А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 6
Текст из файла (страница 6)
äë� ëþáû� äâó� ëîòåðå� L1 , L2 î� ìîæå� óêàçàòü, êàêî� è� ñîîòíîøåíè� ( ïðè÷å� òîëüê� îäíî) âûïîëíÿåòñÿ: L1 � L2 (L1 ïðåäïî÷òèòåëüíå� L2 ), L2 � L1 èë� L1 ∼ L2 (ëîòåðå� ýêâèâàëåíòíû). Ïóñò� ýò� ñîîòíîøåíè� óäîâëåòâîðÿþ� ñëåäóþùè� (äîâîëüí� åñòåñòâåííûì) àêñèîìàì: I. Åñë� L1 � L2 � L2 � L3 , ò� L1 � L3 . II. Åñë� L1 ∼ L2 � L2 ∼ L3 , ò� L1 ∼ L3 . III. Åñë� L1 ∼ L2 � L2 � L3 , ò� L1 � L3 . IV.
Åñë� L1 � L2 � L2 ∼ L3 , ò� L1 � L3 . V. Ëîòåðåè, êîòîðû� ñîîòâåòñòâóå� îäèíàêîâî� ðàñïðåäåëåíè� âåðîÿòíîñòåé, ÿâëÿþòñ� ýêâèâàëåíòíûìè. Ïóñò� L1 , L2 − äâ� ëîòåðåè, 0 ≤ r ≤ 1. Îáîçíà÷è� ÷åðå� rL1 + (1 − r)L2 ëîòåðåþ, � êîòîðî� c âåðîÿòíîñòü� r ðàçûãðûâàåòñ� ëîòåðå� L1 , � � âåðîÿòíîñòü� 1 − r − ëîòåðå� L2 . 26 3. Ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã�È� àêñèîì� V âûòåêàåò, ÷ò� äë� ëþáû� ëîòåðå� L1 , L2 , L3 � âåðîÿòíîñòå� r, s ñïðàâåäëèâ� ñîîòíîøåíè� rL1 + (1 − r)L2 ∼ (1 − r)L2 + rL1 , rL1 + (1 − r)(L2 + (1 − s)L3 ) ∼ rL1 + (1 − r)L2 + (1 − r)(1 − s)L3 . V I.
Åñë� L1 ∼ L2 (L1 � L2 ), ò� äë� ëþáî� ëîòåðå� L3 � ëþáî� âåðîÿòíîñò� r > 0 âûïîëíåí� ñîîòíîøåíè� rL1 + (1 − r)L3 ∼ rL2 + (1 − r)L3 (rL1 + (1 − r)L3 � rL2 + (1 − r)L3 ). V II. Åñë� L1 � L2 � L3 , ò� íàéäåòñ� òàêà� âåðîÿòíîñò� r, ÷ò� rL1 + (1 − r)L3 ∼ L2 .
Àêñèîì� V II ïîõîæ� í� òåîðåì� � ïðîìåæóòî÷íî� çíà÷åíè� äë� íåïðåðûâíî� ôóíêöè� í� îòðåçê� � îçíà÷àåò, ÷ò� îòíîøåíè� ïðåäïî÷òåíè� íåïðåðûâí� � íåêîòîðî� ñìûñëå. Ïóñòü, íàêîíåö, ñïðàâåäëèâ� àêñèîì� V III. Åñë� Al > Ah , ò� (Al ; 1) � (Ah ; 1). Ëåìì� 3.3. Ïóñò� í� ìíîæåñòâ� ëîòåðå� ïðåäïî÷òåíè� èíäèâèäóóì� óäîâëåòâîðÿå� àêñèîìà� I − V III � L1 � L2 . Òîãä� äë� ëþáû� âåðîÿòíîñòå� β < α âûïîëíåí� ñîîòíîøåíè� αL1 + (1 − α)L2 � βL1 + (1 − β)L2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ï� àêñèîì� V I ïð� L3 = L2 ïîëó÷àå� αL1 + (1 − α)L2 � L2 . Ïðåäñòàâè� β � âèä� β = γα, ãä� γ ∈ [0, 1).
