А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 4
Текст из файла (страница 4)
È� ïåðâî� ÷àñò� äîêàçàòåëüñòâ� âûòåêàåò, ÷ò� äë� ñóùåñòâîâàíè� ñåäëîâî� òî÷ê� âìåñò� ñòðîãî� âûïóêëîñò� ôóíêöè� F (x, y) ï� ïåðåìåííî� y äîñòàòî÷í� ïîòðåáîâàò� ïð� ëþáî� x ∈ X åäèíñòâåííîñò� íàèëó÷øåã� îòâåò� y(x) âòîðîã� èãðîêà. Åñë� ïîñëåäíå� óñëîâè� í� âûïîëíåíî, ò� ïàð� (x∗ , y ∗ ), ãä� y ∗ ∈ Y (x∗ ), ìîæå� í� áûò� ñåäëîâî� òî÷êîé. Íàïðèìåð, äë� ôóíêöè� F (x, y) = xy í� X × Y = [0, 1] × [0, 1] ïàð� (x∗ , y ∗ ) = (0, 1) ñåäëîâî� òî÷êî� í� ÿâëÿåòñÿ.
Ïðèìå� 2.6. X = Y = [0, 1], F (x, y) = −x2 +y 3 +xy 2 −4y. Çäåñ� ôóíêöè� F (x, y) âûïóêë� ï� y � ñòðîã� âîãíóò� ï� x. Ôóíêöè� íàèëó÷øåã� îòâåò� ïåðâîã� èãðîê� − x(y) = y 2 /2 � M (y) = max F (x, y) = F (x(y), y) = y 4 /4 + y 3 − 4y. 0≤x≤1 Ïðîèçâîäíà� M 0 (y) = y 3 + 3y 2 − 4 îáðàùàåòñ� � íóë� � òî÷êà� 1,−2.
Îòñþä� y 0 = 1 − ìèíèìàêñíà� ñòðàòåãè� � x(y 0 ) = 1/2. Ñëåäîâàòåëüíî, (1/2, 1) − ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). 3. Ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã� � ïðåäûäóùå� ïàðàãðàô� ïðèâîäèëñ� ïðèìå� àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãðû, í� èìåþùå� ðåøåíè� ("îðëÿíêà"). Èãðàò� � ïîäîáíû� èãð� âåñüì� íåïðîñòî. Ïðîèãðàâøåì� èãðîê� êàæäû� ðà� õî÷åòñ� ñìåíèò� ñâî� ñòðàòåãèþ, í� î� áóäå� áîÿòüñ� ýò� ñäåëàò� (� âäðó� ïàðòíå� äîãàäàåòñÿ?). Òåîðè� èã� ïðåäëàãàå� èãðîêà� èñïîëüçîâàò� ñìåøàííû� ñòðàòåãèè.
Îïðåäåëåíèå. Ñìåøàííî� ñòðàòåãèå� ïåðâîã� èãðîê� � èãð� Γ íàçûâàåòñ� âåðîÿòíîñòíî� ðàñïðåäåëåíè� ϕ í� ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� X. Äë� ïåðâîã� èãðîê� ïðèìåíèò� ñìåøàííó� ñòðàòåãè� ϕ − ýò� âûáðàò� ñòðàòåãè� x ∈ X êà� ðåàëèçàöè� ñëó÷àéíî� âåëè÷èíû, èìåþùå� çàêî� ðàñïðåäåëåíè� ϕ. Äàëå� ðàññìàòðèâàþòñ� òð� âèä� ñìåøàííû� ñòðàòåãèé.
1) Ïóñò� X = {1, ..., m}, êà� ýò� èìåå� ìåñò� � ìàòðè÷íî� èãðå. Òîãä� âìåñò� ϕ äë� îáîçíà÷åíè� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� áóäå� èñïîëüçîâàò� "âåðîÿòíîñòíûé"âåêòî� p = (p1 , ..., pm ), óäîâëåòâîðÿþùè� îãðàíè÷åíèÿ� 17ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�m� pi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., m. Åñë� ïðèìåíÿåòñ� p, ò� ñòðàòåãè� i âûáèi=1 ðàåòñ� � âåðîÿòíîñòü� pi . Íàïðèìåð, � èãð� "îðëÿíêà"îïûòíû� èãðîê� èñïîëüçóþ� ñìåøàííó� ñòðàòåãè� p0 = (1/2, 1/2), ïîäáðàñûâà� ìîíåò� � âûáèðà� "îðåë"èë� "ðåøêó"� çàâèñèìîñò� ðåçóëüòàò� áðîñàíèÿ. Âîîáùå, îäí� è� âîçìîæíû� ðåàëèçàöè� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� − ýò� áðîñàíè� ìîíåò. � ïîìîùü� îäíîã� áðîñàíè� îäíî� ìîíåò� ìîæí� îñóùåñòâèò� òîëüê� âåðîÿòíîñò� 1/2.
