Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 28
Текст из файла (страница 28)
17. Предположим теперь, что мы пытаемся определить энергию уровней (отсчитанную от основного уровня) атома, измеряя частоту фотонов, вызывающих переход из основного в возбужденное состояние. Мы пытаемся, иными словами, определить частоту, на которой 106 атом резонирует. 1акой единственной частоты не существует: атом откликается на небольшой интервал частот.
Можно, конечно, сказать, что <правильная» частота, определяющая энергию уровня,— это частота го», отвечающая максимуму резонансной кривой. Остается, однако, фактом, что атом откликается на все частоты вблизи ы, и линия в спектре поглощения атома не может быть абсолютно узкой: она имеет конечную ширину. Это является экспериментальным фактом. Возникает вопрос; как обстоит дело со спектральными линиями испускания атома? Имеют ли и они конечную ширинуй На зто следует положительный ответ. Линия испускания имеет ту же ширину, что и линия поглощения. (Следует заметить, что экспериментальио наблюдаемая ширина линий в оптических спектрах больше предсказываемой по нескольким причинам. Мы имели дело с шириноп линий изолированного атома, находящегося в покое относительно наблюдателя. Эта ширина является внутренним свойством атома. Забудем на время о других причинах расширения линий; мы рассмотрим их позже в этой же главе.) Что означает конечная ширина линии испускания? Она означает буквально то, что сказано этим определением.
Если мы будем фотографировать линию с помощью спектрометра с предельно высоким разрешением, то обнаружим, что ее ширина конечна. Частота испущепного света не равна точно «о„но мы обнаруживаем все частоты в непосредственной близости от «э« 18. Поскольку положение уровней энергии определяется по наблюдению линий поглощения и испускания и эти линни всегда имеют конечную ширину, то энергия возбужденного состояния не может быть совершенно точно определяемой величиной. Если мы верим в существование фотонов н в закон сохранения энергии, то приходим к завкому выводу. Таким образом, первый из наших постулатов, изложенных в п. 5, нельзя понимать буквально.
Уровни энергии, расположенные нод основным. имеют конечную ширину, Предположпм, что мы определяем энергию данного возбужденного состояния атома (молекулы или ядра), наблюдая линию поглощения, соединяющую основное состояние с возбужденным. Если «отклик» атома максимален при часэоте «»„ то можно приписать возбужденному состоянию среднюю энергшо Е=Е«+й«э„где Е,— энергия основного состояния. Пусть ширина спектральной линии (измеренная некоторым методом, который здесь нас не интересует) равна Лв». Мы считаем, что ширина возбужденного уровня равна ЛЕ= — йЛо». Если мы понимаем, что уровень энергии имеет конечную ширину, то не нуждаемся больше в термине «средняя энергия»; можно просто говорить об «энергии» уповня, понимая, что этот термин относится к соответствующим образом определенной средней энергии. 19.
Смысл упрощений, лежащих в основе первого постулата, поучительно показать на примере из классической механики. Рассмотрим маятник, который мы толкнули и заставили колебаться. Допустим, что силы трения малы (наиболее существенная из них— 197 рис. 1ед. Экспоненпнальво везуха~питие колебанвя Ечаенсиьзость смещения от времени).
Пропесс не строто пернодическна. позтому неверно считать, что мы имеем дело с колебаниями, частота которых равна м, Если затухание не слишном велико, можно считать, зто частота близка н и,. Интуитивно ясно, что част,зта определена тем точнее, чен слабее затухание (20а) А(1)=А ехр( — 'гбв( — С/2«), где А — постоянная. Так в комплексном представлении зависит от времени амплитуда колебаний затухающего гармонического осциллятора со средней частотой азв.
108 сила сопротивления воздуха), но не равны нулю, так что маятник может совершить несколько сот колебаний, прежде чем их энергия уменьшится в е раз по сравнению с начальной (время этих колебаний называется «средним временем жизни» колебательного состояния). Пусть интервал времени между двумя последовательными отклоругн ~ пениями маятника вправо равен 1 с. Лн ббб[~Д Предположим, что нас интересует частота колебаний маятника. Недолго думая мы скажем, что частота равна 1 с-'.
Это, несом- и пенно, разумный ответ, но, строго говоря, он неверен: под «частотой» мы понимает частоту повторения периодических явлений. Движение нашего маятника лишь приближенно можно считать периодическим, поскольку амплитуда колебаний уменьшается со временем.
Частота затухающих гармонических колебаний точно не определена, хотя для практических целей мы вполне можем ее определить. Атом, испускающий излучение, в некоторых отношениях похож на затухающий маятник. Процесс излучения не длится вечно, а это означает, что «колебания внутри атома» являются затухающими. У них нет точно определенной частоты, поскольку затухающее колебание нз строго периодическое. Электромагнитное излучение, возникающее оттого, что «что-то в атоме колеблется», не будет моно- хроматическим.
Линия испускания имеет конечную ширину. 20. Размышляя над рнс. 19А, мы начинаем понимать, что чем меньше затухание, тем точнее определена частота. Действительно, неопределенность Абб в частоте обратно пропорциональна среднему времени жизни т. Чтобы показать это, рассмотрим испускание н рассеяние света атомом в духе <осцилляторной модели» из п.
