_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Слабая сходимостьПусть задана последовательность случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . , задано некоторое распределение F с функцией распределения Fξ и пусть ξ —произвольная случайная величина, имеющая распределение F.О п р е д е л е н и е 46. Говорят, что последовательность случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . сходится слабо или по распределению к случайной величине ξ и пишут: ξn ⇒ ξ, если для любого x такого, что функция распределения Fξ непрерывна в точке x, имеет место сходимость Fξn (x) → Fξ (x)при n → ∞.Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения вовсех точках непрерывности предельной функции распределения.З а м е ч а н и е .
Заметим, что сходимость ξn ⇒ ξ есть сходимость распределений, а не случайных величин: если «предельную» величину ξ заменить на другую величину η с тем же распределением, ничего не изменится: в том же смысле ξn ⇒ η.Следующее свойство очевидно. Если нет — нужно вернуться к определению и свойствам функций распределения.С в о й с т в о 25. Если ξn ⇒ ξ, и функция распределения Fξ непрерывна в точках a и b, то P(ξn ∈ (a, b)) → P(ξ ∈ (a, b)). Если во всехточках a и b непрерывности функции распределения Fξ имеет местосходимость P(ξn ∈ (a, b)) → P(ξ ∈ (a, b)), то ξn ⇒ ξ.pС в о й с т в о 26. 1. Если ξn −→ ξ, то ξn ⇒ ξ.p2.
Если ξn ⇒ c = const, то ξn −→ c.Итак, сходимость по вероятности влечёт слабую сходимость. Обратноеутверждение в общем случае смысла не имеет (см. замечание выше). Однако из слабой сходимости к постоянной вытекает сходимость по вероятности.§ 2. Слабая сходимость123Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение мы докажем чуть позже.Докажем, что слабая сходимость к постояннной влечёт сходимость повероятности. Пусть ξn ⇒ c, т.
е.(0, x 6 c;Fξn (x) → Fc (x) =1, x > cпри любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функцииFc (x), т. е. при всех x 6= c.Возьмём произвольное ε > 0 и докажем, что P(|ξn − c| < ε) → 1 :P(−ε < ξn − c < ε) = P(c − ε < ξn < c + ε) > P(c − ε/2 6 ξn < c + ε) == Fξn (c + ε) − Fξn (c − ε/2) → Fc (c + ε) − Fc (c − ε/2) = 1 − 0 = 1,поскольку в точках c+ε и c−ε/2 функция Fc непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательностей Fξn (c+ε) к Fc (c+ε) = 1и Fξn (c − ε/2) к Fc (c − ε/2) = 0.Осталось заметить, что P(|ξn − c| < ε) не бывает больше 1, так что посвойству предела зажатой последовательности P(|ξn − c| < ε) → 1.Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.З а м е ч а н и е .
Свойство «предел суммы равен сумме пределов» дляслабой сходимости просто бессмысленно: сходимости ξn ⇒ ξ, ηn ⇒ ηозначают, что нам известны предельные распределения этих последовательностей. Но предельное распределение их суммы может быть различным в зависимости от совместного распределения ξn и ηn . Иное дело,когда одно из предельных распределений вырождено. Тогда предельнаяфункция распределения суммы или произведения определена однозначно.pС в о й с т в о 27. 1. Если ξn −→ c = const и ηn ⇒ η, то ξn · ηn ⇒ cη.p2.
Если ξn −→ c = const и ηn ⇒ η, то ξn + ηn ⇒ c + η.Д о к а з а т е л ь с т в о. Нелюбознательный читатель может пропуститьэто доказательство, вернувшись к нему при втором прочтении.Заметим вначале, что если ηn ⇒ η, то cηn ⇒ cη и c + ηn ⇒ c + η(доказать). Поэтому достаточно доказать первое утверждение свойства27 при c = 1, а второе утверждение — при c = 0.Рассмотрим второе утверждение, оставив первое любознательному чиpтателю.
Пусть ξn −→ 0 и ηn ⇒ η. Докажем, что тогда ξn + ηn ⇒ η.124ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАПусть x0 — точка непрерывности функции распределения Fη (x). Требуется доказать, что имеет место сходимость Fξn +ηn (x0 ) к Fη (x0 ). Зафиксируем ε > 0 такое, что Fη (x) непрерывна в точках x0 ± ε.Cобытия H1 = {|ξn | > ε} и H2 = {|ξn | < ε} образуют полную группу,поэтомуFξn +ηn (x0 ) = P(ξn + ηn < x0 , H1 ) + P(ξn + ηn < x0 , H2 ) = P1 + P2 .Оценим P1 + P2 сверху и снизу. Для P1 имеем0 6 P1 = P(ξn + ηn < x0 , H1 ) 6 P(H1 ) = P(|ξn | > ε),и последняя вероятность может быть выбором n сделана сколь угодномалой. Для P2 , с одной стороны,P2 = P(ξn + ηn < x0 , −ε < ξn < ε) 6 P(−ε + ηn < x0 ) = Fηn (x0 + ε).Выше мы воспользовались тем, что если −ε < ξn и ξn + ηn < x0 , то темболее −ε + ηn < x0 .
С другой стороны,P2 = P(ξn + ηn < x0 , −ε < ξn < ε) > P(ε + ηn < x0 , −ε < ξn < ε) >> P(ε + ηn < x0 ) − P(|ξn | > ε) = Fηn (x0 − ε) − P(|ξn | > ε).Здесь первое неравенство объясняется включением{ε + ηn < x0 , −ε < ξn < ε} ⊆ {ξn + ηn < x0 , −ε < ξn < ε},которое получилось заменой в событии {ε+ ηn < x0 } числа ε на меньшуювеличину ξn , ξn < ε. Второе неравенство следует из свойств:P(AB) 6 P(B), поэтому P(AB) = P(A) − P(AB) > P(A) − P(B).Мы получили оценки снизу и сверху для P1 + P2 , т.
