Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Заметим, что и классическое электромагнитное поле, представляющее распределеыную систему, также может быть представлено как гамильтонова система (см. 9 48, 49). Гамильтоновой системой является также и квантовая атомистическая модель.
Волновая функция Ч'(г„..., гк, г), описывающая кваытовое состояние, подчиняется уравнению Шредингера ввести геометрически наглядное изображение системы и ее движения в фазовом пространстве. флэовое лроопранство — воображаемое 6М-мерное геометрическое пространство, координатами которого являются 6Ф канонических переменных Х„..., Х6».
Точка в фазовом пространстве изображает состояние всей системы в заданный момент времени. С течением времени фазовая точка перемещается по фазовому пространству, образуя фазовую траекторию. Последняя изображает, очевидно, движение всех Ф материальных точек. В механике рассматриваются только такие гамильтонианы, для которых решения уравнений Гамильтона однозначны, т. е.
каждая начальная фазовая точка определяет единственную фазовую траекторию. Следовательно, фазовые траектории непересекаемы. Простейшим примером фазового пространства является 5блзовая илоскость — фазовое пространство системы с одной степенью свободы. Это единственная система, фазовое пространство которой можно конкретно изобразить в нашем трехмерном мире, ибо уже для системы с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно.
В качестве примера рассмотрим на фазовой плоскости фазовые траектории линейного гармонического осциллятора и частицы, движущейся между двумя потенциальными стенками (потенциальный ящик). Решениями уравнений Гамильтона для гармонического осциллятора будут д=гьа1лш1, р=тд=тшдосоаш1=росоашб откуда уравнения фазовой траектории — + — =1, ро=>ишяо изображают совокупность концентрических эллипсов (рис.
2). Фазовые траектории частицы в потенциальном ашике, очевидно, имеют вид, представленный на рис. 3. Рис. 2 Рве. 3 35 Полагая совокупность канонических переменных Х случайной величиной, как это имеет место при статистическом рассмотрении динамической микромодели, каждому микрососгоянию Х сопоставляем некоторую плотность вероятности в(Х, ~), которая статистически описывает состояние и движение фазовых точек в фазовом пространсгве. Фазовую плотность вероятности в (Х, г) иногда называют фазсеым расвределевием вероятностей илн фазсеым расвределевием. Как и всякая априорная вероятность, фазовая плотность вероятности для фиксированного момента времени выбирается удовлетворяющей макроскопическим условиям, соответствующим способу выделения системы вз всего окружающего, а также некоторым требованиям симметрии.
Такой выбор не является однозначным, и поэтому правильность выбора подтверждается сравнением результатов статистической теории с опытом. Зная фазовую плотность вероятности, можно вычислить вероятность обнаружения системы в заданном фазовом объеме б: $х'(6)=Ум(Х, г)бХ. (6.2) с Если область 0 охватывает весь фазовый объем, занимаемый всеми возможными фазовыми точками, то»г (О) превращается в достоверность, т. е. равно единице. Отсюда получаем условие нормировки 1»с(Х) бХ=1, по где Х в скобках под знаком интеграла означает интегрирование по всем переменным Х. Если макроскопическими параметрами, т. е. макроскопически измеряемыми величинами, являются функции канонических переменных Г» (Х), причем к= 1, 2, ..., в, где в«Ф, то нх статистические или фазовые средние суть (6З) Г»= ~ Г»(Х) в(Х, г) дХ.
по Как уже отмечалось в 5 4, отличия этих статистических средних от наблюдаемых истинных значений Г(Х) пренебрежимо малы, если достаточно малы средние квадратичные уклонения Ь (Г) вследствие неравенства Чебышева (4.4). Вычисляя в этом случае средние значения Г, мы находим статистический закон поведения величины Г. По этому закону практически с достоверностью можно предсказывать истинные значения величины Г. Если же Ь(Г) велико, то для данного конкретного процесса Г уже не выражает никакого закона, так как нет повторяемости от 36 опыта к опыту н зыание Г не позволяет предсказать ыстынное значение Г. В этом случае вследствие закона больших чисел статистический закон существует только для средних арифметических от ыстынных значеный величины Г по очень большому числу опытов, ыо для едыыычного ызмереныя предсказаные практическы невозможно, а поэтому не сущесгвует н какого-либо закона.