Òîãä� ï� àêñèîìà� V I � V αL1 + (1 − α)L2 � γ(αL1 + (1 − α)L2 ) + (1 − γ)L2 ∼∼ γαL1 + [γ(1 − α) + 1 − γ]L2 ∼ βL1 + (1 − β)L2 .Òåîðåì� 3.4. Ïð� âûïîëíåíè� óêàçàííû� àêñèî� I −V III ñóùåñòâóå� ôóíêöè� ïîëåçíîñò� u(L), îïðåäåëåííà� í� ìíîæåñòâ� ëîòåðå� âèä� (A1 , ..., Ak ; x1 , ..., xk ) � òàêàÿ, ÷ò� âûïîëíåí� ñëåäóþùè� ñâîéñòâà: 1) Äë� ëþáû� ëîòåðå� L1 , L2 u(L1 ) > u(L2 ) ⇔ L1 � L2 . kP2) Äë� ëþáî� ëîòåðå� L = (A1 , ..., Ak ; x1 , ..., xk ) u(L) = xl u(Al ). l=1 3) Ôóíêöè� u(A; 1) ìîíîòîíí� âîçðàñòàå� ï� A.
Áîëå� òîãî, ýò� ôóíêöè� åäèíñòâåíí� � òî÷íîñòü� ä� ëèíåéíîã� ïðåîáðàçîâàíèÿ: åñë� äðóãà� ôóíêöè� v(L) óäîâëåòâîðÿå� òå� æ� ñâîéñòâà� 1)−3), ò� ñóùåñòâóþ� òàêè� êîíñòàíò� c > 0 � b, ÷ò� äë� ëþáî� ëîòåðå� L v(L) = cu(L) + b. Óòâåðæäåíè� òåîðåì� îçíà÷àåò, ÷ò� äë� êàæäîã� èíäèâèäóóì� (ïð� âûïîëíåíè� àêñèî� I − V III ) ñóùåñòâóå� ìîíîòîííî� ïðåîáðàçîâàíè� 27ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�ôóíêöè� âûèãðûøà, êîòîðî� ïîçâîëÿå� îöåíèâàò� ëþáó� ëîòåðåþ, èñõîä� è� ìàòåìàòè÷åñêîã� îæèäàíè� âûèãðûøà. � ÷àñòíîñòè, åñë� � ìàòðè÷íî� èãð� âçÿò� ïðåîáðàçîâàííó� ôóíêöè� âûèãðûø� u(aij ), ò� ñëó÷àéíû� èñõî� ïð� èñïîëüçîâàíè� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� p � q ìîæí� m PnPîöåíèâàò� ï� ìàòåìàòè÷åñêîì� îæèäàíè� pi u(aij )qj .
Îòìåòèì, ÷ò� i=1 j=1 ôóíêöè� ïîëåçíîñò� u(L) − ñâî� äë� êàæäîã� èíäèâèäóóìà, ïîýòîì� èãð� � ïðåîáðàçîâàííûì� ìàòðèöàì� âûèãðûøå� (u1 (aij )) � (u2 (aij )) âïîëí� ìîæå� îêàçàòüñ� íåàíòàãîíèñòè÷åñêîé. Óïðàæíåíè� 3.3. Äîêàæèò� òåîðåì� 3.4. Óêàçàíèå. Áå� ïîòåð� îáùíîñò� ìîæí� ñ÷èòàòü, ÷ò� A1 � A2 � ... Ak . Ïîëîæè� u(A1 ) = r1 = 1, u(Ak ) = rk = 0, � âåëè÷èí� u(Al ) = rl , l = 2, ..., k − 1 îïðåäåëè� è� ñîîòíîøåíè� rl (A1 ) + (1 − rl )Al ∼ Al , 0 < rl < 1, èñïîëüçó� àêñèîì� V II. � ïîìîùü� ëåìì� 3.3 ïîêàæèòå, ÷ò� ôóíêöè� kPu(L) = u(A1 , ..., Ak ; x1 , ..., xk ) = xl rll=1óäîâëåòâîðÿå� âñå� óòâåðæäåíèÿ� òåîðåìû. 4.
