Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330), страница 17
Текст из файла (страница 17)
èÛÒÚ¸ X∞ = X ×…× X… = {x = (x1,…, xn,…): x 1 ∈ Xn ,…} – ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ‰Îfl ï.åÂÚË͇ ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ̇ X∞, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Í∞∑ An d( xn , yn ),n =1∞„‰Â∑ Anfl‚ÎflÂÚÒfl β·˚Ï ÒıÓ‰fl˘ËÏÒfl fl‰ÓÏ, ÒÓÒÚÓfl˘ËÏ ËÁ ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ın =11. åÂÚË͇ (ËÌÓ„‰‡  ̇Á˚‚‡˛Ú ÏÂÚË2nÍÓÈ î¯Â) ̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚÂÈ {xn}n ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ı(ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) ˜ËÒÂÎ, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇ͽÎÂÏÂÌÚÓ‚. é·˚˜ÌÓ ËÒÔÓθÁÛÂÚÒfl An =∞|x −y |∑ An 1+ | nxn − nyn | ,n =1∞„‰Â∑ Ann =1fl‚ÎflÂÚÒfl β·˚Ï ÒıÓ‰fl˘ËÏÒfl fl‰ÓÏ Ò ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ÏË ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË,74ó‡ÒÚ¸ I.
å‡ÚÂχÚË͇ ‡ÒÒÚÓflÌËÈfl‚ÎflÂÚÒfl ÏÂÚËÍÓÈ ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ‰Îfl Ò˜ÂÚÌÓ„Ó ˜ËÒ· ÍÓÔËÈ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡11(). é·˚˜ÌÓ ·ÂÂÚÒfl An = ËÎË An = n .n!2åÂÚË͇ „Ëθ·ÂÚÓ‚‡ ÍÛ·‡ÉËθ·ÂÚÓ‚ ÍÛ· I χ 0 ÂÒÚ¸ ‰Â͇ÚÓ‚Ó ÔÓËÁ‚‰ÂÌË ҘÂÚÌÓ„Ó ˜ËÒ· ÍÓÔËÈ ËÌÚÂ∞‚‡Î‡ [0,1], Ò̇·ÊÂÌÌÓ ÏÂÚËÍÓÈ∑ 2 −i | xi − yi |(ÒÏ. åÂÚË͇ ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfli =1î¯Â). Ö„Ó ÏÓÊÌÓ ÓÚÓʉÂÒÚ‚ÎflÚ¸ (Ò ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸˛ ‰Ó „ÓÏÂÓÏÓÙËÁχ) ÒÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, Ó·‡ÁÛÂÏ˚Ï ‚ÒÂÏË ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθ1ÌÓÒÚflÏË {x n }n ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ, Ú‡ÍËı ˜ÚÓ 0 ≤ x n ≤ , „‰Â ÏÂÚË͇ Á‡‰‡Ì‡n͇Í∑ n = 1 ( x n − yn ) 2 .∞åÂÚË͇ ÍÓÒÓ„Ó ÔÓËÁ‚‰ÂÌËflèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ‰‚‡ ÔÓÎÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ‰ÎËÌ˚ (ÒÏ.