� ïîìîùü� äâó� ìîíå� èë� äâóêðàòíîã� áðîñàíè� îäíî� ìîíåò� ìîæí� óæ� ðåàëèçîâàò� âåðîÿòíîñò� 1/2, 1/4 � 3/4. ßñíî, ÷ò� áðîñàíèå� íåñêîëüêè� ìîíå� èë� ìíîãîêðàòíû� áðîñàíèå� îäíî� ìîíåò� ìîæí� ðåàëèçîâàò� øèðîêè� ñïåêò� âåðîÿòíîñòåé. Äðóãî� âîçìîæíû� � áîëå� óäîáíû� ñïîñî� ðåàëèçàöè� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� − èñïîëüçîâàò� ðóëåòêó. Äåëè� êðó� ðóëåòê� í� ñåêòîð� � ïëîùàäÿìè, ïðîïîðöèîíàëüíûì� çàäàííû� âåðîÿòíîñòÿ� èñïîëüçîâàíè� ÷èñòû� ñòðàòåãèé.
Çàòå� âðàùàå� ñòðåëê� � èñïîëüçóå� ò� ñòðàòåãèþ, � ñåêòîð� êîòîðî� îí� îñòàíîâèòñÿ. 2) Ïóñò� X = [a, b], êà� ýò� èìåå� ìåñò� � íåïðåðûâíî� èãð� í� ïðÿìîóãîëüíèêå. Çäåñ� ñìåøàííà� ñòðàòåãè� − ôóíêöè� ðàñïðåäåëåíè� ϕ í� îòðåçê� [a, b]. Ïðèìå� 3.1. Ïóñò� X = [0, 1], c(x) − íåóáûâàþùà� äèôôåðåíöèðóåìà� ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííà� í� îòðåçê� [1/2, 1] � óäîâëåòâîðÿþùà� óñëîâèÿ� c(1/2) = 1/2, c(1) = 1. Îïðåäåëè� ôóíêöè� ðàñïðåäåëåíè� 0, ⎨ 1/4, ϕ0 (x) = c(x), ⎩1, −∞ < x < 0,0 ≤ x < 1/2,1/2 ≤ x ≤ 1,1 < x < +∞.Èíòåãðà� Ñòèëòüåñ� î� íåïðåðûâíî� ôóíêöè� h(x) ï� ôóíêöè� ðàñïðåäåëåíè� ϕ0 (x) âû÷èñëÿåòñ� ï� ôîðìóë� Z1 11 h(x)dϕ0 (x) = h(0) + h(1/2) + 44 0Z1 h(x)c0 (x)dx.
1/2 3) Ïóñò� X − âûïóêëû� êîìïàê� åâêëèäîâ� ïðîñòðàíñòâà. Çäåñ� ïðèìåðî� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� ìîæå� ñëóæèò� âåðîÿòíîñòíà� ìåðà, ñîñðå18 3. Ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã�äîòî÷åííà� � êîíå÷íî� ÷èñë� òî÷åê: ϕ(x) = mXpi Ix(i) (x),i=1 mXpi = 1, pi ≥ 0, x(i) ∈ X, i = 1, ..., m, i=1 ãä� � 1, x = x(i) ,Ix(i) (x) = 0, x = 6 x(i) . Îòìåòèì, ÷ò� äë� ëþáîã� áîðåëåâñêîã� ìíîæåñòâ� B ϕ(B) = Ppi .