Ñâîéñòâ� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� � äàííî� ïàðàãðàô� ðàññìàòðèâàþòñ� ñâîéñòâ� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� ìàòðè÷íû� èã� � íåïðåðûâíû� èã� í� ïðÿìîóãîëüíèêå. Ýò� ñâîéñòâ� � ÷àñòíû� ñëó÷àÿ� ïîçâîëÿþ� íàõîäèò� îïòèìàëüíû� ñìåøàííû� ñòðàòåãèè. Òåîðåì� 4.1. Äë� òîã� ÷òîá� òðîéê� (ϕ0 , ψ 0 , v) áûë� ðåøåíèå� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� íåïðåðûâíî� èãð� Γ, íåîáõîäèì� � äîñòàòî÷íî, ÷òîá� áûë� âûïîëíåí� óñëîâè� F (x, ψ 0 ) ≤ v ≤ F (ϕ0 , y) ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y.
(∗) Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñò� (ϕ0 , ψ 0 , v) − ðåøåíè� íåïðåðûâíî� èãð� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Òîãä� v = F (ϕ0 , ψ 0 ) � ï� îïðåäåëåíè� ñåäëîâî� òî÷ê� F (ϕ, ψ 0 ) ≤ F (ϕ0 , ψ 0 ) = v ≤ F (ϕ0 , ψ) ∀ ϕ ∈ {ϕ}, ∀ ψ ∈ {ψ}. Âîçüìå� � ïîñëåäíè� íåðàâåíñòâà� âìåñò� ϕ � ψ ÷èñòû� ñòðàòåãè� x � y. � ðåçóëüòàò� ïîëó÷è� óñëîâè� (∗). 28 4. Ñâîéñòâ� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ�Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñò� äë� òðîéê� (ϕ0 , ψ 0 , v) âûïîëíåí� óñëîâè� (∗).
Ïðîèíòåãðèðóå� ïåðâî� íåðàâåíñòâ� ýòîã� óñëîâè� ï� ëþáî� ñòðàòåãè� ϕ, � âòîðî� − ï� ëþáî� ñòðàòåãè� ψ � ïîëó÷è� F (ϕ, ψ 0 ) ≤ v ≤ F (ϕ0 , ψ) ∀ ϕ ∈ {ϕ}, ∀ ψ ∈ {ψ}. Ïîäñòàâëÿÿ, � ÷àñòíîñòè, ϕ = ϕ0 � ψ = ψ 0 , íàõîäèì, ÷ò� F (ϕ0 , ψ 0 ) = v � ïàð� (ϕ0 , ψ 0 ) − ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (ϕ, ψ) í� {ϕ} × {ψ}. Îòìåòèì, ÷ò� òåîðåì� 4.1 ñïðàâåäëèâ� äë� ïðîèçâîëüíû� ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èãð. Ñôîðìóëèðóå� àíàëîãè÷íó� òåîðåì� äë� ìàòðè÷íû� èãð.
Òåîðåì� 4.1 0 . Äë� òîã� ÷òîá� òðîéê� (p0 , q 0 , v) áûë� ðåøåíèå� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� èãð� � ìàòðèöå� A, íåîáõîäèì� � äîñòàòî÷íî, ÷òîá� áûë� âûïîëíåí� óñëîâè� A(i, q 0 ) ≤ v ≤ A(p 0 , j), i = 1, ...m, j = 1, ..., m. (∗) Óïðàæíåíè� 4.1. Äîêàæèò� òåîðåì� 4.1 0 . Îòìåòèì, ÷ò� ïðîâåðê� âûïîëíåíè� óñëîâè� (∗) òåîðåì� 4.1 � ñâîäèòñ� � ïîäñ÷åò� ñêàëÿðíû� ïðîèçâåäåíè� âåêòîð� p0 í� ñòîëáöû, � òàêæ� âåêòîð� q 0 í� ñòðîê� ìàòðèö� A � ñðàâíåíè� è� � ÷èñëî� v.
