Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Поэтому собственные значения оператора трансляции ( Т,.ф(г) = 2Р(г+ и) =1,2р(г) (28.7) (28.6) должны равняться по модулю единице. Запишем это в виде Ä— В!88 (28.8) сти его структуры относительно смещений на вектор и при любых целых числах пь Электроны твердого тела движутся в электрическом поле атомных ядер, а также взаимодействуют между собой.
Среди различных методов приближенного рассмотрения общей сложной задачи движения таких электронов оказался весьма плодотворным метод одноэлектронного приближения. Согласно этому методу движенне многих электронов заменяется движением одного электрона в поле заданного эффективного потенциала, учитывающего наряду с полем ядер частично и взаимодействие с остальными электронами. Волновая функция одноэлектронной задачи 'должна, таким образом, удовлетворять стационарному уравнению Шредингера Щ (г) = Еф (г), (28.2) ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 1ч 1и 458 где й — волновой вектор, причем йй называется квазиилтульсом.
Свойства этого вектора мы рассмотрим несколько позже, пока лишь заметим, что в случае свободного движения электронов (У(г) = О) йй является истинным импульсом. Таким образом, состояния электронов в кристалле можно характеризовать значениями квазиимпульса Йй: Т Фь х(г) = ФА х(г+ и) = е'ь"Фь А(г), (28.9) где под Х будем понимать другие (кроме й) квантовые числа. Перейдем теперь к более удобной и физически более наглядной форме записи волновой функции (28.9) и представим Ф.ь,л (г) в виде 'Ф, А(г)=е'ь'Уь А(г).
(28.10) функции (28.10), называемые 4ункииллш Блоха, представляют собою плоские модулированные волны, причем амплитуда модуляции зависит от вида периодического потенциала У(г) и величины квазипмпульса. Существенной особенностью функций Егл,х(г) является их периодичность. Действительно, возвращаясь к (28.9) и подставляя в это уравнение функцию Блоха (28.10), получаем еглнэ "вишь, А(г+ и) = е'""е"'0м А(г), (28. 11) Подставляя, наконец, функцию Блоха (28.10) в исходное уравнение Шредингера (28.2), получаем уравнение для функц и.,, ( — (Ч+ й)) + ЕА (й) — У (г) ~ Ум А (г) = О, (28.13) которое достаточно решить для области одной элементарной ячейки.
При этом циклические граничные условия дадут возможность периодического продолжения этих решений в соседние ячейки. б) Квазиимпульс. Вектор Ьй, входящий в выражение функции Блоха (28.10), как уже отмечалось, называется квазиимпульсом, причем в случае перехода к свободному движению электрона, когда У(г)-~ О, эта величина переходит в истинный импульс. В общем случае функции Блоха не являются собственными для оператора импульса р = — 1Й'Р и, соответственно, йй не будет собственным значением этого оператора, т. е. функция УА,А(г), характеризующая амплитуду модуляции плоской волны, обладает периодом решетки и.,х(г+п)=(у,, (г). (28.12) Л 28] КВЛНТОВЛЯ ТЕОРНЯ ТВЕРДОГО ТЕЛ» (28.16) получаем, что (28.18) е!» » е!»»е!о е!»» ! так как Оп = 2птп = 2п ~, тгп2Ь2а2 — — 2п ~ тгп!82! — — 2п ~ т,пг, (28.19) и и а сумма произведений целых чисел равна целому числу.
Рассмотрим теперь состояние гг л(г) с энергией Е(Й). В силу (28.14) можно записать, что гг» л(г) = е!»'У» л(г) = е'!»+о! 13»+о л(г). (28.20) При этом функция О»+о, л(г)=е !о'у»,л(г) (28.21) обладает периодичностью прямой решетки. Таким образом, волновые функции гР» л и гР»+о л соответствуют одному и тому же энергетическому состоянию, другими словами, собственные значения энергии электрона, находящегося в периодическом поле, периодичны в обратной решетке Е(Й) = Е(Й+ 6). (28.22) С целью однозначности определения квазиимпульса обычно отбирается его наименьшее значение, т. е.