„Î. 1) Ë f : X → –ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÌÂÔÂ˚‚̇fl ÙÛÌ͈Ëfl. ÑÎfl ‰‡ÌÌÓÈ ÍË‚ÓÈ γ : [a, b] → X × Y‡ÒÒÏÓÚËÏ Â ÔÓÂ͈ËË γ1 : [a, b] → Y Ë Ì‡ ï Ë Y, Ë ÓÔ‰ÂÎËÏ ‰ÎËÌÛ ÔÓ ÙÓÏÛÎÂb∫a| γ 1′ |2 (t ) + f 2 ( γ 1 (t )) | γ ′2 |2 (t ) dt.åÂÚËÍÓÈ ÍÓÒÓ„Ó ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÏÂÚË͇ ̇ X × Y, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇ÍËÌÙËÏÛÏ ‰ÎËÌ ‚ÒÂı ÒÔflÏÎflÂÏ˚ı ÍË‚˚ı, ÒÓ‰ËÌfl˛˘Ëı ‰‚ ‰‡ÌÌ˚ ÚÓ˜ÍË ËÁ X× Y(ÒÏ.[BuIv01]).4.3. åÖíêàäà çÄ ÑêìÉàï åçéÜÖëíÇÄïàÏÂfl ÔÓËÁ‚ÓθÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X, d), ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚÓËÚ¸ ‡ÒÒÚÓflÌËflÏÂÊ‰Û ÌÂÍÓÚÓ˚ÏË ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï. éÒÌÓ‚Ì˚ÏË Ú‡ÍËÏË ‡ÒÒÚÓflÌËflÏË ·Û‰ÛÚ: ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ d(x, A) = infy∈A d(x, y),ÓÔ‰ÂÎflÂÏÓ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ x ∈ X Ë ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ A ⊂ X, ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂʉÛÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË inax∈A,y∈B d(x, y), ÓÔ‰ÂÎflÂÏÓ ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏfl ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ä Ë ÇÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï , ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚË͇ ÏÂÊ‰Û ÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚ÏË ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ï.ì͇Á‡ÌÌ˚ ‡ÒÒÚÓflÌËfl ‡ÒÒÏÓÚÂÌ˚ ‚ „Î. 1.
Ç Ì‡ÒÚÓfl˘ÂÏ ‡Á‰ÂΠԉÒÚ‡‚ÎÂÌÔ˜Â̸ ÌÂÍÓÚÓ˚ı ‰Û„Ëı ‡ÒÒÚÓflÌËÈ ˝ÚÓ„Ó ÚËÔ‡.ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÔflÏ˚ÏËê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÔflÏ˚ÏË ÂÒÚ¸ ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ‚ 3 , „‰Â ‚͇˜ÂÒÚ‚Â ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ·ÂÛÚÒfl ÒÍ¢˂‡˛˘ËÂÒfl ÔflÏ˚Â, Ú.Â. ‰‚ ÔflÏ˚Â, Ì ÎÂʇ˘Ë‚ Ó‰ÌÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË. ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÔflÏ˚ÏË – ˝ÚÓ ‰ÎË̇ ÓÚÂÁ͇ Ëı Ó·˘Â„ÓÔÂÔẨËÍÛÎfl‡, ÍÓ̈˚ ÍÓÚÓÓ„Ó ÎÂÊ‡Ú Ì‡ ÔflÏ˚ı.
ÑÎfl Ë l1 Ë l2 , Á‡‰‡ÌÌ˚ı‡‚ÂÌÒÚ‚‡ÏË l1 : x = pt, t ∈ Ë l2 : x = r + st, t ∈ , ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÌËÏË‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ| 〈 r − p, q × s 〉 |,|| q × s ||2„‰Â × – ‚ÂÍÚÓÌÓ ÔÓËÁ‚‰ÂÌË ̇ 3 , 〈,〉 – Ò͇ÎflÌÓ ÔÓËÁ‚‰ÂÌË ̇ 3, || ⋅||2 –‚ÍÎˉӂ‡ ÌÓχ. ÑÎfl x = (x1, x2, x3), y = (y 1 , y2, y3) ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó x × y == (x2y3 – x3y2, x3y1 – x1y3, x1y2 – x2y1).É·‚‡ 4.
