Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Итак, плотность вероятности того, что даниэл молекула идеапьиого газа имеет заданные координаты и скорости, равна Применяя интеграл Пуассона +Ю + .р И ) е 04=,/кили 1 е о4= /- и и в и вводя обозначение (3.13) получаем из (3,12) для А выражение (3.14) Очевидно, что при отсутствии внешнего поля для газа, находящего- ся в сосуде объемом К с абсолютно жесткими стенками, У= = К откуда ив= — ~ — ) ехр~ — (6+4+9 . Й,от) ~ злт (3.15) л=МАехр~ — '~-И'+0*+я+т ..г) д.ьул ЬИ0й(.
ьт~ з (3.16) Следователыю, средняя плотность числа частиц У= = — ~ — ) ехр~ — ~-(4 +» +()+У(х.у.г) й и/м 1за ( 1~м з з з ь луа а1ача( з зект) (3.17) Функцию (3.10) часто называют раеиределеиием Макевелла — Больимаиа, а функцию (3.15) — раеиределением Максвелла. Эта терьщнология не совсем точна, ибо функции (3.10) и (3.15) имеют смысл плотности вероятности определенного состояния заданной часпщы; Максвелл же и Больцмап находили функции, имеющие смысл средней плотности числа часпщ с заданными координатамн и скоростями. Легко, однако, видеть, что для классического идеального газа средняя плотносп числа частиц равна плотности вероятности одной часпщы, умноженной на общее число часпщ системы К.
Поэтому для классического идеального газа зта неточность не имеет существенного значенля. Действительно, среднее число частиц, имеющих коордннаты н скорости, лежащие в интервалах х —: х+Ьх, У вЂ”: У+ЬУ, х —: г+Ьх, 4 —: 4+6~, л —: 0+Ьч, ( —: (+Ь(, разно, очевидно, сумме верояпюстей каждой из часпщ находиться в этом интервале.
Но, согласно (3.10), зти вероятности для всех частиц одинаковы, откуда среднее число часпщ т. е. равна умноженной на М функции мм в которой координаты и скорости часпщы и заменены на х, у, к, 4, и, ~. Подробнее этот вопрос рассмотрен в гл. 6, где рвсщэеделение Максвелла — Больцмана выведено ю канонического распределении Гиббса. Там же рассмотрааы различные формы этого распределении и уточнен фюичесдий смысл функции распределениа. В заключение параграфа рассмотрим несколько задач на распределение Максвелла — Больцмана, представллющнх упражнении на вычислевил различных статистических средних, имеющих определенный фюический смысл.
ЗЛ. Вычвслать абсолютную скорость Я малеаул идеальаого газа, а такие И. ел. 6. ЗЛ. Оиредеапь акабоаее еероатаую абсолютную скорость мошкул вдеальиого газа. ЗЛ. Вычисипь средвюю квиетическуэо эверпио и средвее кзадратачиое уклошшве еввстачесеоа заергав молшул вдеальвого газа. ЗА. Неаш еероатассть того, что шшетачесеал эверпи молекулы ваеельвого газа ве иреаыэшст шншвшо звачеиаа а 3.5.
В большом сосуде объемом г арв темвературе Т ваэодатск М частвц идеельвого ппа. Найти угловое распредеаевве'частик, еылеииоиап .. е ешшацу еремеев и еаауум вз вебольшого отшрстиа шеидадью Я а смаке сосуда. З.б. Оврсдпшгь швболее аероатвую зиерпио частвцы вдеадьвего газа. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ 4. Мпкроскопвческая модель и макроскоппческве перемеыыые квк статпетпческпе средние Согласно атомыстнческнм представлениям, макросколическое тело состоит из большого числа молекул или атомов, движущихся ло законам классической или кваюповой механики.
Соответственно классическая микросколическая модель — это система Ф материальных точек, движущихся ло законам механики Ньютона. В квантовой микромодели движение этих точек лодчинено законам квантовой механики. Микросколическое состояние в случае классической модели полностью описывается ЗН координатами г (к=1, ...Н) матернальных (и точек и нх скоростями г'~~ нлн импульсами р, т. е. 6Н переменыымн. В случае квантовой модели микроскопическое состояние отображается волновой фушщней Ч' (гь ..., гн,' г), прн помощи которой вычисляются квантово-механнческне средние физических велпчын (Ю =~ Ч' ~"Рбгь.х)ги, где Р— оператор, изображающий физическую величину Р.
