Иванов В.А., Меликов Ю.В. Задачи по курсу «Квантовая физика» (1185125), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказать, что если оператор А эрмитов, то его собственные значения вещественны. 2.7. Доказать эрмитовость слелующих операторов: а)р б) хр Указание: иметь в виду, что на бесконечности волновые функции и их произмщные обращаются в нуль.
2.8. Воспользовавшись эрмитовостью оператора р н указанием к предыдущей задаче, доказать эрмитовость операторов: а) р з б]'Н 2яп Доказать, что если операторы А иВ эрмитовы и коммутирующие, то оператор АВ эрмитов. 2.10. Доказать, что оператор Е эрмитов. Доказательство провести: а) в полярных координатах; б) в декартовых координатах. 2.11. Доказать эрмзповость оператора Х, имея в виду, что операторы Хм Ег и Ья "г эрмитовы. 2Л2. Проверить следукидие правила коммутации: а) [Х„ч Кг] = г Х,; б) [Хг, Хг]=г Х,; в) [ХьХч]= г Ег 2.13.
С помощью правил коммутации приведенных в предыдущей задаче показать, что оператор Е коммутирует с операторами Х о Х г и Е,. 2.14. Модель пространственного ротатора — это частица с массой н, движущаяся все время на одном н том же расстоянии гр от центра.
Найти собственные значения энергии такого ротатора, считая известными собственные значения оператора Е . Ответ: В = 1 11!ч-!В/121ггр! 2.15. Показать, что в состоянии цг, где оператор С, имеет определенное собственное значение, средние значения < 1 > и < 1 з > равны нулю. Указание: воспользоваться колинутационныии соотношениями ю заг)ани 1 ! '. 2.16. Возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось равны т, где пг=1,1-1,...,-1.
Имея в виду, что эти проекции равновероятны и оси равноправны, показать: в состоянии с определенным значением 1 среднее значение квадрата момента импульса <1. >= 1(1ь!). 2.17. Непосредственным вычислением убедиться в ортогональности собственных функций: а) оператора Й для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками; б) оператора Хг. 2.18. Частица находится в состоянии, описываемом собственной функцией гр оператора А, который не зависит от времени явно. Показать, что соответствуюшее собственное значение А этого оператора будет сохраняться во времени, если оператор А коммутирует с гамильтонианом Н.
2.19. Какие из механических веяичин (энергия Б, проекции импульса, проекции и квацрат момента импульса) сохраняются прн движении частицы: а) в отсутствие поля (свободное движение); б) в однородном потенциальном поле Ы(х)=ах, где а — постоянная; в) в центрально-симметричном потенциальном поле П(г); г) в однородном переменном поле П(хй)=а(г)х? Указание: проверить коммутацию указанных веяинин с гаиильтонгганом. 2.20.
Частица находится в некотором состоянии Ч'(х,г), причем гр(х,г) не явяяется собственной функцией оператора А. Зная, что оператор А не зависит от времени явно и коммутирует с гамильтонианом Й, показать: а) среднее значение величины А сохраняется; б) вероятности определенных значений величины А также не зависят от времени. Указание: б) разложить функцию уб?ст) по собственныи функцияи стационарных соспгояний 2.21. Доказать, что оператор инверсии Р коммугирует с операторами момента импульса Х„Ез, Ег и Ь .
2.22. Показать, что четность состояния частицы в цеггтрально-симлктричноы поле определяется четностью орбитального квантового числа 1, а именно Р = (-1) . Указание: иметь в виду, что при замене 9 на ч-9 в функции У(блэ)=-0(9)Ф(гв) фу гня О(9)-ьО(-9)=(-1)" О(9) 2.23. Показать, что гамильтониан Й для центральна-симметричного поля при инверсии координат не меняется, т.е. оператор инверсии Р и гамильтониан Й каммутируют между собой. 2.24. Показать, что закон сохранения четности является следствием инвариантности. гамильтониана Й по отношению к преобразованию инверсии, 2.25.
Эрмитов оператор ( удовлетворяет соотношению (-'= с (, где с-некоторое вещественное число. Каковы собственные значения такого опера гора? 2.26. Эрмитовы операторы А,В, ь уловлетворыот следующим коммутационным соотношениям:[А,2, )=О, [В, А )=О, [А,В)и0.
Показать, что среди собственных значений оператора 2, обязательно есть вырожденные. 2.27. Показать, что операторы компонент радиус-вектора Р и импульса р частицы антикаммутнруют с оператором отражения Р, а операторы компонент момента 2, каммутируют с Р. П! РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 3.1.
Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти: а) массу частицы, если ширина ямы а и разность энергий 3-го и 2-го энергетических )ровней равна АЕ; б) квантовое число и энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней [верхнего и нижнего) относятся как Ч:1, где т)=14. Ответ: т = 5 гг (2а е)Ет л = 3. 3.2. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а с бесконечно высокими стенками.
