Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Мы будем заннматься статистической теорией как равновесных, так ы неравновесных процессов, для которых вероятность должыа меняться со временем, поэтому мы не будем пользоваться нн «временным», нн «частотыым» определеннямы вероятносты н ыспользуем лышь классическое определение, ближе всего стоящее к общему определению вероятносты как меры возможности. Иначе говоря, нам придется вводыть априорные вероятности, которые необходимо будет угадывать, ысходя ыз общих соображеный снмметрын, однородности н т. и., не ссылаясь прн этом на какне-то практически неосуществимые «частотные» ылн «временные» мысленные эксперименты, т.
е. мы будем поступать так, как это фактически всегда делается в физических статыстнческнх теориях: вводить некоторые априори очевндыые вероятыостн элементарных событий н затем, сравнивая следствия полученной теории с экспернментом, убеждаться в правильности 1нлы ошнбочдоетн) сделанного выбора априорных вероятностей. Перейдем к краткому обзору основных представлений, понятий н теорем теорий вероятности, которые мы будем применять в нашем курсее. Вероятность как число. Пусть А, В, С, ...
символизируют некоторые случайные события, которые пры испытании могут осуществляться с вероятностямн, выражаемыми числами Р (Ау, Р (В,1, Р (С), ..., удовлетворяющими следующим общим требованиям. Если наступление события А более вероятно, чем ыаступленые события В, то еЦеаь этого обзора — лвшь вапомвить векоторые веобходвмые освоавые предста»лепна, поватиа и теоремы теории еероатвосгей. Ов ие предвезвачев а какой бы то мере длк первовачааьвого взучевиа теории еероатиостей. Дла более подробного озвакомлевиа тех, кто ведостаточво знаком с этой теорией, мы рекомевдуем изеествые учебвики по теории аероатвостей <см., например: Гик«елке Б.
В. Кура теории еероатвостей. М., 19б9). 17 Р (А) >Р (В). Если события А и В равновероятны, то Р (А)=Р (В). (2.2) Если событие А достоверно, т. е. обязательно наступает в каждом испытании, то Р (А) =1. (2.3) Если событие А невозможно, т. е. пе наступает ни в одном испытании, то Р (А) =О. (ЗА) Случаииая величина. Если случайными событиями А, В, С ... являются различные состояния некоторого объекта, отображаемые числами х„х„хь ..., то говорят о случайной величине, задаваемой полным набором всех ее возможных значений х„хь х„... и вероятностями осуществления этих значений ЄЄЄ....
Таким образом, случайной величиной может быть иазвана любая физическая величина (энергия, заряд, координата и т. и.), если известны вероятности всех возможных ее значений, т. е. задана совокупность чисел (2.1) х„хь хь ..., Рь Рь Рь- (2.5) Иначе говоря, случайная величина х полностью задается функцией вероятности Р»= 1У' (хь). (2.6) Сложение вероятиастей. Если под суммой или объединением событий А+ В понимать событие, когда наступает либо А, либо В, и если зти события несовместимы, т. е. не могут наступить оба вместе, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей отдельных событий: равна ь+» Ж(х,).
! ь В силу сложения вероятностей для непрерывной случайной величины можно ввести понятие плотности вероятности, определив вероятность того, что х лежит в иитервале х —: х+бх, выражением 18 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) . (2.7) Для случайной величины х отсюда следует, что вероятность события, при котором х принимает одно из значений хь, хь+ь ..., хь,„, й И'(х) = и (х) йх. (2В) Здесь 1е(х) есть плотность вероятности, которая задает непрерывную случайную велычыну х аналогычыо выражению (2.6), введенному для дискретной случайной велнчыны. Условие ыормыровкн. Поскольку для случайной величины хь з~, хь ... представляют полный набор всех ее возможных значений, постольку прн любом испытании одно ыз этих значений будет непремеыно обнаружено, т.
е. сумма всех событий х=х„х=хь х=хь ... является достоверным событием. Следовательно 1см. (2.3), (2.7) и (2.8)), В'(хь) = 1, ав где символ (к) означает, что суммирование ведется по всем возможным значеыням индекса к. Для непрерывной случайной величины х условие нормировки (2.10), очевидно, должно быть записано в виде 1е(х) с1х= 1, (2Л1) оо где символ (х), аналогично (2.10), означает, что интегрирование ведется по всем возможным значениям величины х. Условия нормыровки (2.10), (2.11) позволяют ыз относытельных вероятностей, т. е.