i:x(i) ∈B Ïð� èñïîëüçîâàíè� ìåð� ϕ ñòðàòåãè� x(i) âûáèðàåòñ� � âåðîÿòíîñòü� pi . Èíòåãðà� î� íåïðåðûâíî� ôóíêöè� h(x) ï� ðàññìàòðèâàåìî� ìåð� èìåå� âè� � mXh(x)dϕ(x) = pi h(x(i) ). i=1X Îáîçíà÷è� ÷åðå� {ϕ} − ìíîæåñòâ� âñå� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîê� í� ìíîæåñòâ� X. Ìîæí� ñ÷èòàòü, ÷ò� X ⊂ {ϕ}. Äåéñòâèòåëüíî, � ïîñëåäíå� ñëó÷à� ñòðàòåãè� x ìîæí� îòîæäåñòâèò� � âåðîÿòíîñòíî� ìåðî� Ix . Åñë� ìíîæåñòâ� X êîíå÷íî, ò� âûáî� i ýêâèâàëåíòå� âûáîð� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� p = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), ãä� åäèíèö� ñòîè� í� i-� ìåñòå, � ïð� X = [a, b] ñòðàòåãè� x ∈ [a, b] ìîæí� îòîæäåñòâèò� � ôóíêöèå� ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùå� ñêà÷î� 1 � òî÷ê� x.
Ìíîæåñòâ� X áóäå� íàçûâàò� ìíîæåñòâî� ÷èñòû� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîê� (� ïðîòèâîâå� ñìåøàííûì). Çàéìåìñ� ïîñòðîåíèå� ñìåøàííîã� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãð� Γ = X, Y, F (x, y) . Ì� îïðåäåëèë� ìíîæåñòâ� {ϕ} ñìåøàííû� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà. Àíàëîãè÷íî, ïóñò� {ψ} − ìíîæåñòâ� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� âòîðîã� èãðîêà, ò.å.
âåðîÿòíîñòíû� ðàñïðåäåëåíè� ψ í� ìíîæåñòâ� Y åã� ÷èñòû� ñòðàòåãèé. Ïð� çàäàííû� ñòðàòåãèÿ� ϕ � ψ ìàòåìàòè÷åñêî� îæèäàíè� âûèãðûø� ïåðâîã� èãðîê� îïðåäåëÿåòñ� ôîðìóëî� Z � F (ϕ, ψ) = F (x, y)dϕ(x)dψ(y). X Y Çäåñ� ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷ò� äâîéíî� èíòåãðà� ñóùåñòâóåò. Îïðåäåëåíèå. Àíòàãîíèñòè÷åñêà� èãð� Γ = {ϕ}, {ψ}, F (ϕ, ψ) 19 ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�íàçûâàåòñ� ñìåøàííû� ðàñøèðåíèå� èãð� Γ.
Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíè� (ϕ0 , ψ 0 , v = F (ϕ0 , ψ 0 )) èãð� Γ íàçûâàåòñ� ðåøåíèå� èñõîäíî� èãð� Γ � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Ïð� ýòî� ϕ0 , ψ 0 íàçûâàþòñ� îïòèìàëüíûì� ñìåøàííûì� ñòðàòåãèÿì� èãðîêîâ, � v − çíà÷åíèå� èãð� Γ. Äàëå� áóäó� ïîñòðîåí� ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� ìàòðè÷íû� � íåïðåðûâíû� èã� � áóäå� ïîêàçàíî, ÷ò� ýò� èãð� âñåãä� èìåþ� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ.
Íàïîìíèì, ÷ò� ìàòðè÷íà� èãð� Γ çàäàåòñ� ìàòðèöå� A = (aij )m×n . Ìíîæåñòâ� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîê� − P = {p = (p1 , ..., pm ) | mXpi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., m}, i=1 ìíîæåñòâ� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� âòîðîã� èãðîê� − Q = {q = (q1 , ..., qn ) | nXqj = 1, qj ≥ 0, j = 1, ..., n}, j=1 � ìàòåìàòè÷åñêî� îæèäàíè� âûèãðûø� ïåðâîã� èãðîê� − A(p, q) = m XnXpi aij qj . i=1 j=1 Òàêè� îáðàçîì, Γ = P, Q, A(p, q) − ñìåøàííî� ðàñøèðåíè� ìàòðè÷íî� èãð� Γ. Òåîðåì� 3.1 (Îñíîâíà� òåîðåì� ìàòðè÷íû� èãð).