15. Допустим, что мы имеем дело лишь с двумя состояниями: основным н возбужденным, отстоящим от него по энсргии на тттпе. Рассмотрим сначала атом непосредственно после того, как он был возбужден. Внутри него «что-то колеблется», и мы обозначим амплитуду этих колебаний через А (1). Допустим, что эти колебания следующим образом зависят от времени: Поскольку эти колебания совершаются заряженными частицами, то можно ожидать, что при этом будет испущено электромагнитное излучение (со средней частотой йу,) и амплитуда этого излучения будет зависеть от времени согласно (20а). Интенсивность 1(/) испущенного излучения пропорциональна квадрату модуля амплитуды: 1(/)=С~А (/))г=С~А1з ехр ( — //т); (20Ь) здесь С вЂ” некоторая постоянная.
Таким образом, можно написать 1(/) =1(0) ехр ( — //т). (20с) Мы записали экспоненциальный распадный множитель в (20а) в виде ехр ( — //2т), чтобы в выражении для интенсивности получить коэффициент ехр ( — //т). Вопрос о том, как написать этот множитель, рис. т!л. универсальная резонансная иривая. Она описывает отклик любой линейной (или приблизительна линейкой) системы ва гарзюанческую внешнюю силу вблнаи резонансной частоты прн условии, что по соседству от ыз нет других резонансных частот. Заметны, что в бгизнне играют особенно важную роль две «ривые «колоколообразного» типа: резонансная нривая и гауссова кривая.
На первый взгляд оии мало отличаются одна от другой, но нужно помнить, что гауссааа кривая очень быстро приближается к нулю за пределам» центральной области, тогда как у резонансной кривой имеется длинный «хвост» т. е. как определить величину т, является делом условия. При нашем определении за время т интенсивность излучения уменьшается в е раз. Величина т измеряет продолжительность процесса, и можно интерпретировать т как среднее время жизни возбужденного состояния, «Большая часть распадов происходит за время порядка тй.
21. Амплитуда колебаний А (/), выражаемая формулой (20а), удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка б/А (/)Я1+ ((ау в+ 1/2т) А (/) =О. (21а) Оно описывает осциллятор в отсутствие внешних сил. Предположим, что на осцнллятор действует монохроматическая световая волна, имеющая частоту йу.
Уравнение (21а) следует изменить, добавив член, описывающий гармоническую внешнюю силу. В результате неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее поведение осциллятора, примет вид НА (1)/й+((бу, + 1/2т) А (1) = Р ехр ( — (йу(); (21Ь) здесь Р— постоянная, характеризующая вынуждающую силу. 109 Решение дифференциального уравнения (21Ь) для установивше гася режима (мы не рассматриваем процесс установления) имеет вид (р ех р ( — (<»!) А (!) = (в — во)+ (4х ' (21с) Этому решению отвечают колебании постоянной амплитуды с частотой приложенной силы в. Интенсивность излучения, испущенного осциллятором, пропорциональна квадрату модуля А (!). Излучение осциллятора под действием вынуждающей силы является рассеянным излучением, и количество рассеянной энергии пропорционально интенсивности.
Обозначим через 5(в) интенсивность излучения на единичную амплитуду. Имея в виду (21с), можно написать ! !» 5(в) пропорционально ~— нли ()(2<)» 5()-5(.),„в, +„„,, (21д) где 5(в,) характеризует рассеяние «в резонансе», т. е. при в=в». На рис. 2!А приведен график зависимости 5(в) от в. 22.
Функция 5(в) выражает <интенсивность отклика» системы иа внешнее возмущение с частотой в. Такой тип резонансного отклика весьма харак»перен для квинтовой физики, он не ограничен взаимодействием света с атомом. Мы имеем дело с той же резонансной формулой и при рассеянии материальных частиц, например протонов определенной энергии ядрами или и-мезонов протонами. Можно сказать, что квазистабильный уровень энергии квантовомеханической системы «существует» именно в том смысле, что система имеет резонансный отклик, описываемый выражением (2!й). В ядерной физике резонансная формула (21д) известна после работ Г. Брейта и Е. Вигнера как резонансная формула Брейта— Вагнера для одного уровня.
23. Отметим важное свойство резонансной формулы (21д). Если обозначить через в частоту, при которой отклик системы равен половине отклика в максимуме, то легко показать, что »ь=в»~1!'2т. (23а) Это находится в согласии с высказанной в п. 20 догадкой о связи между неопределенностью в частоте и средним временем жизни возбужденного состояния. Ширина возбужденного уровня энергии ранна ЛЕ=ЙЛв, поэтому пз (23Ь) следует имеющая большое значение формула АЕ =Ь/т, (23с) ))О Ширина резонансной кривой (рис. 21А) на половине максимального значения оавна соответственно Лв=1!т. (23Ь) Рнс. 25А. Грубая схема уровней для нллюстраннн рассужденай и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
