_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доказать, что для случайной величины ξ со стандартным нормальным распределением момент чётного порядка 2k равенE ξ2k = (2k − 1)!! = (2k − 1) · (2k − 3) · . . . · 3 · 1.Доказать по определению, что все моменты нечётных порядков стандартного нормального распределения существуют и равны нулю.Как только появились производные высших порядков, самое время разложить функцию в ряд Тейлора22 .(Ф6). Пусть существует момент порядка k ∈ N случайной величины ξ,т.
е. E |ξ|k < ∞. Тогда характеристическая функция ϕξ (t) в окрестноститочки t = 0 разлагается в ряд Тейлораϕξ (t) = ϕξ (0) +kXtjj=1= 1 + it E ξ −(j)kϕ (0) + o(|t |) = 1 +j! ξt22E ξ2 + . . . +ik tkk!kXij tjj=1j!E ξj + o(|tk |) =E ξk + o(|tk |).Ряды Тейлора бывают особенно полезны в теории пределов. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам длядоказательства предельных теорем, и это свойство — последняя теорема,оставленная нами без доказательства.Т е о р е м а 44 (т е о р е м а о н е п р е р ы в н о м с о о т в е т с т в и и23 ).Случайные величины ξn слабо сходятся к случайной величине ξ тогда22Brook Taylor (18.08.1685—29.12.1731, England).134ГЛАВА XII.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИи только тогда, когда для любого t характеристические функции ϕξn (t)сходятся к характеристической функции ϕξ (t).Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствиемежду классами hFξ , ⇒i функций распределения со слабой сходимостьюи hϕξ , →i характеристических функций со сходимостью в каждой точке.«Непрерывность» этого соответствия — в том, что пределу в одном классеотносительно заданной в этом классе сходимости соответствует пределв другом классе относительно сходимости, заданной в этом другом классе.Осталось воспользоваться теоремой о непрерывном соответствии и доказать ЗБЧ в форме Хинчина и ЦПТ.§ 3. Доказательство ЗБЧ ХинчинаПусть ξ1 , ξ2 , .
. . — последовательность независимых в совокупностии одинаково распределённых случайных величин с конечным первым моментом E |ξ1 | < ∞. Обозначим через a математическое ожидание E ξ1 .Требуется доказать, чтоξ + . . . + ξn pSn= 1−→ a.nnПо свойству 26 (с. 122) сходимость по вероятности к постоянной эквивалентна слабой сходимости. Так как a — постоянная, достаточно докаSзать слабую сходимость n к a. По теореме о непрерывном соответствии,nэта сходимость имеет место тогда и только тогда, когда для любого t ∈ Rсходятся характеристические функцииϕS /n (t) → ϕa (t) = E eita = eita .nSНайдём характеристическую функцию случайной величины n .
Пользуnясь свойствами (Ф3) и (Ф4), получаем nttϕS /n (t) = ϕS=ϕξ.nn1nnВспомним, что первый момент ξ1 существует, поэтому свойство (Ф6) позволяет разложить ϕξ1 (t) в ряд Тейлора в окрестности нуля:ϕξ (t) = 1 + it E ξ1 + o(|t|) = 1 + ita + o(|t|).1В точке t/n соответственно ϕξ123tn itat= 1++o ,nnPaul Pierre Lévy (15.09.1886—15.12.1971, France).135§ 4. Доказательство центральной предельной теоремыϕS /n (t) =nϕξ1 ntn= nitat1++o nn.x n1+→ ex ,nПри n → ∞, пользуясь «замечательным пределом»получаем nitat→ eita ,+oϕS /n (t) = 1 + nnnчто и требовалось доказать.§ 4.
Доказательство центральной предельной теоремыПусть ξ1 , ξ2 , . . . — последовательность независимых в совокупностии одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевойдисперсией. Обозначим через a математическое ожидание E ξ1 и черезσ2 — дисперсию D ξ1 . Требуется доказать, чтоξ + . . . + ξn − naSn − na√√= 1⇒ N0,1 .σ nσ nВведём «стандартизованные» случайные величины ζi = (ξi − a)/ σ —независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями.
Пусть Zn есть их сумма:Zn = ζ1 + . . . + ζn =Sn − naσ.ZТребуется доказать, что последовательность √n слабо сходится к станnдартному нормальному распределению. Характеристическая функция веZличины √n равнаn ntt√= ϕζ1 √.(26)ϕ√ (t) = ϕZnZn / nnnХарактеристическую функцию случайной величины ζ1 можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известныемоменты E ζ1 = 0, E ζ21 = D ζ1 = 1 :t2t222E ζ1 + o(t ) = 1 −+ o(t2 ).ϕζ (t) = 1 + it E ζ1 −122√Подставим это разложение, взятое в точке t/ n, в равенство (26) и устремим n к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом: n 2 n2ttt−t2 /2√ϕ=1−+o→eпри n → ∞.√ (t) = ϕζ1Zn / nn2nnВ пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения.
