х+Лх, у < 1' <у+Лу) = = Г(х+Ьх, у+Ьу) — Г(х+Ьх, у) — Р(х, у+Ау)+Р(х, у)= у,ху х~ ах 16 мнОГОмГРное нОРмАльное РАспРеделГнне !Гл. а для некоторых х„, у„(х««ха«(х+дх, у««уе«(у+Иу) по теореме о среднем. Так как 7(и, о) непрерывна, то зна- чение вероятности в формуле (6) приближенно равно У(х, у) дх пу. ДеИствительно, !Нп, (Р(х«(Х«(х+дх, ! ,ах ау Ар-~О у«(Р<у+ду) — 7'(х, у)бхду!=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