åÂÚ˘ÂÒÍË ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËfl75ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÔflÏÓÈê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÔflÏÓÈ ÂÒÚ¸ ˜‡ÒÚÌ˚È ÒÎÛ˜‡È ‡ÒÒÚÓflÌËfl ÏÂʉÛÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ, „‰Â ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl Ôflχfl.Ç 2 ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ z = (z1 , z2 ) Ë ÔflÏÓÈ l: ax1 + bx2 + c 0 ‚˚˜ËÒÎflÂÚÒflÔÓ ÙÓÏÛÎÂ| az1 + bz 2 + c |.a2 + b2Ç 3 ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ z = (z 1 , z 2 , z 3 ) Ë ÔflÏÓÈ l: x = p + qt, t ∈ ‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ|| q × ( p − z ) ||2,|| q ||2„‰Â × – ‚ÂÍÚÓÌÓ ÔÓËÁ‚‰ÂÌË ̇ 3 Ë || ⋅ ||2 – ‚ÍÎˉӂ‡ ÌÓχ.ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛ ÂÒÚ¸ ˜‡ÒÚÌ˚È ÒÎÛ˜‡È ‡ÒÒÚÓflÌËfl ÏÂʉÛÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ‚ 3 , „‰Â ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸.ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ (z1 , z 2 , z 3 ) Ë ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛ α : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓ ÙÓÏÛÎÂ| az1 + bz 2 + cz 3 + d |.a2 + b2 + c2ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÔÓÒÚ˚ÏË ˜ËÒ·ÏËê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÔÓÒÚ˚ÏË ˜ËÒ·ÏË – ˜‡ÒÚÌ˚È ÒÎÛ˜‡È ‡ÒÒÚÓflÌËfl ÏÂʉÛÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ‚ (, | n – m |), ‡ ËÏÂÌÌÓ ÏÂÊ‰Û ˜ËÒÎÓÏ n ∈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏÔÓÒÚ˚ı ˜ËÒÂÎ P ⊂ .
чÌÌÓ ‡ÒÒÚÓflÌË ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl Í‡Í ‡·ÒÓβÚ̇fl ‚Â΢Ë̇‡ÁÌÓÒÚË ÏÂÊ‰Û n Ë ·ÎËʇȯËÏ Í ÌÂÏÛ ÔÓÒÚ˚Ï ˜ËÒÎÓÏ.ê‡ÒÒÚÓflÌË ‰Ó ·ÎËÊ‡È¯Â„Ó ˆÂÎÓ„Óê‡ÒÒÚÓflÌË ‰Ó ·ÎËÊ‡È¯Â„Ó ˆÂÎÓ„Ó ÂÒÚ¸ ˜‡ÒÚÌ˚È ÒÎÛ˜‡È ‡ÒÒÚÓflÌËfl ÏÂʉÛÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ‚ (, | x – y |), ‡ ËÏÂÌÌÓ, ÏÂÊ‰Û ˜ËÒÎÓÏ x ∈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓψÂÎ˚ı ˜ËÒÂÎ ⊂ , Ú.Â. minn∈Z | x – n |.ÅÛÁÂχÌÓ‚‡ ÏÂÚË͇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÖÒÎË (X, d) – ÔÓËÁ‚ÓθÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÚÓ ·ÛÁÂχÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ (ÒÏ. [Buse55]) fl‚ÎflÂÚÒfl ÏÂÚË͇ ̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ÌÂÔÛÒÚ˚ıÁ‡ÏÍÌÛÚ˚ı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï, ÓÔ‰ÂÎÂÌ̇fl ͇Ísup | d ( x, A) − d ( x, B) | e − d ( p, x ) ,x ∈X„‰Â – ÙËÍÒËÓ‚‡Ì̇fl ÚӘ͇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï, ‡ d(x, A) = miny∈d d(x,y) – ‡ÒÒÚÓflÌËÂÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ.ÇÏÂÒÚÓ ‚ÂÒÓ‚Ó„Ó ÏÌÓÊËÚÂÎfl e–d(p,x) ÏÓÊÌÓ ‚ÁflÚ¸ β·Û˛ ÙÛÌÍˆË˛ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËfl ‡ÒÒÚÓflÌËfl, Û·˚‚‡˛˘Û˛ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ·˚ÒÚÓ (ÒÏ. ï‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚Ó Lp ‡ÒÒÚÓflÌËÂ, „Î. 21).î‡ÍÚÓ-ÔÓÎÛÏÂÚË͇èÛÒÚ¸ (X, d) – ‡Ò¯ËÂÌÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (Ú.Â.
ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÒÏÂÚËÍÓÈ, ÍÓÚÓ‡fl, ‚ÓÁÏÓÊÌÓ, ÏÓÊÂÚ ÔËÌËχڸ Á̇˜ÂÌË ∞) Ë ~ ÂÒÚ¸ ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ76ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂχÚË͇ ‡ÒÒÚÓflÌËÈ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË Ì‡ ï . íÓ„‰‡ Ù‡ÍÚÓ-ÔÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÛÏÂÚË͇̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â X = X / ~ Í·ÒÒÓ‚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË, ÓÔ‰ÂÎflÂχfl ‰Îfl β·˚ıx , y ∈ X ͇Ímd ( x , y ) = infm ∈∑ d( xi , yi ),i =1„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒfl ÔÓ ‚ÒÂÏ ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚflÏ x 1 , y1, x2, y2, y2,…, x m, ym Ò1 ∈ x , ym ∈ y Ë yi ~ x i+1 ‰Îfl i = 1,2,…, m – 1.
èË ˝ÚÓÏ Ì‡‚ÂÌÒÚ‚Ó d ( x , y ) ≤ d ( x , y )ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó ‰Îfl ‚ÒÂı x, y ∈ X Ë d fl‚ÎflÂÚÒfl ̇˷Óθ¯ÂÈ ÔÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ X ̇ Ò Ú‡ÍËÏÒ‚ÓÈÒÚ‚ÓÏ.É·‚‡ 5åÂÚËÍË Ì‡ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÒÚÛÍÚÛ‡ıÇ ‰‡ÌÌÓÈ „·‚ ‡ÒÒχÚË‚‡˛ÚÒfl ÒÔˆˇθÌ˚ Í·ÒÒ˚ ÏÂÚËÍ, Á‡‰‡‚‡ÂÏ˚ı ̇ÌÂÍÓÚÓ˚ı ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÒÚÛÍÚÛ‡ı Í‡Í ÌÓχ ‡ÁÌÓÒÚË ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏfl ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË. í‡Í‡fl ÒÚÛÍÚÛ‡ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ „ÛÔÔÓÈ (Ò „ÛÔÔÓ‚ÓÈ ÌÓÏÓÈ), ‚ÂÍÚÓÌ˚ÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ (Ò ‚ÂÍÚÓÌÓÈ ÌÓÏÓÈ ËÎË ÔÓÒÚÓ ÌÓÏÓÈ), ‚ÂÍÚÓÌÓÈ Â¯ÂÚÍÓÈ(Ò ÌÓÏÓÈ êËÒÒ‡), ÔÓÎÂÏ (Ò ‚‡Î˛‡ˆËÂÈ) Ë Ú.Ô.åÂÚË͇ ÌÓÏ˚ „ÛÔÔ˚åÂÚËÍÓÈ ÌÓÏ˚ „ÛÔÔ˚ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÏÂÚË͇ ̇ „ÛÔÔ (G, +, 0), ÓÔ‰ÂÎflÂχfl͇Í|| x + (– y) || = || x – y ||,„‰Â || ⋅ || – ÌÓχ „ÛÔÔ˚ ̇ G, Ú.Â. ÙÛÌ͈Ëfl | ⋅ ||: G → , ڇ͇fl ˜ÚÓ ‰Îfl ‚ÒÂı x, y ∈ GËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡:1) || x || ≥ 0 c || x || = 0 Ò ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ x = 0;2) || x || = || – x ||;3) || x + y || ≤ || x || + || y || (̇‚ÂÌÒÚ‚Ó ÚÂÛ„ÓθÌË͇).ã˛·‡fl ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ „ÛÔÔ˚ d fl‚ÎflÂÚÒfl Ô‡‚ÓËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌÓÈ, Ú.Â.
