Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(о) Если и(х) комплексна. то 8' (х) = ~Х]п (х( > ) + (К~вн (х('>)] ]дчп (х(2>) + ~Х2и) (х(2> )] = и('>(х('>) и(2> (х(2>) — Хр(ха>) «(м(ха>) + + ( ]ф> (х(1>) ф(2> (х(2>)+ д(1> (е(1>) у$2> (х(2>)] щ Тогда Мд(Х) = и ~д("(Х"')КГ (Х( >) — ЕД>(Х">)дР" (Х' >)]+ (М [ ( >(Х( >) (~>(Х(~>)+ о>(Х(~>),(2>ф(2>)) ~ Мд>п(Х'и) Мд(,"(Хи>) Мд(2'>(Х">) Мд(2" (Х('>)+ + фиат >(Х( ) Ми>1 >(Хп>)+ Ми(1'>(ХП>) Ми(2~>(Х(~>)] = = ]маЯ(х">) ~- (мд(2" (х" >)Яма'(хи>) + (мдях'2>)]— = Ми "(Х ' ) Мд2 (Х~ >). (7) Если применить лемму 2.6Л к и(х)=е"', то получится Лемма 2.6.2. Если номпоненн>а Х независимо распределены, гио Р Мв"'"=Я Мвиl"l ° Наядем теперь характернстнческу>о функции> нормально распределй(ного случайного вектора. 54 многомп ног.
погмлльног, плсп! сдглиниг !гл. г Теорсма 2.6.!. Характеристическая функция век- тора Х, распределенного М((ь, Х1, равна ! ып- — ! г о (г) = Меь!'» — е г (9) для любого действительного вектора й Доказательство. Из слелствия 4 приложения 1 нам известно, что суьцествуст невырождегпьая матрица С, для которой С Х 'С=г. (10) Тогда Х !=С ьС =(СС') (11) Пусть (12) Х вЂ” 0=СЕ. Тогда )' распределен М(0, 1). Характеристическая функция У равна Р Ч" (п)=Ме" =П Ме''0'). )=! (13) „Поскольку 1') распределена И(0, 1), то — — ! и' ьр(и)=Ц е г '=е ! (14) Таким образом, Ч!еы,» Меы (скэп) ! ьг' г!'ст и' --, и'с!тт' =е пМе =е "е г (15) нбо г'С= и', третье равенство легко проверить, если написать обе части этого равенства в интегральной формы Согласно (1!), получим !...
1 г, — — гссс ни- — гй! р(г)=е пе ' =е (16) что доказывает теорему. Характеристическая функция нормального распределения очень полезна. Ясно. что мы можем применить указанный метод доказательства для пол! чепия результатов в 2А. Если Т.в) ХАРАКТЕРИСТИ'СЕСКАЯ ФУНК))ИЯ; МОМЕНТЫ 66 и =в)Х, то характеристическая функция й есть Месс'е Месс'Ох й!ес СО с) н с )О'с)' и- — СО'С)' Х СО'с) сс' (ОИ)- — с' (ОТО') с ! ! =е а =е е, (1)) что является характеристической функци;й с!)(ю!ь. Ол'ь)') (согласно теореме 2.6.3).
Интересно использовать характеристическую функцию для того, чтобы показать, что только для многомерного нормального распределения любая линейная комбинация случайных величин распределена нормально. Рассмотрич р-лшрный вектор У с плотностью распределения вероятностей г(у) и характеристической функцией %'(и)=Ме'""= 1 ... ~ еси'Р) (у)ау,... с(ур (18) и допустим, что среднее значение У есть р н ковариационная матрица есть Х.
Допустим также, что величина и'У нормально распределена для каждого и. Тогда характеристическая функция такой линейной комбинации будет ! у Си Р Т С Р РР Ме "' =е (19) П)сть теперь с=!. Поскольку правая часть (19) является характеристической функцией )!)((ь, Х), то доказательство завершено (см.
теорс! у 2.6.3). Т е о р е м а 2.6.2. Если всякая линейная Аомйинааия ссомпонент вектора У распределена нормально, то У также распределен нормально. Можно было бы мимоходом заметить, что для справслливости теоремы 2.6.2 сушественно, чтобы всякая линейная комбинация была распределена нормально. Нзпример, если У'=(УР Ут) и У, и Ул не являются независимыми, то каждая нз У, и Уа может иметь частное нормальное распределение, а распределение У может не быть нормальным.
Легче всего зто проиллюстрировать на геометрическом примере. Пусть совместное распределение ХР Хл нормально со средним значением, равным нулю. Переместим ту же массу 66 многомерное нормальное распределение (гл.в в границах рис. 1 от прямоугольника А к С н от В к О. Мы увидим, что результирующее распределение У таково, что частные распределения У, и Уз такие же, как и частные распределения соответственно Х, и Хз, которые являются нормальными, и тем не менее совместное распределение У, и Ут не нормально. Этот пример может быть использован также для доказательства того, что две величины У, и Уз могут быть некоррелированными, и частное распределение каждой из ннх может быть нормаль- П П но, но совместное распределение 1', е и Уз не обязательно нормально и этн величины нс обязательно независимы.
