Иванов В.А., Меликов Ю.В. Задачи по курсу «Квантовая физика» (1185125), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Е = (хг-йг)~((2г+Ег)~ ! О=44!/гг(йг яг)г, где 1!=!!гтЕ)) !1!=э(2т(Е- ив)) ! 3.16. Исходя из условия предыдущей залачи, найти распределение плотности вероятности зн(х) месторасположения частицы для случая Е = 4()о3. Изобразить примерный график залисимостищ(х). Ответ нггх) = !бг9 Аг~(! — 3(4 х!л~Егх! прн т<0 п(х) = (б(9А! лрн х>0, где А~ - ампгнтудо падающей волны, 1~ = т(8 '3 т ио) ( 3.12. Частица массы ш падает на прямоугольный потенциальный барьер 0 п х<0 ()(х)= (/, гори 0<к<а 0 при х>а причем ее энергия Е < ()о. Найти: а) коэффициент прозрачности Р барьера; б) упростить полученное выражение для Р в случае Р«1; в) вероятность прохождения электрона и протона с Е=5.0 эВ сквозь этот барьер, если Уо=(0.0 эВ и а=0.10 нм. Ответ: О=(!еУо л/г ка '(4Е(Оо-Е))) ~, где к= о(2т (/!о -Е))/ В случае О»2 нри ка»д Ож161 к,г(/«эвк ) е"'", где 1= о«2т Е) / Ож027 для электрона, О-!0»адля протона.
3.18. Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками («с при «=0 (/(х) = ~ 0 нри 0 <х < а '(«о нри х = а если частица находится в состоянии: а) Чг(х) =А зш~(лх/а); б) Ч«(х) =Ах(а х). Ответ. а)<Е >=2яэ /()таэ) б) <Е > =5 /та ЗЛ9. Вычислить средние значения кинетической и потенциальной энергии квантового осциллятора с частотой ы в основном состоянии Чг(х) = Аехр(-а х ), где з т а'= к/2ы, к-постоянная ((/= кх з/2). Оягвет«<Е„> = <(/> = и/4 3.20.
Частица массы ш находится в сферически-симметричной потенциальной яме. где Щг) =0 при г<го и 1.1=«с при г=го, где го-радиус ямы. Найти: а) возможные значения энергии и нормированные собственные функпии частицы в з-состоянии (1=0), где Чг-функция зависит только от г. При решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой «р = 2 / г; б) наиболее вероятное значение г и вероятность н нахождения частицы в области г < гмр а основном состоянии.
Изобразить примерные графики функций «В и г в этом состоянии. т Отвенг а) Е»«гол«(2 т гог! пэ; Ог(г)=1/з/(2 лго) зт/а /г, где /с=э/(2 т Е)/ б) г„„= го/2; ж(0<г<го 2) = 1«2. 3.21. Частица массы гп находится в сферически - симметричной потенциальной аме, где 1/(г)=-0 при !< ге и (/(г)=(/ь при г гс. а) найти с помощью подстановки чг(г)=2(г)/г уравнение, определяющее собственные значения энергии частицы в з-состоянин (1=0) в области Е<1): привести этоуравнениек виду з(л 1сг =- т(сгсл(г)2ппс~()а), (с='/(2пзЕ)/, б) Убедиться, что данная яма не всегда имеет дискретные уровни (связанные состояния). Определить интервал значений величины гс (/е, при которых яма содержит з только один з-уровень в) Полагая го 1/о = 8 хз/з /27ш, вычислить наиболее вероятное значение г„р для чзстицы в з-состоянии, а также вероятность нахождения ее в области г>га .
Опмет б/ т 7гбт/<гв (/в< 9т з/(8т) в) г„р =3!с(4; зе(г>гр)=349ь 3.22. Частица локализована в трехмерной потенциальной яме прямоугольной формы. Это значит, что потенциальная энергия частицы сферически симметрична относительно силового центра, т.е. является фунт!ней толвко расстояния г От силового центра: °, ~ - ь "ри ' — '! < ' 1)(г) = 1 0 ориг>а Найти волновые функции и уровни энергии связанных стационарных состояний частицы, зависящие только от расстояния г.