d(x, y) = d(x +z, y + z) ‰Îfl β·˚ı x, y, z ∈ G. ë ‰Û„ÓÈ ÒÚÓÓÌ˚, β·‡fl Ô‡‚ÓËÌ‚‡Ë‡ÌÚ̇fl (‡‚ÌÓÍ‡Í Ë Î˛·‡fl ΂ÓËÌ‚‡Ë‡ÌÚ̇fl Ë, ‚ ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ·ËËÌ‚‡Ë‡ÌÚ̇fl) ÏÂÚË͇ d ̇ GÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ „ÛÔÔ˚, ÔÓÒÍÓθÍÛ ÌÓχ „ÛÔÔ˚ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡‰‡Ì‡ ̇ G ͇Í|| x || = d(x, 0).åÂÚË͇ F-ÌÓÏ˚ÇÂÍÚÓÌÓ (ËÎË ÎËÌÂÈÌÓÂ) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡‰ ÔÓÎÂÏ ÂÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó V,Ò̇·ÊÂÌÌÓ ‰ÂÈÒÚ‚ËflÏË ÒÎÓÊÂÌËfl ‚ÂÍÚÓÓ‚ + : V × V → V Ë ÛÏÌÓÊÂÌËfl ̇ Ò͇Îfl⋅: F × V → V, Ú‡ÍËÏË ˜ÚÓ (V, +, 0) Ó·‡ÁÛÂÚ ‡·ÂÎÂ‚Û „ÛÔÔÛ („‰Â 0 ∈ V ÂÒÚ¸ ÌÛθ‚ÂÍÚÓ), ‡ ‰Îfl ‚ÒÂı ‚ÂÍÚÓÓ‚ x, y ∈ V Ë Î˛·˚ı Ò͇ÎflÌ˚ı ‚Â΢ËÌ a, b ∈ ËϲÚÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡: 1 ⋅ x = x („‰Â 1 fl‚ÎflÂÚÒfl ÏÛθÚËÔÎË͇ÚË‚ÌÓÈ Â‰ËÌˈÂÈÔÓÎfl ), (ab) ⋅ x = a ⋅ (b ⋅ x), (a + b) ⋅ x = a ⋅ x + b ⋅ x Ë a ⋅ (x + y) = a ⋅ x + a ⋅ y. ÇÂÍÚÓÌÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡‰ ÔÓÎÂÏ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ı ˜ËÒÂΠ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚Ï‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.
ÇÂÍÚÓÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡‰ ÔÓÎÂÏ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı˜ËÒÂΠ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚Ï ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ .åÂÚË͇ F-ÌÓÏ˚ – ÏÂÚË͇ ̇ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓÏ (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ) ‚ÂÍÚÓÌÓÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â V, ÓÔ‰ÂÎÂÌ̇fl ͇Í|| x – y ||F,„‰Â || ⋅ ||F fl‚ÎflÂÚÒfl F-ÌÓÏÓÈ Ì‡ V, Ú.Â. ÙÛÌ͈ËÂÈ || ⋅ ||F : V → Ú‡ÍÓÈ ˜ÚÓ ‰Îfl ‚ÒÂı x,y ∈ V Ë ‰Îfl β·Ó„Ó Ò͇Îfl‡ ‡ Ò | a | = 1 ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡:1) || x ||F ≥ 0 Ò || x ||F = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ x = 0;2) || ax ||F = || x ||F;3) || x + y||F ≤ || x ||F + || y ||F (̇‚ÂÌÒÚ‚Ó ÚÂÛ„ÓθÌË͇).F-ÌÓχ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl -Ó‰ÌÓÓ‰ÌÓÈ, ÂÒÎË || ax ||F = | a |p || x ||F.78ó‡ÒÚ¸ I.