Чтобы показать это, надо выбрать прямоугольники так, чтобы для ре- [~ Г1 зультирующего распределения матей ГД матическос ожидание 1',Уа было равно нулю. Геометрически ясно, что это может быть сделано. Для будущего мы установим Рнс. 1. две полезные теоремы, относящиеся к характеристическим функциям. Теорема 2.6.3. Если случайный вектор Х имеет плотность распределения вероятностей у'(х) и характеристическую функцию в®, то у(х)= — / ... ~ е-" в(Е)а,...д(. (2О) 1 (2г)Р г''' р' Отсюда видно, что характеристическая функция однозначно определяет плотность распределения вероятностей. Если же плотность вероятности для Х не существует, то характеристическая функция однозначно определяет распределение вероятности для любого «интервала непрерывности».
В одномерном случае интервал непрерывности — это интервал, в котором функция распределения не имеет разрывов на концах. Теорема 2.6.4. Пусть (рт(х)1 — последовательность функций распределения, а (у (ф — последовательность соответствующих характеристических функций. гееоб- ходиммм и достаточным условием сходимости г) (х) к функции распределения Е (х) является сходимость !Рг(!) к 9(!) для каждого б где ч)(Г) непрерывна при 1=0. Если это условие соблюдается, то предел !Р(г) есть карактеристическая функция для предельного распределения Р(х).
С докааательством этих двух теорем читатель может ознакомиться по книге Кр а м е ра (2), Ц !0.6, 10.7, 2.6,2. Моменты м семнннварнанты. Моменты величин ХР ..., Х с совместным нормальным распределением могут быть получены из характеристической функции (9). Среднее значение равно МХ» = ° д ! = ~ ~Е о»га1+ )Р»~ !Р(Г) ~ = Р» 1 дт! Тдг»~10 11 лв 11 1 ! о (21) Второй момент есть 1 д»т ) !» дг» дг1 11l %т о»»Г» + )Р» — ~ о» г»+ (Р ') — ь)1 (Г) » » 1' ) 1» = о»/+ р»Р1 (22) Таким образом, 1)(Х,) =М(Х, — Р,.)г=.и, Со (Х,, Х)) = М (Хг — Р.,) (Х) — Р.)) = об.
Любой третий центральный момент равен М(Х,— р,)(Х,— р,)(Մ— Р,„) =6. Четвертый центральный момент равен М(Х вЂ” Р. ИХ вЂ” (» )(Х вЂ” Р. )(Х вЂ” и ) = = о! о»1+ ог»о . + оно». (26) Определение 2.6.3. Если все моменты распределе- ния суигествуит, то семииквариантм равны коэффи- циентам )г в разложении ь »е..., ! =о '"" 'Р (25) Т.в! ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
МОМЕНТЫ 57 58 МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРРПРЛРННЕ !ГЛ. Я В случае многомерного нормального распределения А!О".0 !"!' '' '' [ае".О! — Рр А20...0 е!!, .... Йо,„а! = ор, дно... О = аы,... рр Семиинваризнты, для которых ~~ з, > 2, обрашаются в нуль. ЛИТЕРАТУРА ф 2.2. Кендалл [3(, стр. 19 — 22, 79 — 81, 104 — 105; Колмого- 1, о в ( Ц; К р а и е р (2(, стр. 260 — 270, 291 — 297; М у д (2[, стр. 74 — 86, 02 — 103; У и лис [10(, стр, 5 — 40. 5 2.3. Лэвид Щ; Кендалл [2(, Щ, стр. 22, 79 — 80, 89, !ЗЗ вЂ” 134, 376 — 378; К ад уел [Ц; Ыу д [2(, стр. 165 — !70, 176 — 180; К.
Пирсон [6(, [7(; Плакетт (2(; Пойа (Ц; Уилкс [10(, стр. 59 — 68. ф 2ре Крамер [2[, стр. 312 — 313; Муд [2), стр. 181; У илкс [10). стр. 68 — 71. ф 2.5. Кендалл Щ, стр. 334 — 335; 368 — 376, 380 — 381; К рам ер [2(, стр. 305 — 308, 314 — 316; Мул [2(, стр. 181 — 184; К.
П н рс о н [Ц; У и л к с (!0(, стр. 40 — 46; 71; 1О л (Ц, [2). ф 2.6. К е и д а л л [3(, стр. 79 — 80; К р а м е р [2), стр. 100 — 103, 3!Π— 311, 376 — 378; К у к [Ц, [2(; М у д [2(, стр. 184 — 186. Ко всей главе 2. Бирибауы (Ц; Вашиани (Ц; Гпедеико [Ц; Лжонсоп (Ц; Канат (1(; Каисадо [Ц; МакФаддеи [Ц; Моран [2); Иабейя [1(; Оберг (Ц; Скитович (Ц; Филлер, Льюис и Пирсон [Ц. ЗАЛАЧИ 1.
(ф 2.2) Пусть /(х, у)=-1 при 0~ х~ 1! 0~ у ~, 1, /(х, у) =-.0 в остальных случаях. Определитьл (а) т"-(х, у), (б) Р(х), (в) /(х), (г) /(х(у), (д) МКлУе. (Замечание., гх,(у,) О, если /(х,, у„) О.) (е) показать, что К и У незааисиэ!ы. 2. 6 2.2) Пусть /(х, у) =2 при О~у~х ~, 1, /(.к, т)=0 в остальных случаях. Определить: (а) с'(х, у), (б) Р(х), (в) /(х), (г) О(у), (л) З(у) (е) /(х(у), (ж) /(у!х), () мхяу', (и) незаиисйпы ла'Х и г г 59 ЗАДАЧИ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