е. для Fξn +ηn (x0 ) :Fηn (x0 − ε) − P(|ξn | > ε) 6 Fξn +ηn (x0 ) 6 P(|ξn | > ε) + Fηn (x0 + ε).Устремляя n к бесконечности и вспоминая, что x0 ± ε — точки непрерывности функции распределения Fη , получаемFη (x0 − ε) 6 lim Fξn +ηn (x0 ) 6 lim Fξn +ηn (x0 ) 6 Fη (x0 + ε).(25)У любой функции распределения не более чем счётное множество точекразрыва. Поэтому можно выбрать такую уменьшающуюся до нуля последовательность ε, что в точках x0 ± ε функция распределения Fη будетнепрерывной и, следовательно, останутся верны неравенства (25). Переходя к пределу по такой последовательности ε → 0 и помня, что x0 —точка непрерывности функции Fη , получаем, что нижний и верхний пределы Fξn +ηn (x0 ) при n → ∞ совпадают и равны Fη (x0 ).§ 2.
Слабая сходимость125Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я (1) и з с в о й с т в а 26. Вкачестве простого следствия из только что доказанного второго утверpждения свойства 27 покажем, что сходимость ξn −→ ξ по вероятностивлечёт слабую сходимость ξn ⇒ ξ.Представим ξn в виде суммы ξn = (ξn − ξ) + ξ. Здесь последовательность ξn − ξ по вероятности стремится к нулю, а «последовательность» ξслабо сходится к ξ. Поэтому их сумма слабо сходится к ξ.Получим ещё одно следствие из свойства 27. Для удобства ссылок назовём следующее утверждение «теоремой о двойном пределе».Т е о р е м а 40.
Пусть ξn ⇒ ξ, причём функция распределения случайной величины ξ непрерывна всюду, и пусть xn → x0 ∈ [−∞, ∞] —числовая последовательность. Тогда Fξn (xn ) → Fξ (x0 ).В формулировке теоремы мы для краткости использовали записьFξ (±∞), которую следует понимать так: Fξ (−∞) = 0, Fξ (+∞) = 1.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если x0 ∈ R, то утверждение теоремы следуетpиз свойства 27. Действительно, из xn → x0 следует, что xn −→ x0 . Тогдаξn − xn ⇒ ξ − x0 по свойству 27. Функция распределения Fξ−x0 (x) отличается от Fξ (x) лишь сдвигом и тоже непрерывна всюду, поэтому имеетместо сходимость функций распределения в любой точке. В частности,в точке x = 0 имеет место сходимость при n → ∞Fξn (xn ) = P(ξn − xn < 0) = Fξn −xn (0) → Fξ−x0 (0) = Fξ (x0 ).Пусть теперь x0 = −∞. Нужно доказать, что Fξn (xn ) → Fξ (−∞) = 0.По определению, xn → −∞ с ростом n, если для любого M > 0 существует N такое, что при n > N выполнено неравенство: xn 6 −M.В силу монотонности функций распределения, 0 6 Fξn (xn ) 6 Fξn (−M ).В точке −M, как и в любой иной точке, имеет место сходимость функций распределения Fξn (−M ) → Fξ (−M ). Выбором M величина Fξ (−M )может быть сделана сколь угодно близкой к нулю.
Тем самым верхний предел последовательности Fξn (xn ) оказывается зажат между нулём и скольугодно малой величиной, т. е. равняется нулю.Случай x0 = +∞ проверяется аналогично.Основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределённых случайныхвеличин предоставляет нам центральная предельная теорема.126ГЛАВА XI.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА§ 3. Центральная предельная теоремаМы будем называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова19 », носформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае —для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин. Как и ранее, через Sn обозначена сумма первых n случайных величин в последовательности: Sn = ξ1 + . . . + ξn .Т е о р е м а 41 (Ц П Т Л я п у н о в а ). Пусть ξ1 , ξ2 , . .
. — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: 0 < D ξ1 < ∞. Тогда имеет место слабая сходимостьS n − n E ξ1p⇒ N0,1n D ξ1последовательности центрированных и нормированных сумм случайныхвеличин к стандартному нормальному распределению.Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости и заметив,что функция распределения Φa,σ2 (x) любого нормального закона непрерывна всюду на R (почему?), утверждение ЦПТ можно сформулироватьлюбым из следующих способов.С л е д с т в и е 18. Пусть ξ1 , ξ2 , . . .
— независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Тогдавыполнены утверждения:а) для любых вещественных x < y при n → ∞ имеет место сходимостьZy2S − n E ξ11√P x 6 np6 y → Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) =e−t /2 dt;2πn D ξ1xб) если η — произвольная случайная величина со стандартным нормальным распределением, тоp√ SnS − n E ξ1= N0,D ξ .n− E ξ1 = n √⇒ D ξ1 · η ⊂1nnМы докажем центральную предельную теорему и закон больших чиселв форме Хинчина в следующей главе. Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическим инструментом, который в математике19Александр Михайлович Ляпунов (6.06.1857—3.11.1918).127§ 4. Предельная теорема Муавра — Лапласаобычно называют преобразованиями Фурье, а в теории вероятностей —характеристическими функциями.§ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