7. Теорема Лыувилля о сохранеыыы фазового объема Одним ыз важных для статистической мехаынкы свойств двыженыя фазовых точек является сохранение фазового объема, вытекающее ыз теоремы Лнувылля, которую мы рассмотрим ниже. Прн статистическом опнсаныы механической гамыльтоновой системы материальных точек рассматривается не движенне однойедынствеыной системы с заданыымн начальными значениями канонических переменных, а движение большой совокупности фазовых точек, изображающих набор возможных состояний данной системы.
Такая совокупность фазовых точек, абстрактно изображающих различные возможные микроскопические состояния системы, называется фазовым ансамблем. Если каждая точка фазового ансамбля рассматрывается как случайная величина, т. е. вводится фазовая плотность вероятности, то фазовый ансамбль называют статистическим фазовым ансамблем. Двнжеыне фазового ансамбля в фазовом пространстве можно рассматривать как двыжение фазовой жыдкосты, отождествляя фазовые точки с точками воображаемой фазовой жидкости, заполняющей фазовое пространство.
Легко доказать, что для гамильтоновых систем фаза»а» жидкость несжимаема. Действительно, вследствые уравнений Гамильтона (5З),ылн (6.1) (7.1) дв ду дд б(чу= — + — + — =О, дк ду де (7.3) зт т. ечсогласно (5.4), ь» дХ» Х вЂ” =О. , дХ» Полученное соотношение можно рассматривать как обобщеные на 6Ф-мерное пространство трехмерного уравнения выражающего в гидродинамике условие несжимаемости жидкости'. Поэтому и (7.2) можно рассматривать как условие несжнмаемости фазовой жидкости. Если фазовая жидкость несжиыаема, то нри ее движении остается неизменным фазовый обьем, занимаемый любой частью этой жидкости. Таким образом, если определить фазовый объем как 6Ф-мерный объем части фазового пространства, ограниченный замкнутой гиперповерхностью, образуемой фазовыми точками, изображающими состояние системы, то имеет место теорема о сохранении фазового обьема, или теорема Лиувилля.
Более строго теорему Лиувнлля можно сформулировать и не прибегая к гидродинамической аналогии. Пусть совокупность переменных Х означает координаты самого фазового пространства (эйлеровы координаты). Координаты фазовых точек, изображающих гамильтонову систему в моменты времени 0 и 6 обозначим Хе ! и Х (лагранжевы координаты). Очевидно, решая уравнения движения (6.1), можно найти Х как функции Хь и 1 и, наоборот, Хь как функции Х и а Иначе говоря, решения уравнений Гамильтона изобразим в виде Х =ю(Хе.
1), Хь=ю г(Х, 1). (7.4) Пусть фазовые точка Хе, заключенные в фазовую гнперповерхность, охватывающую область 6ь, образуют в момент 1=0 (7.5) В последующий момент г гиперповерхность бь деформируется в гиперповерхность, охватывающую область Оь и заключенный ею объем можно записать в виде Г,= ~ бХ'= ~ д (Х'„..., Х!„)/д (Х'„..., Хь,„) бХь= ~ Р бХь. (7 6) о, оь вь Таким образом, теорему Лиувилля, состоящую в утверждении Г,=Г, (7:7) можно считать доказанной, если доказать неизменность якобиана Р,т.
е. (7.8) Р (1) =Р(О)=1. «Терллцпй Я. П. Теоретик«свел мехаавва. М., 1987. 1 49, 56. 38 Задача 7.1. Доказать, что 4Ю дА — =Ю ~;— 41 з, дХз (7.9) откуда, согласно (7.2), следует (7.8)Ч 7.7. Начертить фазовые траектораи од- Яг номерного движения матераальаой точки з поле сил тяжести и провллюстрнровать справедливость теоремы Лвувилля. 7З. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для упругого соударевиа двух частвц, дзюкушвхса по одной прямой.
7.4, На фазозой плоскости (9, ч), где ч ф — скорость, найти фазозые траекторав и зычвслить изменение со временем фазового обьема 696ч для: а) частицы, на которую действует лишь сила тренин о среду, пропорциоиельнак скорости; б) линейного гармонического осцвллатора с мавым тревием. 7.5. Проверить, спразедлвва ли теорема Лвузиллл дла абсолютно веупругого соударения двух шаров. Рас. 4 й. Уравнение движения статистического фазового ансамбля 39 Статистический фазовый ансамбль описывается фазовой плотностью вероятности и (Х, (). Для решения неравновесных задач статистической механики важно уметь находить ю (Х, г) в произвольный момент г по заданной начальной функции ю (Х, 0) в момент 1=0. Иначе говоря, необходимо найти уравнения движения, которым подчиняется функция ю (Х, ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