(В таких состояниях момент импульса частицы равен нулю.) Указание использовать подстановку Кг(г)=2(г)(г дкя преобразования уравнения Шрединеера 3.23. Энергия связи дейтона, измеренная экспериментально, равна Е=2.225 МэВ. Дейтон может находиться только в одном связанном состоянии. Аппроксимируя потенциальную энергию взаимодействия протона с нейтроном с помощью трехмерной прямоугольной потенциальной ямы, определить ее пгубину Не, при котором возможно связанное состояние. Найти радиус ямы а. Ответ: Ов = 1,57 Е = 3.5 34эВ; а = 0.89!((тЕ) = 3!Клем, где т-масса нуклона (протона и нейтрона) 3.24. Найти средние значения потенциальной <(1> и кинетической <Е „> энергии основного состояния водородоподобного атома.
Огпвет <О> =-Хе!гав/ <Е > =Ее /2ав, где ос=053 10 см 3.25. Свободно движущаяся частица массы ш с энергией Е подходит к границе раздела двух областей 1 и П, на которой потенциальная энергия частицы скачкообразно меняется от постоянного значения (/! до постоянного значения (/з > Нп Определить коэффициенты отражения н пропускания частицы на этой границе (К и )3).
Исследовать случаи, когда: 1) Е >(1з и 2) Е<(/! . Во втором случае определить гл)бину проникновения а частицы во вторую среду (расстояние, на котором плотность потока убывает в "е" раз). Ответ: Вслучае Е>()з В=~/ггйзРЛКзь/гз~з, Е!=4/гзй 7(/гз'-/гз)~, где Ег =г()т(Е-Ц)У', /г = т/(2т(Е-(/з/)г, В с!улав Е -Оз, Я=-/, а=гг (2мйт(Оз-Е))) 3.26. В предыдузцей задаче частицей является электрон с энергией Е = 2 эВ, ()~ =О, Па =5 эВ. Вычислить глубину проникновения его в область П.
Ответ. а=0.5бнм 3.27. Найти нэмененне энергетнческнх уровней н волновых функций стационарных состояний заряженного линейного осцнллятора прн наложении на него однородного электрического поля, направленного вдоль осн колебаний. Указание: сделать замену переменной в уравнении Шредингера х«ег-ебебй имея в виду, что потенциальная энергия освияяятора а электрическом поле арриана (/(х)=йх'/2-ебвх; Ответ: Е чш(ле)/2) - е ~бе~/(2)с); вь(х) = уг, '(х) (х-ебе/Ь) 3.28.
Найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний плоского гармонического осцнллятора. Определить кратность вырождения энергетических уровней. Ответ: уг„„(ху)=уз~я(х) уг ~ч(у); Ен т(/чс«1); К=0,!,2,,. / Ы = л-«т! л = 0,1,2.,! т=0,1,2,... Кратность вырождения Ен ровно (Ь«.«1) 3.29 .Найти уровни энергнн и нормированные волновые функции стационарных состояннй сферического осцнллятора Щг)=)п !2, используя метод разделения 2 переменных в уравнении Шредингера в декартовых координатах.
Опрелелнть кратность вырождения уровней. Ответ: Угныз„з(хУ, )=Угч/нч (х) Уг„г "(У)йаз '(з); п/,п2,п3 =0,1,2, Ел=аз(Ы«3/2);М=п! п2 п3, )ч'=О,!,2, Кратность вырождения Ен равна !/2()/+1)()Эч«2) 3.30. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенпнальной яме ширины а (0<к<а), найти в первом порядке теории возмущений смещение энергетических уровней пад действием возмущения вида: а) ()(х) = Пе (1-1 х/(а/2)-1! ) прн 0 < х < а У, при Ь<х<а — Ь б) (/(х) = 0 лри 0 < х < Ь и а - Ь < х < о Указать условия применимости полученного результата.
Отвегл: а) аб„о/ =(/в [!/2+(1 «( 1)н) /(тзп ')], л=! 2 3, .; б) г)Е/и = (/р/а (а-2Ьеа/лп Нп 2лпЬ/а), п=!,2,3,,! Условие применимости/ ~ Ов ~ е лз зл/таз 3.31. Показать, что поправка первого порядка Е,П~ к энергетнческнм уровням частицы нз предыдущей задачи для произвольного возмущения У(х) прн достаточно большнх значениях и не зависит от и.