Ïðèìå� 4.1. Ïóñò� ìàòðèö� èãð� ⎛ c1 c2 cn c1 A = ⎝ ... ... c2 ... − öèêëè÷åñêàÿ: ... cn ... cn−1 .... ... ⎠cn c1 Ïîêàæåì, ÷ò� p0 = q 0 = (1/n, ..., 1/n), v = nPk=1 ck /n − ðåøåíè� èãð� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâè� (∗) çäåñ� âûïîëíåíî, ïîñêîëüê� âñ� íåðàâåíñòâ� � íå� âûïîëíåí� êà� ðàâåíñòâà. � êà÷åñòâ� êîíêðåòíîã� ïðèìåð� ðàññìîòðè� èãð� "ìåøîê, êàìåíü, íîæíèöû"� ìàòðèöå� M KH⎛⎞M 01 −10 1 ⎠.A = K ⎝ −1H 1 −10 29 ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�Ìîæí� äàò� ñëåäóþùó� èíòåðïðåòàöè� ýòî� èãðû. Äâî� âûáèðàþ� îäè� è� òðå� ïðåäìåòîâ: ìåøîê, êàìåí� èë� íîæíèöû.
Êàæäû� ïðåäìå� ïðîòè� ñàìîã� ñåá� íèêàêîã� âûèãðûø� í� äàåò, ïîýòîì� í� äèàãîíàë� ñòîÿ� 0. Íîæíèö� òóïÿòñ� � êàìåíü, ïîýòîì� îí� ïðîèãðûâàþ� êàìí� 1, � òî� � ñâî� î÷åðåä� âûèãðûâàå� � íîæíè� 1. Êàìåí� ìîæí� ïîìåñòèò� � ìåøîê, ïîýòîì� ìåøî� âûèãðûâàå� � êàìí� 1, � êàìåí� ïðîèãðûâàå� ìåøê� 1. Íîæíèö� ðåæó� ìåøîê, ïîýòîì� îí� âûèãðûâàþ� � ìåøê� 1, � ìåøî� ïðîèãðûâàå� íîæíèöà� 1. Óïðàæíåíè� 4.2. Ïóñò� B − ìàòðèöà, ïîëó÷åííà� ïðèáàâëåíèå� êîíñòàíò� c ê� âñå� ýëåìåíòà� ìàòðèö� A. Ïîêàçàòü, ÷ò� çíà÷åíè� ñîîòâåòñòâóþùè� ìàòðè÷íû� èã� ñâÿçàí� ñîîòíîøåíèå� v(B) = v(A) + c, � îïòèìàëüíû� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� èãðîêî� ñîâïàäàþò.
Ïðèìå� 4.2. Ïðîäàâå� âûñòàâëÿå� í� ïðîäàæ� òð� ïðåäìåòà, í� ïðåäñòàâëÿþùè� äë� íåã� îñîáî� öåííîñò� (ñòàðû� òåëåâèçîð� � ò.ï.). Î� ãîòî� è� ïðîäàò� äàæ� ç� íåçíà÷èòåëüíó� öåíó. Èìåþòñ� äâ� ïîêóïàòåë� (èãðîêà), ðàñïîëàãàþùè� îäèíàêîâûì� ñóììàì� äåíå� A. Èãðî� ñòàíîâèòñ� îáëàäàòåëå� ïðåäìåòà, åñë� ïðåäëàãàå� ç� íåã� ñóììó, áóëüøóþ, ÷å� ïàðòíåð. Öåë� ïåðâîã� èãðîê� ñîñòîè� � ïîêóïê� äâó� êàêèõ-ëèá� ïðåäìåòî� è� òðåõ.
Öåë� âòîðîã� èãðîê� − âîñïðåïÿòñòâîâàò� ýòîìó. 3PÏóñò� x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ X = {x | xi = A, x1 , x2 , x3 ≥ 0} − i=1 ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà, ñîñòîÿùà� � ïðåäëîæåíè� ñóìì� xi ç� i-û� ïðåäìåò. Àíàëîãè÷íó� ñòðàòåãè� y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ Y = X èñïîëüçóå� âòîðî� èãðîê. Áóäå� ïèñàò� x � y, åñë� êàêèå-ëèá� äâ� êîìïîíåíò� âåêòîð� x áîëüø� ñîîòâåòñòâóþùè� êîìïîíåí� âåêòîð� y . Îïðåäåëè� ôóíêöè� âûèãðûø� ïåðâîã� èãðîê� � 1, x � y, F (x, y) = 0, � ïðîòèâíî� ñëó÷àå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