å‡ÚÂχÚË͇ ‡ÒÒÚÓflÌËÈåÂÚË͇ F-ÌÓÏ˚ d fl‚ÎflÂÚÒfl ËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÔÂÂÌÓÒ‡, Ú.Â. d(x, y) == d(x + z, y + z) ‰Îfl ‚ÒÂı x, y, z ∈ V. à ̇ӷÓÓÚ, ÂÒÎË d fl‚ÎflÂÚÒfl ËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌÓÈÏÂÚËÍÓÈ ÔÂÂÌÓÒ‡ ̇ V, ÚÓ || x ||F = d(x, 0) fl‚ÎflÂÚÒfl F-ÌÓÏÓÈ Ì‡ V.F * -ÏÂÚË͇F * -ÏÂÚË͇ – ÏÂÚË͇ F-ÌÓÏ˚ || x – y || F ̇ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓÏ (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ)‚ÂÍÚÓÌÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â V, ڇ͇fl ˜ÚÓ ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl ÛÏÌÓÊÂÌËfl ̇ Ò͇Îfl Ë ÒÎÓÊÂÌËfl‚ÂÍÚÓÓ‚ fl‚Îfl˛ÚÒfl ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ÏË ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ || ⋅ ||F. ùÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ || ⋅ ||F ÂÒÚ¸ÙÛÌ͈Ëfl || ⋅ ||F : V → ڇ͇fl ˜ÚÓ ‰Îfl ‚ÒÂı Ë ‚ÒÂı x, y, xn ∈ V Ò͇ÎflÌ˚ı ‚Â΢ËÌ ‡, ‡nËÏÂÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡:1) || x ||F ≥ 0 c || x ||F = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ x = 0;2) || ax ||F = || x ||F ‰Îfl ‚ÒÂı ‡ c | a | = 1;3) || x + y||F ≤ || x ||F + || y ||F;4) || anx ||F → 0 ÂÒÎË an → 0;5) || axn || F → 0, ÂÒÎË xn → 0;6) || anxn || F → 0 ÂÒÎË an → 0, xn → 0.åÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (V, || x – y || F ) Ò F* -ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl F* -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.
ùÍ‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, F * -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÂÒÚ¸ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (V, d)Ò Ú‡ÍÓÈ ËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÔÂÂÌÓÒ‡ d , ˜ÚÓ ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl ÛÏÌÓÊÂÌËfl ̇ Ò͇Îfl ËÒÎÓÊÂÌËfl ‚ÂÍÚÓÓ‚ fl‚Îfl˛ÚÒfl ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ÏË ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ˝ÚÓÈ ÏÂÚËÍË.åÓ‰ÛÎflÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ fl‚ÎflÂÚÒfl F* -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (V, || ⋅ ||F), ‚ ÍÓÚÓÓÏ FÌÓχ | ⋅ ||F ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ͇Íx|| x || F = inf λ > 0 : ρ < λ , λË ρ ÂÒÚ¸ ÏÓ‰ÛÎfl ÏÂÚËÁÓ‚‡ÌËfl ̇ V, Ú.Â. ڇ͇fl ÙÛÌ͈Ëfl ρ : V → [0, ∞], ˜ÚÓ ‰Îfl ‚ÒÂıx, y, xn ∈ V Ë ‚ÒÂı Ò͇ÎflÌ˚ı ‚Â΢ËÌ a, an ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡:1) ρ(x) = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ x = 0;2) ÂÒÎË ρ(ax) = ρ(x), ÚÓ | a | = 1;3) ÂÒÎË ρ(ax + by) ≤ ρ(x) + ρ(y), ÚÓ a + b = 1;4) ρ(an x) → 0, ÂÒÎË an → 0 Ë ρ(x) < ∞;5) ρ(axn) → 0, ÂÒÎË ρ(x n ) → 0 (Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó ÏÂÚËÁÓ‚‡ÌËfl);6) ‰Îfl β·Ó„Ó x ∈ V ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡ÍÓ k > 0, ˜ÚÓ ρ(kx) < ∞.èÓÎÌÓ F* -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl F-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ. ãÓ͇θÌÓ ‚˚ÔÛÍÎÓÂF-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ËÁ‚ÂÒÚÌÓ ‚ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓÏ ‡Ì‡ÎËÁÂ Í‡Í ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó î¯Â.åÂÚË͇ ÌÓÏ˚åÂÚË͇ ÌÓÏ˚ – ÏÂÚË͇ ̇ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓÏ (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ) ‚ÂÍÚÓÌÓÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â V, ÓÔ‰ÂÎflÂχfl ͇Í|| x – y ||,„‰Â || ⋅ || fl‚ÎflÂÚÒfl ÌÓÏÓÈ Ì‡ V, Ú.Â.
