_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти 2 , если Ω = {1, 2, 3, 4, 5}.54. Пусть F — алгебра подмножеств Ω. Докажите, что A \ B ∈ F, если A, B ∈ F.55. Пусть F — алгебра подмножеств Ω. Верно ли, что A ∪ B ∪ C ∈ F,если A, B, C ∈ F ?56. Сформулировать определение сигма-алгебры событий.57. Что такое событие? Какие подмножества Ω являются событиями,а какие не являются?58. Пространство элементарных исходов Ω состоит из четырёх точек:Ω = { ♦ , ♣ , ♥ , ♠ }. Привести пример σ -алгебры F событий, состоящей более чем из двух событий.59. Является ли сигма-алгеброй множество всех подмножеств Ω ?60.
Привести пример алгебры, не являющейся σ -алгеброй.61. Пусть F — алгебра подмножеств Ω и A1 , A2 , . . . ∈ F. Докажите,n∞SSчтоAi ∈ F для любого n ∈ N. Следует ли отсюда, чтоAi ∈ F ?i=1i=162. Всякая ли алгебра является σ -алгеброй? Всякая ли σ -алгебра яв-140КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫляется алгеброй?63. Может ли σ -алгебра событий состоять из одного события? Из двух?Из трёх? Из четырёх?64.
Сформулировать определение меры.65. Какова область определения и область значений меры? Может лимера принимать бесконечные значения?66. Чему равна площадь всей плоскости R2 ? Длина прямой R ?67. Является ли функция µ такая, что µ(A) = 0 для всех A, меройна (Ω, F), где Ω = {a, b, c}, F = 2Ω ?68. Пусть Ω = {0, 1, 2}, F = 2Ω , µ(B) = 5, если 1 ∈ B, и µ(B) = 0иначе. Выписать µ(B) для всех B ∈ F.69. Сформулировать определение вероятностной меры.70. Какова область определения и область возможных значений вероятностной меры?71.
Пусть задано вероятностное пространство hΩ, F, Pi. Для какихмножеств A ⊆ Ω определена вероятность P(A), а для каких нет?72. Каких значений не может принимать вероятность?73. Чему равна вероятность достоверного события? Невозможного?74. Что такое счётная аддитивность вероятностной меры?75. Зачем в свойстве счётной аддитивности требуется попарная несовместность событий?76. Чему равна вероятность объединения счётного числа попарнонесовместных событий?77. Что такое вероятностное пространство?78. Пусть Ω = {a, b, c}.
Построить какое-нибудь вероятностное пространство на Ω.79. Пусть Ω = {a, b, c}, F = 2Ω . Задана вероятность P такая, чтоP{a, c} = 5/8 и P{b, c} = 7/8. Найти вероятности элементарных исходовP{a}, P{b}, P{c}.80. Пусть Ω = N. Задать какое-нибудь вероятностное пространство.81. Пусть Ω = R. Задать какое-нибудь вероятностное пространство.82. Доказать, исходя из определения вероятностной меры, чтоP(∅) = 0 и P(A) = 1 − P(A).83. Как связаны вероятности прямого и противоположного событий?84.
Что такое монотонность вероятности?85. Пусть событие A влечёт событие B. Что можно сказать про ихвероятности?86. Что больше: P(A ∩ B) или P(A) ?КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ14187. Что больше: вероятность объединения или вероятность пересечения двух событий?88. Чему равна вероятность объединения двух событий? Когда вероятность объединения равна сумме вероятностей?89. Может ли вероятность объединения двух совместных событий равняться сумме их вероятностей? Привести пример.90.
Пусть событие B влечёт событие A. Всегда ли верно, чтоP(A\B) = P(A) − P(B) ? Всегда ли верно, что P(B\A) = P(B) − P(A)?91. Записать формулу включения-исключения.92. Сформулировать свойство непрерывности меры.93. Зачем в свойстве непрерывности меры требуется конечность мерымножества B1 ?94. Что такое сигма-алгебра, порожденная набором множеств A?95. Определение борелевской σ -алгебры B(R).96. Является ли интервал (1, 5) борелевским множеством?97. Доказать по определению, что [0, 1), [1, 2], {4} являются борелевскими множествами.98. Является ли множество (0, 1) ∪ (2, 3) борелевским?99. На борелевской σ -алгебре в R задана функция: µ(A) = 1 для любого борелевского множества A.