Ответ:г(ЕО/= ~ О(х)2/аз!п~лпх/аЫх =!/а )' (/(х/(1-сов 2ллх/а) Ых -+ а а -«1/а ~ О(х) Ех при л -е ю о 3.32. На систему, находящуюся при г < 0 в ц-м стационарном состоянии лискретного спектра гамильтониана Йа при г > О накладывается возмущение вида рэ(1) = 17, з!и аг 1, тле )7, от времени не зависит. Найти волновую функцию системы при г э О в первом порядке теории возмущений. Указать условия прнменимоати рассмотрения.
Специально обсудить случай, когда частота возмущения ыс близка к одной из частот перехода ым = !1 1Еь - Е,) (Ве состояние также относится к дискретному спектру гамильтониана Й с ). )Ч АТОМ ВОДОРОДА. АТОМ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ 4.!. Вычислить первый потенциал возбуждения водорода. Онгвет. Кг=10.5 В 4.2. Какие спектральные линии появятся при возбужденнн атомарного водорода электролами с энергией в 12.5 эВ? Ответ 2 — -12!бнм, 2=102 бнм! В=б5б3нм 4.3. Какие линни появятся, если энергия электрона в предыдущей задаче равна !4 эВ? 4.4. Найти границы спектральной области, в пределах которой расположены линии серии Бальмера атомарного водорода.
Отвенг Зб4. 705 нм атй <650.4б8 юг 4.5. Вычислить энергию, которую надо сообщить атому водорода, чтобы его аерия Бальмера содержала только одну спектральную линию. Ответ 12 09 э8 <Вс11275эВ 4.6. Первоначально неподвижный атом водорода испустил фотон с частотой, соответствующей головной линии серии Лаймана. Найти скорость ч атома после излучения фотона. Ответ. э=52б смус 4.?. Найти потенциалы иоиизации ионов Не' и Ьгт, Ответ: Ун,=54 В, !а=122 В. 4.8. Определить наименьшую энергию, которую надо сообщить в основном состоянии трижды ионизованному атому бериллия, чтобы возбудить полный спектр этого атома.
Ответ Е=21757эВ 4.9. Найти выражение для постоянной Ридберга Р. водородоподобного атома, учитывая, что масса ядра не бесконечно велика. Ответ. В=й 7!1 т,1М2 где Ммасса ядра ?4 4.10. Вблизи спектральной линии водорода Л~ . 486.!320 нм Юри в 1932 г. обнарукнл близкую линию Л? =485.9975 юе. Прелполагая, что эта линна обусловлена небольщой примесью к обычному водоролу его изотопа, определить относительную атомную массу щ„?щн этого изотопа. Ответ: т„/тн «2 ' 4.11. Позитроний представляет собой связанную систему нз электрона и позитрона. вращающихся вокруг центра масс этой системы.
Найти уровни энергии. энергщо ионизации и длину волны резонансной линии для позитрония. Ответ' Е„«вс/(2а?)Я 1 Е„=б 80 эВ: Лр„=2!3.0045 нм 4.12. Отрицательные мюоны могут захватываться атомом и замещать в нем электроны электронной оболочки. Практически может замещаться лишь один электрон. Подучающиеся в результате такой замены системы называются мезоатомамн. Масса мюона щн=207лц . Вычислить радиус первой боровской орбиты (К-орбиты) мюона в мезоатоме. Рассчитать энергетические уровни мезоатома.
Какое излучение будет наблюдаться при переходе на К-орбиту мюона с более высоких орбит". Почему исследование этого излучения применяется для выяснения структуры тяжелых ядер вблизи их поверхностей7 Ответ: ае=?/(е тр 2)(1 в тр /те) = 28 10 ??/2 см Е„= -Ь с Я 2/(!+тр /т ) 4.13. Оценить напряженность электрического поля, в котором атом водорода быстро ионизуется. Ответ . Е«310 В/сн 4.14. Найти среднее расстояние электрона от ядра в основном состоянии волородоподобного атома. Ответ: <г = 3(2 ос где ае = /(те) = 0.53 !О'есм 4.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