В макросколическом олыте не определяется полностью микроскопнческое состояыне сыстемы, так как в нем нзмеряются значеыня лишь ограниченного числа л механнческых величин, являющихся функциями 6У мыкропараметров, причем Ф»л, поскольку в одном моле содержится 6 10зз молекул, а л исчисляется лишь едыынцамы. Таким образом, для макроскоппческнх систем бессмысленно строить микроскопическую теорию, подразумевающую возможность пзмереыня 6У мнкроскопнческнх переменных.
Для ннх ыеызбежно статыстнческое рассмотрение микроскопической модели. Иначе говоря, каждому микроскопическому состоянию сопоставляется некоторая вероятность, т, е. мнкросостоянне рассматривается как случайная величина, а макроскопнческн измеряемые велнчнны зо сравниваются со статистическими средними изобраяйао- ~и щих их функций.
В случае классической микром одели статистическое описаиие означает введение плотности вероятности мик- йетиниее росостояиия ю (гь ... р„; г), знеченое при помощи которой вычисляются статистические средвие 6 Г )Г(гь ..., р»)х х в(гь - р»' г)дг~ ... Йр» (41) механических величин Г(г„..., р„), описывающих макроскопически измеряемые параметры. Вычисляемые таким образом средние можио считать практически совпадающими с результатами макроскопических измереиий величин Г, если достаточно малы средние квадратичвые уклоиеиия Ь(Г) =4Г-~' (4.2) как это следует из перавепства Чебышева (2.29). Таким образом, если макроскопически измеряемые величины имеют структуру случайных величии, удовлетворяющих закону больших чисел (2.30), (2.34), то можио считать, что Ь(Г)/Г-+ 0 при К-~ со, (4.3) и поскольку К действительно очень велико, постольку вычисленные средние Г практически совпадают с их потливыми зиачевиями.
Физический смысл зтих утверждеивй можно наглядно продемоистрировать на рис. 1. По оси ординат отложена физическая величина Г. Истивиое, случайное ее значение в данном конкретном случае изображено нерегулярно изменяющейся линией. В других аналогичных опытах зта линия имеет иной вид, однако всегда оиа лежит в основном в пределах двух пунктирных линий, окружающих жириую линию, изображающую среднее значение Г. Ливия истинных значений лишь очень редко выходит за пределы полосы шириной 2Ь Щ, ограничениой пунктирными лилями, поскольку, согласно неравенству Чебышева, вероятность Вг события, при котором ~à — Г~ превышает некоторую величину а, удовлетворяет неравенству 1~0à — Г~>а) < и (4.4) Таким образом, измеряемые иа опыте макроскопические вели- 31 чины могут отождествляться со статистическими средними от функций микроскопических переменных.
Для квантовой микромодели отличие состоит в том, что случайными величинами считаются волновые функции Ч'»(го ..., г„; г), отображающие различные квантовые состояния системы К материальных точек. Иначе говоря, каждому квантовому состоянию приписывается определенная вероятность и средние значения физических величин подсчитываются как статистические средние квантовомеханических средних от операторов, изображающих измеряемые физические величины, т. е. как Г=~ »г» ) Ч'».РР»69=~ И'»(Г), (и » где д отображает совокупность всех переменных гь ..., гн.
Среднее квадратичное уклонение, очевидно, равно ь(е= ~~г-з= ~в'-и. Здесь ге — квадрат выражения (4.5), а (4.6) ~' =~' УЯ'РР''Р»6Ч, где Ф вЂ” оператор величины г«. В остальном все аналогично клас- сическому случаю (см. 9 9). (4.7) 5. Га»аильтоиова система как микроскопическая модель Если в качестве микроскопической модели мы выбрали систему К материальных точек, то необходимо уточнить, что означает утверждение об их движении по законам классической или квантовой механики. Рассмотрим прежде всего классическую модель.
