_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Предельная теорема Муавра — ЛапласаПолучим в качестве следствия из ЦПТ Ляпунова предельную теоремуМуавра20 и Лапласа21 . Подобно ЗБЧ Бернулли, это утверждение годитсятолько для схемы Бернулли.Т е о р е м а 42 (п р е д е л ь н а я т е о р е м а М у а в р а — Л а п л а с а).Пусть событие A может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p и пусть νn (A) — числоосуществлений события A в n испытаниях. Тогдаν (A) − nppn⇒ N0,1 при n → ∞,np (1 − p)т.
е. для любых вещественных x < y имеет место сходимостьZy2ν (A) − np1√6 y → Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) =e−t /2 dt;P x 6 pn2πnp (1 − p)xД о к а з а т е л ь с т в о. Величина νn (A) есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха p : νn (A) = ξ1 + . . . + ξn ,где E ξ1 = p, D ξ1 = p(1 − p). Осталось воспользоваться ЦПТ.П р и м е р 71. Задача из примера 70 (с. 119). Требуется найти1 νnP − > 0,01 ,n2где n = 10 000, νn — число выпадений герба.
Вычислим вероятность дополнительного√события. Домножим обеpчасти неравенства под знаком вероятности на n = 100 и поделим на p (1 − p) = 1/2. √√nn νn 1 νnP − < 0,01 = P p= − p < 0,01 pn2p (1 − p) np (1 − p) √νn − npn νn=P p<2 ≈ − p < 2 = P −2 < pp (1 − p)nnp (1 − p)≈ Φ0,1 (2) − Φ0,1 (−2) = 1 − 2Φ0,1 (−2) = 1 − 2 · 0,0228 = 1 − 0,0456.2021Abraham de Moivre (26.05.1667—27.11.1754, France, England).Pierre-Simon Laplace (23.03.1749—5.03.1827, France).128ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАИскомая вероятность примерно равна 0,0456 :11 νn νnP − > 0,01 = 1 − P − < 0,01 ≈ 0,0456.n2n2Центральной предельной теоремой пользуются для приближённого вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределённых величин.
При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?У п р а ж н е н и е . Какие ещё предельные теоремы для схемы Бернулливы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти её. Какова погрешностьпуассоновского приближения? Вычислить её. Объяснить, почему теоремаПуассона не применима в задаче из примера 71.В примере 71 мы вычислили вероятность приближённо. Следующийрезультат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.Т е о р е м а 43 (н е р а в е н с т в о Б е р р и — Э с с е́ е н а). В условияхЦПТ для любого x ∈ R и для любого распределения ξ1 с конечным третьим моментом E |ξ1 − E ξ1 |3S−nEξn1P√<x−Φ(x)6C·0,1√ √3 .nDξn1D ξ1З а м е ч а н и е .
В качестве постоянной C можно брать число 0,4.П р о д о л ж е н и е п р и м е р а 71. Проверьте, что для случайной величины ξ1 с распределением БернуллиE |ξ1 − E ξ1 |3 = |0 − p |3 P(ξ1 = 0) + |1 − p |3 P(ξ1 = 1) = p q(p2 + q 2 ).Поэтому разница между левой и правой частями приближённого равен1ства « ≈ » в примере 71 при n = 104 и p = q = не превышает величины2C·p q(p2 + q 2 )√√ 3p2 + q 21= C · √ √ 6 0,4 ·= 0,004,100n pqnpq( pq)1 νnт. е.
искомая вероятность P − > 0,01 не больше, чем 0,0456 +n21+0,004. Уместно сравнить этот ответ с оценкой , полученной с помощью4ЗБЧ в примере 70.Г Л А В А XIIХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИЯ напрямик спросил, какую пользу можно извлечь от изучения его работ о покере. «Примерно такую же, как от чтенияперсидской поэзии», — ответил фон Нейман.Д. Мак-Дональд. Игра называется бизнес§ 1. Определение и примеры√В этой главе i = −1 — мнимая единица, t — вещественная переменная, eit = cos t + i sin t — формула Эйлера, E (η + iζ) = E η + i E ζ — способвычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины η + iζ, если математические ожидания её действительной ( η ) имнимой ( ζ ) частей существуют.Как всегда, модулемpкомплексного числа itz = x + iy называется поло22жительное число |z| = x + y , так что e = 1.О п р е д е л е н и е 47. Функция ϕξ (t) = E eitξ вещественной переменной t называется характеристической функцией случайной величины ξ.П р и м е р 72.
Пусть случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром p. Её характеристическая функция равнаϕξ (t) = E eitξ = eit·0 P(ξ = 0) + eit·1 P(ξ = 1) = 1 − p + peit .П р и м е р 73. Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Её характеристическая функция равнаitξϕξ (t) = E e=nXit·kek=0=nXCnk peitP(ξ = k) =nXeit·k Cnk pk (1 − p)n−k =k=0kn(1 − p)n−k = 1 − p + peit .k=0Последнее равенство есть бином Ньютона.130ГЛАВА XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИП р и м е р 74. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ.