Является ли µ вероятностной мерой?100. Сформулировать определение меры Лебега в R.101. Чему равна мера Лебега отрезка [0, 1]? Множества {0, 1}? Множества Z? Луча (0, +∞)?102. Сформулировать определение условной вероятности.103. Может ли условная вероятность равняться безусловной?104. Может ли условная вероятность равняться единице, нулю?105. Чему равна вероятность пересечения двух произвольных событий? Двух независимых событий?106. Привести теорему умножения для n событий. Когда она верна?107. Как вычислять P(ABC), если эта вероятность ненулевая?108. Что такое полная группа событий? Чему равна сумма вероятностей событий из полной группы?109.
Дважды бросается монета. Образуют ли события «герб при первом броске» и «герб при втором броске» полную группу?110. Записать формулу полной вероятности.111. Записать формулу Байеса. При каких условиях она верна?112. Сформулировать определение независимости двух событий.113. Из колоды карт выбирают наугад одну. Независимы ли события142КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ«выбрана пика» и «выбран туз»? Независимы ли события «выбрана пика» и «выбрана бубна»?114. Дважды бросают правильную монету. Независимы ли события«при первом броске выпал герб» и «при втором броске выпала решка»?Независимы ли события «при первом броске выпал герб» и «при первомброске выпала решка»?115. Могут ли несовместные события быть независимы?116.
Могут ли два независимых события образовать полную группу?117. Всегда ли событие зависит от самого себя?118. Зависит ли невозможное событие от самого себя? Достоверное?119. Привести пример события, не являющегося невозможным или достоверным, но не зависящего от самого себя.120. Независимы ли события, противоположные к независимым?121. События A и B независимы. Чему равна P(A ∩ B) ?122. Выразить вероятность объединения двух независимых событий через вероятности этих событий.123.
Дать определение независимости n событий в совокупности.124. Выписать все условия, при которых события A, B, C, D независимы в совокупности.125. Следует ли из равенства P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) независимость A, B, C в совокупности?126. Достаточно ли попарной независимости событий для независимости в совокупности?127. Проводится пять независимых испытаний с вероятностью успехаp в каждом из них. Какова вероятность, что сначала произойдут два успеха, потом три неудачи?128.
Есть симметричная монета. Чему равна вероятность получить при20-м броске герб, если перед этим 19 раз выпадали решки?129. Бросают три раза правильную монету. Какова вероятность, что впервый раз выпадет герб, а в остальные два — решки?130. Записать формулу Бернулли.131. Какова вероятность получить ровно один успех в n испытанияхсхемы Бернулли с вероятностью успеха p ?132. Какова вероятность получить три герба после пяти подбрасываний правильной монеты?133. Какова вероятность не получить ни одного успеха в пяти испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/4 ?134. Какова вероятность получить четыре успеха в 10 испытаниях схе-КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ143мы Бернулли?135. Какова вероятность получить не более четырёх успехов в 10 испытаниях схемы Бернулли?136.
Какова вероятность выбросить шесть очков не менее 75 раз при200 подбрасываниях правильной игральной кости?137. Какова вероятность впервые выбросить шесть очков при восьмомподбрасывании игральной кости?138. Какова вероятность первому успеху в схеме Бернулли случитьсяв пятом испытании, в 10-м испытании?Вопросы по главам V–IX1. Сформулировать определение случайной величины.2. Привести пример функции, не являющейся случайной величиной.3. Дать определение распределения случайной величины. Какие видыраспределений возможны? Чем они отличаются друг от друга?4. Сформулировать определения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.5.
Могут ли две разные случайные величины иметь одинаковые таблицы распределения?6. Совпадают ли количества очков при первом и при втором броске игральной кости? Одинаковы ли распределения этих случайных величин?7. Совпадают ли результаты первого и второго бросаний одной и тойже монеты? Одинаковы ли распределения соответствующих случайныхвеличин?8. Бросается один раз правильная монета. Построить две различныеслучайные величины с одним и тем же распределением B1/2 .9. Перечислить основные дискретные распределения. Записать таблицу распределения и функцию распределения каждого.
Построить графикивсех функций распределения.10. Перечислить основные абсолютно непрерывные распределения. Записать плотность распределения и функцию распределения каждого и построить их графики.11. Привести пять примеров распределений таких, что 0 6 ξ 6 3 п. н.12. Существует ли плотность у распределения Пуассона? Если «да»,какова она?13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