Наиболее общими уравнениями движения классической системы Ф материальных точек являются уравнения Лагранжа 4 дЬ д». — — — — =О» (й=), ..., З)9), (5.1) М дч, дч» где ⻠— обобщенные координаты, Д» — обобщенные непотенциальные силы (в том числе диссипативные), А=К-У вЂ” функция Лагранжа, К и У вЂ” кинетическая и цотенциальная энергии системы. В нашей модели мы должны, однако, исключить любые диссипативные силы, поскольку теплота сводится лишь к молекулярному движению, т.
е. исключается какой-либо теплород, а диссипация означает переход механического движения в тепло. Но никакого «тепла», кроме молекулярного движения, не существует, т. е. в ато- 32 — — — =О (Ус=1, ..., ЗМ). Ес дче дче (5.2) Из механики известно, что эту систему ЗК уравнений второго порядка можно заменить эквнвалентной системой 6М уравнений первого порядка, т. е. каноническими уравнениями Гамильтона: дН Че = —.
др,' 3н Н= ~Р,4„-.(., е 1 дН р,= — (й=1, ..., ЗЩ дде (5.З) дЬ рк= —. ддс Здесь Н вЂ” функция Гамильтона, илн гамильтониан, а (дь ..., д,н; р„..., рэн) — еаеокупнаеть канонических переменных. В общих выво- дах все канонические переменные удобно, обозначать одной буквой Хь полагая ~е=Хь р1=Х~+3н (к=1, ..., Зд1). (5.4) Обозначим всю совокупность переменных (Хь ..., Хбн) буквой Х, а произведение всех дифференциалов йХ, ... с)Х,к=с(Х. Поскольку уравнения Гамильтона представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка, постольку значения всех переменных Х в момент времени с полностью определяются, если известны значения этих переменных Хе в момент 8=0. Таким образом, задание всех канонических переменных в любой момент времени определяет полностью состояние системы в любой другой момент.
Следовательно, совокупность переменных Х полностью определяет микроскопическое состояние системы. Этим уравнения Гамильтона выгодно отличаются от уравнений Лагранжа, так как последние являются уравнениями второго порядка и для определения состояния в последующие моменты требуют задания в начальный момент не только всех кооРдннат де, ..., 4ен, но и скоРостей Щ, .-, чеэн. для решения задач статистической физики, как мы увидим 2-!80 зз мистической молекулярной модели недопустимы какие-либо диссипативные силы. Таким образом, в уравнениях (5.1) мы должны положить Де=О, хотя можем учитывать не только потенциальные силы, но и обобщенно потенциальные, которые можно исключить из Д~ и учесть добавлением обобщенного потенциала Р(дн ... й,н, дь ..., ф,н), т. е.
полагая Х.=К-(У+Р). Тогда движение классической атомистической модели описывается системой уравнений Лагранжа --, — =зз Ч', д! где зз — оператор Гамильтона, получаемый из функции Гамильтона путем замены импульсов частиц р» на операторы импульсов ЬЧ»/б т. е. и 1 гь ~з Н=~ ~ -Ч) +У(гь ..., гя) 2»н» (5.6) для системы К материальыых точек, имеющих массы т» и взаимодействующих друг с другом и с выешними объектами посредством сил, описываемых классической потенциальной энергией У. Таким образом, квантово-мехаыическое описание системы Ф материальных точек посредством волновой функции Ч', подчиняющейся уравнению Шредингера, представляет квантовое обобщение гаыильтоиовой формы классической механыки. Поэтому как классическую, так и квантовую атомистическую модель мы можем отождествлять с классической или квантовой гамильтоновой системой.
б. Классическая статистическая модель. Фазовое пространство. Фазовые средине Согласно (5.3), (5.4), классическая атомистическая модель представляет гамильтонову систему, состояние которой полностью описывается совокупностью бУ канонических переменных Х, подчиняющихся уравнениям Гамильтона: дН . дН Х= —,Х = — — (а=1,...,ЗЩ, дХ»+»» дХ» причем задание начального состояния (Хо) полностью определяет еоппояние (Х) в любой последующий или предыдущий момент ь Это свойство гамильтоновой формы классической механикы позволяет 34 в дальнейшем, выгоднее изображать микроскопическое состояние однородным ыабором канонических переменных Х, а не набором координат ы их скоростей. Итак, классическая атомистическая модель представляет классическую гамильтонову систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