Её характеристическая функция равнаitξϕξ (t) = E e=∞Xit·keP(ξ = k) =k=0= e−λ∞Xk=0∞Xeit·kλkk!k=0e−λ =kitλeit= e−λ eλe = exp{λ eit − 1 }.k!П р и м е р 75. Пусть случайная величина ξ имеет гамма-распределение с параметрами α и λ. Её характеристическая функция равна∞∞ZZαλϕξ (t) = E eitξ = eit·x fξ (x) dx = eitxxλ−1 e−αx dx =Γ(λ)=αλ0∞ZxΓ(λ)0λ−1 −x(α−it)edx =αα − itλ= 1−it −λα.0Интеграл мы вычислили с помощью гамма-функции: замена y = x(α − it)даёт∞∞ZZΓ(λ)1λ−1 −y.yedy=xλ−1 e−x(α−it) dx =λλ(α − it)(α − it)00В качестве следствия получим, что для случайной величины ξ с показательным распределением Eα = Γα, 1 характеристическая функция равнаαϕξ (t) =.α − itП р и м е р 76.
Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Её характеристическая функция равна∞∞ZZ22211itx −x /2e edx = √e−t /2 e−(x−it) /2 dx =ϕξ (t) = √2π2π−∞= e−t2 /21√2π∞Z−∞2e−(x−it)/2d(x − it) = e−t2 /2.−∞При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспо21ненты и вспомнили, чему равен интеграл по R от функции √ e−u /22π(а чему он равен?).§ 2. Свойства характеристических функций131Самое время остановиться и спросить: «Ну и что? Зачем нам эти функции и какой от них прок?» Давайте познакомимся с замечательными свойствами характеристических функций.§ 2. Свойства характеристических функций(Ф1).
Характеристическая функция всегда существует:|ϕξ (t)| = E eitξ 6 1.Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся свойством D η > 0, равносиль2ным неравенству E η 6 E η2 :222|ϕξ (t)|2 = E cos(tξ) + iE sin(tξ) = E cos(tξ) + E sin(tξ) 66 E cos2 (tξ) + E sin2 (tξ) = E cos2 (tξ) + sin2 (tξ) = E 1 = 1.(Ф2). По характеристической функции однозначно восстанавливаетсяраспределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Другими словами, если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величинсовпадают.Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье».
Например, если модуль характеристическойфункции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения и она находится по формуле∞Z1fξ (x) =e−itx ϕξ (t) dt.2π−∞Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.(Ф3). Характеристическая функция случайной величины a + bξ связана с характеристической функцией случайной величины ξ равенствомϕa+bξ (t) = E eit(a+bξ) = eita E ei(tb)ξ = eita ϕξ (tb).П р и м е р 77. Вычислим характеристическую функцию случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами a и σ2 .Мы знаем, что у «стандартизованной» случайной величины η = (ξ − a)/ σ2характеристическая функция равна ϕη (t) = e−t /2 .
Тогда характеристическая функция величины ξ = a + ση равна2ϕξ (t) = ϕa+ση (t) = eita ϕη (tσ) = eita e−(tσ) /2 .132ГЛАВА XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ(Ф4). Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: еслислучайные величины ξ и η независимы, то, по свойству (E7) математических ожиданий,ϕξ+η (t) = E eit(ξ+η) = E eitξ E eitη = ϕξ (t) ϕη (t).З а м е ч а н и е . Чтобы характеристическая функция суммы n случайных величин распадалась в произведение их характеристических функций, попарной независимости слагаемых не хватит. То же самое можносказать про свойство (E7) математических ожиданий.Замечательным свойством (Ф4) мы сразу же воспользуемся, как обещали, для доказательства леммы 3 (с. 86), утверждающей устойчивостьнормального распределения относительно суммирования.= N=Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 3.
Пусть ξ ⊂a1 , σ21 и η ⊂ Na2 , σ22независимы. Характеристическая функция суммы ξ + η равнаita1 −t2 σ21 / 2 ita2 −t2 σ22 / 2ϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = eeeeit(a1 +a2 ) −t2 (σ21 +σ22 )/2=ee.Видим, что характеристическая функция суммы есть характеристическаяфункция нормального распределения с параметрами a1 + a2 и σ21 + σ22 .= NСледовательно, ξ + η ⊂a1 +a2 , σ2 +σ2 по свойству (Ф2).12Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м 1, 2, 4 (с. 86). Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения, распределенияПуассона и гамма-распределения, используя характеристические функциииз примеров 72— 75.Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона Πλи Πµ характеристическая функция суммыϕξ+η (t) = exp λ eit − 1exp µ eit − 1 = exp (λ + µ) eit − 1равна характеристической функции распределения Пуассона Πλ+µ .Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями Bn,p и Bm,p характеристическая функция суммыnmn+mϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = 1 − p + peit1 − p + peit = 1 − p + peitравна характеристической функции биномиального распределения с параметрами n + m и p.133§ 2.
Свойства характеристических функцийДля независимых случайных величин с гамма-распределениями Γα, λ1и Γα, λ2 характеристическая функция суммы it −λ2it −(λ1 +λ2 )it −λ11−= 1−ϕξ+η (t) = 1 −αααравна характеристической функции гамма-распределения Γα, λ1 +λ2 .(Ф5.) Пусть существует момент порядка k ∈ N случайной величиныξ, т. е. E |ξ|k < ∞. Тогда характеристическая функция ϕξ (t) непрерывнодифференцируема k раз и её k -я производная в нуле связана с моментомпорядка k равенством dk(k)ϕξ (0) =E eitξ = E ik ξk eitξ = ik E ξk .d tkt=0t=0Существование и непрерывность k -й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания, мы доказывать не будем.У п р а ж н е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