Ú‡ÍÓÈ ÙÛÌ͈ËÂÈ || ⋅ ||: V → , ˜ÚÓ ‰Îfl ‚ÒÂı x, y ∈ VË Î˛·Ó„Ó Ò͇Îfl‡ ‡ ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡:1) || x || ≥ 0 Ò || x || = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ x = 0;2) || ax || = | a | || x ||;3) || x + y || ≤ || x || + || y || (̇‚ÂÌÒÚ‚Ó ÚÂÛ„ÓθÌË͇).ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÌÓχ || ⋅ || fl‚ÎflÂÚÒfl 1-Ó‰ÌÓÓ‰ÌÓÈ F-ÌÓÏÓÈ. ÇÂÍÚÓÌÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (V, || ⋅ ||) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ËÎËÔÓÒÚÓ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.É·‚‡ 5. åÂÚËÍË Ì‡ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÒÚÛÍÚÛ‡ı79ç‡ Î˛·ÓÏ ‰‡ÌÌÓÏ ÍÓ̘ÌÓÏÂÌÓÏ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â ‚Ò ÌÓÏ˚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚. ÇÒflÍÓ ÍÓ̘ÌÓÏÂÌÓ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÌ˚Ï.ã˛·Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ËÁÓÏÂÚ˘ÂÒÍË ‚ÎÓÊÂÌÓ ‚ ÌÂÍÓÚÓÓ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ ‚ÂÍÚÓÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Í‡Í Á‡ÏÍÌÛÚÓ ÎËÌÂÈÌÓ ÌÂÁ‡‚ËÒËÏÓÂÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó.çÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ ۄÎÓ‚Ó ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ı Ë Û Á‡‰‡ÂÚÒfl ͇Íd ( x, y) =xy−.|| x || || y ||å‡ÎË„‡Ì‰‡ Á‡ÏÂÚËÎ ÒÎÂ‰Û˛˘Â ÛÒËÎÂÌˠ̇‚ÂÌÒÚ‚‡ ÚÂÛ„ÓθÌË͇ ‚ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı: ‰Îfl β·˚ı x, y ∈ V ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÛÒÎÓ‚ËÂ(2 – d(x, – y)) min{|| x ||, || y ||} ≤ || x || + || y || – || x + y|| ≤ (2 – d(x, –y)) {|| x ||, || x ||}.èÓÎÛÏÂÚË͇ ÔÓÎÛÌÓÏ˚èÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ ÔÓÎÛÌÓÏ˚ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÎÛÏÂÚË͇ ̇ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓÏ (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ) ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â V, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Í|| x – y ||,„‰Â || ⋅ || fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÛÌÓÏÓÈ (ËÎË Ô‰ÌÓÏÓÈ) ̇ V, Ú.Â.
Ú‡ÍÓÈ ÙÛÌ͈ËÂÈ|| ⋅ ||: V → , ˜ÚÓ ‰Îfl ‚ÒÂı x, y ∈ V Ë Î˛·Ó„Ó Ò͇Îfl‡ ‡ ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂÒ‚ÓÈÒÚ‚‡:1) || x || ≥ 0 Ò || 0 || = 0;2) || ax || = | a | || x ||;3) || x + y || ≤ || x || + || y || (̇‚ÂÌÒÚ‚Ó ÚÂÛ„ÓθÌË͇).ÇÂÍÚÓÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (V, || ⋅ ||) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÎÛÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ‚ÂÍÚÓÌ˚ÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ. åÌÓ„Ë ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ ‚ÂÍÚÓÌ˚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ̇ÔËÏ·‡Ì‡ıÓ‚˚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ÓÔ‰ÂÎfl˛ÚÒfl Í‡Í Ù‡ÍÚÓ-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ ÔÓÎÛÌÓÏ˚ ÌÛθ.䂇ÁËÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ fl‚ÎflÂÚÒfl ‚ÂÍÚÓÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó V, ̇ÍÓÚÓÓÏ Á‡‰‡Ì‡ Í‚‡ÁËÌÓχ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