вероятностей, определенных с точностью до постоянного множытеля, получать абсолютыые числовые значеныя вероятностей. Умноженые вероатыостей. Если под произведением ыли совмещением событий А В понимать такое событие, когда совместно наступают оба события: как А, так ы В, и если эты события статыстыческы независимы, т. е. вероятность наступления одного не зависит от того, осуществилось илы не осуществилось другое, то Р(А В) =Р(А) Р(В), (2.12) т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Для независимых случайных величин х н у, согласно (2.12), имеем Ж'(хь уь) = В'(х;) И'(уь) (2.13) нлы для непрерывных независимых случайных велычнн 1в(х, у)=в(х) в(у). (2.14) Если величины х н у рассматривать как отображающие порознь. 19 некоторые подсистемы общей фюической системы, описываемои всей совокупностью величин х, у, то, согласно (2.!3), (2.14), вероятность общей системы определяется вероягносппаи подсистем, если зги подсистемы статистически независимы, т. е.
между ними не существует фюических взаимодействий. В противном случае, при наличии взаимодействий, обусловливающих статистическую зависимость, формулы (2.13), (2.14) не верны и по вероятностям подсистем в общем случае нельзя определить вероятность для всей общей системы. Средине звачеввв елучайиык величии. Статистическое среднее значение случайной величины х или ее математическое онсидание определяепж для дискретной величины как к=ах» Рл ~»у или для непрерывной величины (2.15) х= хв (х) дх.
(2.16) нп Если функпия в(х) обладает единственным, достаточно острым максимумом, то среднее значение практически будет совпадать с фактически наблюдаемым в отдельных испытаниях. Таким образом, в ряде случаев статистическое среднее случайной величины может достаточно точно юображать ее истинное поведение. Уилеиеивв ет средних. Для того чтобы оценить, насколько истинное значение случайной величины уклоняется от ее статистического среднего, необходимо определить среднее отклснение случайной вели пшы от ее среднего значения. Это среднее уклонение равно ~х — х ~=~~~~~'»х» — х ~'Р» ао (2.17) Определенная таким образом величина называется средним абсо- мотным уклонением. Однако для оценки среднего уклонения пред- почитают пользоваться средним каадратичным ук тлением (2.18) Величину Ь'(х) =(х — х)з=д(х) (2.19) называют дисперсией случайной величины х.
Раскрывая знак усред- нения посредством (2.15) или (2.16), легко показать, что 20 дэ (х) хэ хэ (2.20) Величину гэ (х) физики иногда называют р>луктуа>уией величины хе. Чаще всего кривая плотности вероятности и (х) имеет достаточно гладкий колоколообразный вид. В этих случаях математическое охпщание и дисперсия грубо, но в то же время достаточно полно характеризуют функцию >е(х); х является как бы «центром тяжестю> этой функции, а Ь (х) оценивает ее гппирину».
В более сложных случаях при заметных отклонениях от колоколообразной формы этих параметров уже оказывается недостаточно для характеристики вида функции и (х). При этом необходимо знать моменты более высокого порядка, т. е. величины (2.21) называемые гуеитральными моментами >г-го порядла, или величины (2.22) именуемые начальньгми моментами И-го норядка. Согласно этой терминологии, математическое ожидание является начальным моментом первого порядка, а дисперсия — центральным моментом второго порядка. Корреляции.
Для статистически независимых случайных величин х и у 1см. (2.13) и (2.14)) ху=ху, откуда (» — х) (у — у) =О. (2.24) Для статистически зависимых случайных величин зти соотношения не имеют места, т. е. (х — х) (у — у)ФО. (2.25) Таким образом, величина (х — х)(у — у) может рассматриваться как степень зависимости нпи корреляции случайных величин.
По аналогни с наименованием «флуктуация» для неличины гэ(х)= =ч/(х —.«)* величину (х — х)(у — у) можно назвать «корреляцией» случайных величин х и у. Наиболее удобнои мерой корреляции двух случайных ве>шчин считается «коэффициент корреляпдю> «Такое вювевие ве совсем удачно, так как фвуктуэнией врювто ваэывать фиэаческое веление бесноркдочиых откковеавй фиэаческах аелвчюг от ах рэавоаесаых эаачевай.
Следовательно, флухтуенвей логично неэьмать отдельное, ковкретвое, случайное откловенве. Но тогда величину Ал надо рассматривать кек количественную меру аелвчввы флуктуедвй. Поэтому на>ванне «флухтуадва» длк велвчввы монет быль оореедено только тем, что ово короче более точного термина «срем>ее кее>я>к«итиле ук>юиеввю. з> 1(*. Ю = (2.26) а-Й*ь-в' Более тонкие аффекты статистической зависимости случайных величин могут быть, очевидно, учтены корреаявиолными момеюиами вида В'(х>а)= 2; Ра('Я Ра — ) 4ЯРа — ) = —. ...(:) „,~) Неравеыство Чебышева можыо записать также в выде (а — х)1 (д (х) 11 )К(~х-х~>а) < а1 [ а) (2.29) Последнее неравенство показывает, что вероятыости флуктуационных отклонений, значительно превышающих средыее квадратичное уклонение Ь(х), быстро убывают с увеличеыием отклонения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