По теореме о непрерывном соответствии можно сде-136ГЛАВА XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИлать вывод о слабой сходимостиSn − naZ√n =√⇒ N0,1 .nσ nПопробуйте теперь сами.У п р а ж н е н и е . Пусть при любом λ > 0 случайная величина ξλ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Используя теорему о√непрерывном соответствии, доказать, что случайные величины (ξλ − λ) / λ слабо сходятся к стандартному нормальному распределению при λ → ∞.Характеристическая функция случайной величины ξλ вычисленав примере 74.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫВопросы по главам I–IV1. Что такое пространство элементарных исходов?2. Игральную кость подбрасывают дважды. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.3.
Монету подбрасывают трижды. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.4. Из четырёх разных книг на полке берут две. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.5. В урне лежат два шарика: белый и чёрный. Наудачу вытаскиваютодин, возвращают обратно и снова вытаскивают один. Описать пространство элементарных исходов.6. В урне два белых и три чёрных шара. Вытаскивают наудачу одиншар. Выписать все равновозможные элементарные исходы опыта.7.
В урне два белых шара и один чёрный. Наугад берут два шара. Выписать все равновозможные элементарные исходы опыта.8. Что такое событие? Достоверное событие? Невозможное событие?9. Что такое объединение двух событий? Пересечение?10. Записать событие, состоящее в том, что из событий A, B, C : а) произошло хотя бы одно; б) не произошло хотя бы одно; в) не произошлони одно; г) случились все три события A, B, C одновременно; д) событиеA произошло, а события B и C не произошли.11. В коробке девять деталей. Событие A = {в коробке все деталидефектные}.
Описать событие A.12. Когда дополнение события B до события A является невозможным событием? Совпадает с A ?13. Что дают в объединении событие и противоположное к нему? В пересечении? Чему равно дополнение к объединению событий? К пересечению событий?14. В каком случае два события несовместны?15.
Будут ли несовместными события «на первой кости выпало чётное138КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫчисло очков» и «на второй кости выпало нечётное число очков» при бросании двух игральных костей?16. Что такое попарная несовместность событий?17. Чему равно пересечение трёх попарно несовместных событий?18. Что больше: объединение или пересечение событий?19. Объединение двух событий влечёт их пересечение или наоборот?20. A = {1, 2}, B = {1}.
Какое из отношений верно: A ⊆ B илиB ⊆ A?21. Нарисовать графически, что событие A влечёт событие B.22. Бросают три игральных кости. Как соотносятся события: «на 1-йи 2-й костях выпали единицы» и «на всех костях выпали единицы»?23. Как соотносятся события A = A1 ∩ A2 ∩ A3 и B = A1 ∩ A2 ?24. Сформулировать определение вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов.25. Задать какую-нибудь вероятность на Ω = N как на дискретномпространстве элементарных исходов.26.
Задать какую-нибудь вероятность на Ω = Z как на дискретномпространстве элементарных исходов.27. Можно ли задать вероятность на Ω = N так, чтобы все pi былиодинаковы?28. Сформулировать классическое определение вероятности.29. В урне 22 белых и три чёрных шара. Вытаскивают наудачу одиншар. С какой вероятностью он белый?30.
В урне пять шаров. Из урны 100 000 раз вытаскивали наудачу одиншар, возвращая его обратно. Белый шар был вынут 40 035 раз. Как выдумаете, сколько белых шаров в урне?31. Какова вероятность ровно один раз выбросить герб при двух подбрасываниях правильной монеты?32. Какова вероятность хотя бы один раз выбросить герб при двух подбрасываниях правильной монеты?33. Бросают два раза игральную кость. Какова вероятность, что обараза выпадет шесть очков?34. Каково число элементарных исходов при выборе без возвращения,с учётом порядка?35. Есть пять различных шариков.
Сколькими способами их можноразместить в ряд?36. Что вычисляет число Cnk при выборе шаров из урны?37. Что вычисляет число Akn при выборе шаров из урны?139КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ38. В урне пять шаров. Выбирают два шара без возвращения и без учёта порядка. Найти |Ω|.39. Что такое гипергеометрическое распределение вероятностей?40. Как вычисляется P(A) согласно геометрическому определению вероятности?41. Две точки наудачу и независимо друг от друга бросаются на отрезок.
Какова вероятность их координатам совпасть?42. Привести пример A 6= ∅ такого, что P(A) = 0.43. Привести пример A 6= Ω такого, что P(A) = 1.44. Равносильны ли свойства: P(A ∩ B) = 0 и A ∩ B = ∅ ? Если «нет»,что из чего вытекает?45. Равносильны ли свойства: P(A ∪ B) = 1 и A ∪ B = Ω ? Если «нет»,что из чего вытекает?46. Определение алгебры подмножеств Ω.47. Задано пространство Ω = {1, 2, 3, 4}. Является ли алгеброй множество F = {∅, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {2}} ?48.
Задать какую-нибудь алгебру на множестве Ω = {0, 1, . . . , 10}.49. Записать 2Ω , если Ω = {герб, решка}. Является ли 2Ω алгеброй?50. Записать 2Ω , если Ω = { ♦ , ♣ }. Является ли 2Ω алгеброй?51. Записать 2Ω , если Ω = {a, b, c}. Является ли 2Ω алгеброй?ΩΩ52. Записать Ω2 , если Ω = {1, 2, 3}. Является ли 2 алгеброй?53.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