Й рассматривается только в пределах первой ячейки обратной решетки, линейные размеры которой умножены на. 2п. Эта ячейка носит название доны Бриллюэна, Кроме того, в силу периодичности потенциальной энергии квазиимпульс определяется неоднозначно.
действительно, вектор Й определяется с точностью до преобразования Й' = Й+ О, 6 = 2пт, (28.14) т = Гп!Ь! + тгЬ2+ пггЬ8. Здесь т; — целые числа, т — вектор так называемой обратной решетки, а Ь; — ее базисные векторы, связанные с основнымн векторами прямой решетки соотношениями где Уо = ~ (а! [ага»)) ~ — объем элементарной ячейки. Из определения (28.15) следуют равенства а,Ь! — — Ьы. Учитывая разложение и и т по базисным векторам и = ~ и аи т = ~ тгЬ8, (28.17) т таогия многих ч»стиц 1ч ги 460 С целью выяснения физического смысла квазиимпульса рассмотрим движение электрона в периодическом поле при воздействии на него внешней силы Р, например, внешнего электрического поля. Движение локализованной частицы мы можем описать, составив волновой пакет из функций Блоха в области волновых чисел (йа — М йо+ Лй) , ш ф(г, 1)= $ (7»,л(т)е "г(гйг Е=Е(й).
(2823) (»м Как известно (см. (1.48)), центр тяжести такого волнового пакета перемещается с групповой скоростью и = т пгад» Е(й), (28. 24) Но тогда —, пгад» Е(й) Р = пгад» Е(й) — „,, 1 сИ (28.26) откуда следует, что Р=й — = — Ьй. е'а и' сы ш (28.27) Это уравнение представляет собой, очевидно, закон Ньютона, в котором импульс заменен на квазиимпульс. Оно остается, таким образом, справедливым не только для свободного электрона, но и для электрона, движущегося в периодическом поле. в) Зопнал структура спектра энергии.
Одной из важнейших особенностей движения электрона в периодическом поле является так называемая зонпал структура энергетического спектра. Как видно из уравнения Шредингера — тл' + У (т) — Е„(й) ~ Ф», (г) = О, (28.28) в простейшем случае, когда потенциальная энергия У(т) является постоянной величиной, функция Блоха переходит в обыч- совпадающей со скоростью движения частицы. Действительно, выбирая интервал волновых чисел Лй достаточно малым, 1ЛА~ << 1й»~, мы можем считать амплитуду 11»,л(т) в этом ин- тервале практически постоянной, и тогда можно воспользоваться общими выводами о движении волнового пакета (см.
$1). С другой стороны, работа внешней силы Р изменяет энергию частицы, в частности, имеем: — = втаб» Е (й) — „= оР, ле (а) еа Ег (28.25) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ную плоскую волну А(т) = з'»г() (г) — Сяс»" = ф (г), (28.29) ибо У»,А(г) — ьсопзг, а энергия электрона оказывается связанной с импульсом йй обычным соотношением, характерным для свободного движения частицы Е(й)= 2 (28.30) В общем случае движения частицы в периодическом поле энергия Е(й) уже не является всюду непрерывной функцией импульса. Вместо этого Е(й) распадается на ряд зон (яли полос), т.е. энергия непрерывна в широких областях изменения ЙЙ и претерпевает разрывы при определенных значениях й. Весь энергетический спектр разбивается при этом на ряд зон (или полос) так называемых разрешенньгх значений энергии, разделенных энергетическими щелями — областями запрещенных значений *).
Рассмотрим конкретные примеры двихсения электронов в периодическом поле с целью определения энергетического спектра. г) Случай почти свободных электронов. Рассмотрим для про= стоты одномерное движение электрона в потенциальном поле )г(х), обладающем периодом решетки а )г(х + а) = )г(х). (28.31) Тогда уравнение Шредингера (28.28) принимает следующий внд: — — — „, + )г (х) — Е (й) ~ ф» (х) = О. (28.32) Будем далее предполагать, что поле У(х) является очень слабым, т.е. таким, что его можно учесть по теории возмущений.