Найти вероятность пребывания частицы в области в'3 < х < 2 а ( 3. Ответ: зе = 06). 3.3. Частица массы гп нахолится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Координаты х,у частицы лежат в пределах 0 < х < а, 0 < у < Ь, где а и Ь - стороны ямы. Найти собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы. Ответ Еы„з= л ((2т) (л) (а 'в2 /Ь~) ее вы(ху)=з((Е(об) лп (и 1 лх 'а) в1л (л2лу(Ь) 3.5. Часпща массы ш находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.
Длина ребер ямы равна айне. Найти собственные значения энергии частицы. Ответ: Е„г г г = л "у2т (п! lа +п2г)Ь епЗг)сг! 3.6. Частица массы ш находится в одномерном потенциальном поле 'оэ при х=О (г(х) = 0 при 0 < а У, при х>а Энергия единственного уровня Е = По ! 2 ОпРеделить: а) значение величины а 1.го У такой Ямы; г б) наиболее вероятное значение координаты частицы; изобразить примерный график функции ж (х); в) вероятность нахождения частицы в области х>а. Ответ: а Оо = 9 л гг(!6 т), х„,= 2 а)5. гг(х>а) = )5 Уго Зтй Частица массы ш находится в одномерном симметричном потенциальном поле й й 0 при 0<х<а ()(х) = У, при х<0, х>а Найти уравнение, определяюшее возможные значения энергии Е частицы в области Е<1)о Привести его к виду 1га=пк-2агс зю(й)Ч(2ш()о)), где )г = ч(2тЕ) г, и - целое число.
Показать с ломошью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии Е частицы днскретны. 3.8. Вычислить нормировочные коэффипненты Ао, Аь Аг собственных функций квантового гармонического оспиллятора: Чго(х)=до ехр(-пгхг)2); Ч~1(х)=А~я ехр (-агхг)2); Чгг(х)=дг(2а х'-1) ехр (-пгх')2); где а =чбпп)) Ответ.
Ао=(аА(л))и~ ! А =а~2аут())"; А, =( 2г)( )) 330 Найти наиболее вероятное значение координаты х квантового гармонического осциллятора в состоянии гу~(х). Изобразить примерный график распределения плотности вероятности тч(х) различных значений х в этом состоянии. Отоетг х р =й)йх 3.10. То же, что в предыдущей задаче, но для состояния Чгг (х). Ответ (т„„), = О, (х а)г = хг)(5Я(а 3.4.
Частила массы стенками. Сторона четырех уровней. Ответ: Ег = 2 Ео, ш находится в двумерной квадратной яме с бесконечно высокими ямы равна а. Найти значения энергии Е частицы для первых Ег=5Ео,' Ег =8Ео,' Ег = !ОЕо, гдеЕо = ля )(2та) г 3.11. Частица массы щ движется я трехмерном потенциальном поле О(х,у,х).=(!с!2)(х +у', г'), тле 1с-постоянная. Найти: а) собстаенные значения энергии частицы; б) кратность вырождения и-го энергетического уровня. Указание. Воспользоваться формулами лля одномерного квантового осциллятора. Ответ. Еы,= ул (х) уг (у) уге (х) Е„= ю(лм3(2) Кратность вырождення )У=! 2М-.!)(лт2) . где л=(=т4Е 3.12.
Стационарный цоток частиц, имеющих массу щ и энергию Е, падает на абсолютно непроницаемую стенку 1)(х)=0 при х>0 и 1)(х) ь го при х<0.Определить распределение плотносгн вероятности местонахождения частиц тн(х). Найти координаты точек, я которых тн(х)=макс. Изобразить примерный ~рафик зависимости ог(х). Ответ: жбх) = 4Аг мл 1х, где )с=эг(2 т Е)У 3.13. Частица массы щ падает слева на прямоугольиьщ потенциальный барьер высотой Ос Энергия частицы равна Е, причем Е<()е . Найти эффективную глубину хзе проникновения частицы под барьер, т.е.
расстояние от границы барьера до точки, а которой плотность вероятности зн нахождения частицы уменьшается я е раз. Вычислить х,е для электрона, если (!е -Е=1.0 эВ. Ответ хче=г'(2 И(2т ((геЕ))); дхя электрона х не = 0 ! нм ЗЛ4. Воспользоааепись условием предыдущей задачи: а) показать, что при Е < ()е коэффициент отражения К равен единице; б) найти распределение плотности вероятности т(х) местонахождения частицы для случая Е =()р г2. Изобразить примерный график функции зн(х). Ответ я = 1!хгн) ((1т!к) ~ = (, где Е = у!2 т Е) ), км з((2т(игнЕ))l 3.15.
Частица массы щ падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой ()е й 0 лрн х<0 и(х) = и,прн х>О Энерггж частицы равна Е, причем Е >Ос. Найти коэффициент отрюкения р, и коэффициент прозрачности Р этого барьера. Убедиться, что значения этих коэффициентов не зависят от направления падающей частицы (слеяа направо или справа налево). Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