При таком допущении в отсутствие возмущения решением уравнения (28.32) являются плоские волны де Бройля чре (х) — з ма 1 » /у (28.33) Здесь Е =Фа — нормировочная длина, равная области, соответствующей размерам кристалла. При этом энергия электрона имеет вид алла Ее (й) = з (й) = —. 2гна ' (28.34) и весь энергетический спектр является непрерывным. ') Зонная структура энергетического спектра характерна для любого уравнения (определяющего собственные аначения), остающегося ннвариант. ныы относительно трансляции решетки.
тсо) ия многих частиц (ч ги Далее применим метод теории возмущений, согласно которому поправки к волновой функции и к энергии имеют вид (см. (8,22), (8.33) ) ф„(х) = фо (х) + ~~ " 3 $0,(х), ~ н Е (й) = е (й) + Ро+ Х е (0) — 0 (0') ' (28.35) При этом мы учитываем поправки к энергии второго порядка теории возмущений, так как поправка первого порядка 1'0, равная диагональному матричному элементу (У0 = ))аа), не зависит от л и приводит лишь к незначительному сдвигу всех значений энергии на одинаковую величину. Этот сдвиг мы в дальнейшем не будем принимать во внимание, полагая 1)0 —— О. Заметим далее, что недиагональные члены выражения для матричных элементов (28.36) содержат под знаком интеграла периодическую функцию.
Очевидно, что такие интегралы будут отличны от нуля только в том случае, если экспоненты име)от ту же периодичность, что и функция У(х), т. е. а. Тогда должно выполняться условие Е)(аг м)(а+а) Е((0-м)а Ф или Е((0-и) а Другими словами, матричные элементы оператора потенциаль. ной энергии (28.36) дают отличный от нуля вклад только в том случае, если й — й'= — =О, т= ~1, ~2, ... (28.37) Напомним, что вектор 6 связан с вектором обратной решетки соотношением (28.15).
С учетом этих замечаний для энергии Е(л) в (28.35) мы получаем следующее выражение: Е(л) =в(и)+ ~ „, ', . (28.38) )ааа 0 — а' — (а —— 2то а Здесь матричные элементы оператора потенциальной энергии равны $г ~ (1)0+ $У())0 0(х — ~ е) (0-0') а$' (х) ()х (28.36) à — т,) 0 э гз1 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА АЕЗ Нетрудно заметить, что в этом выражении есть быстро растущие члены суммы, для которых знаменатель близок к нулю.
Б слу чае, если (28 8э) 2ят Хз иш 0 а ) а 2' (из= ~1, ~2, ...), А=:ЬВ. (28.43) Отсюда следует, что на границах зон Бриллюэна энергия тер- пит разрыв, причем величина разрыва оказывается конечной ЬЕ= 2~ )г„ а ' а (28. 44) ") Просьбе не путать термины: зоны Бриллюзнз, относящиеся к обратной яш Г решетке и н одномерном случае определяемые соотношением Й вЂ” ~пери и мч изя зоиз простирается от — — до †), и знергетичесиие зоны — полосы а а)' резрешеиных и запрещенных зизчениа зиергии. метод теории возмущений, которому мы следовали, неприменим.
Полученные нами формулы справедливы только вдали от границ зон Бриллюэна *) й = ~~, которые, как мы сейчас покажем, оказываются точками разрыва функции Е(й). Для того чтобы получить результаты, справедливые вблизи от точек разрыва, т. е. вблизи от границ зон Брнллюэна, учтем неоднозначность определения квазиимпульса (28.14). Тогда в нулевом приближении задача оказывается вырожденной„ ибо состояния трое (х) и фее о(х) относятся к одному и тому же значению энергии. Таким образом, в нулевом приближении мы имеем Е'(й) = е(й) = —, фее (х) = Афа (х) + Вф о (х), (28.40) азФР2ше ' где А и  — произвольные коэффициенты„ а фз(х) — плоские волны фз (х) = — е"" 3 д- (28.41) Прн фиксированном значении т задача имеет двукратное вырождение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