Âñÿêà� ìàòðè÷íà� èãð� èìåå� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷í� äîêàçàò� ,÷ò� ôóíêöè� A(p, q) èìåå� ñåäëîâó� òî÷ê� í� P ×Q. Ìíîæåñòâ� P, Q − ìíîãîãðàííèê� åâêëèäîâû� ïðîñòðàíñòâ, � ôóíêöè� A(p, q) áèëèíåéí� � ïîýòîì� íåïðåðûâí� í� P ×Q, âîãíóò� ï� p � âûïóêë� ï� q . Ï� òåîðåì� 2.3 ôóíêöè� A(p, q) èìåå� í� P × Q ñåäëîâó� òî÷êó. Óïðàæíåíè� 3.1. Ïîêàæèòå, ÷ò� òðîéê� (p0 , q 0 , v) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2), 0) − ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� èãð� "îðëÿíêà". Îòìåòè� òèïè÷íû� ñëó÷àè, êîãä� ïðèìåíÿþòñ� ñìåøàííû� ñòðàòåãèè. 20 3. Ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã�1) Èãð� ïîâòîðÿåòñ� ìíîã� ðàç. � ýòî� ñëó÷à� ç� áîëüøî� ÷èñë� ïîâòîðåíè� èãð� ñðåäíè� âûèãðû� ïåðâîã� èãðîêà, èñïîëüçóþùåã� îïòèìàëüíó� ñìåøàííó� ñòðàòåãèþ, áóäå� áëèçî� � çíà÷åíè� èãð� èë� áóäå� ïðåâûøàò� åãî.
2) Ñìåøàííà� ñòðàòåãè� ðåàëèçóåòñ� � âèä� "ôèçè÷åñêî� ñìåñè"÷èñòû� ñòðàòåãèé. ×ò� ýò� îçíà÷àåò, ïîÿñíè� í� ïðèìåðàõ. Ïðèìå� 3.2. Èãð� ïðîòè� ïðèðîäû. Ôåðìå� (èãðî� 1 ) èìåå� ó÷àñòî� çåìëè, êîòîðû� ìîæí� çàñåÿò� òðåì� ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûì� êóëüòóðàìè. Ãî� ìîæå� áûò� íîðìàëüíûì, çàñóøëèâû� � äîæäëèâû� (ýò� òð� ñòðàòåãè� èãðîê� 2 − ïðèðîäû). Ïóñò� H = (hij )3×3 − ìàòðèö� óðîæàéíîñòè, � bi − öåí� ç� åäèíèö� ïðîäóêöè� i-ã� âèäà. Òîãä� A = (bi hij )3×3 −ìàòðèö� èãðû, ãä� âûèãðû� ôåðìåð� − ñòîèìîñò� ïðîèçâåäåííî� ïðîäóêöèè.
Ïóñò� p0 = (1/2, 1/4, 1/4) − îïòèìàëüíà� ñìåøàííà� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà. Ðåàëèçîâàò� å� ìîæíî, çàñåÿ� ïîëîâèí� ó÷àñòê� ïåðâî� êóëüòóðîé, � îñòàâøèåñ� äâ� ÷åòâåðò� − âòîðî� � òðåòüå� êóëüòóðàìè. Ïðèìå� 3.3. Íåêîòîðà� ñòðàí� (èãðî� 1) èñïîëüçóå� òð� òèï� èñòðåáèòåëå� äë� áîðüá� � ñàìîëåòàì� ïðîòèâíèê� (èãðîê� 2). Åñë� èñòðåáèòåë� òèï� i ïåðâîã� èãðîê� âñòðå÷àåòñ� � ñàìîëåòî� òèï� j âòîðîã� èãðîêà, ò� î� ïîáåæäàå� ïðîòèâíèê� � âåðîÿòíîñòü� aij . Ñìåøàííà� ñòðàòåãè� p0 = (1/2, 1/4, 1/4) ïåðâîã� èãðîê� ìîæå� áûò� ðåàëèçîâàí� � âèä� ïàðê� èñòðåáèòåëå� � ïðîïîðöèÿì� òèïî� 2:1:1. 3) Ñìåøàííû� ñòðàòåãè� ìîæí� ïðèìåíÿò� � ïð� îäíîêðàòíî� ïîâòîðåíè� èãðû, êîãä� èãðî� äåéñòâóå� � óñëîâèÿ� ðèñêà. Ïð� ýòî� íåîáõîäèì� âûèãðûø� çàìåíèò� í� è� "ïîëåçíîñòè", ó÷èòûâàþùè� îòíîøåíè� èãðîê� � ðèñêó.
Ïðèìå� Ïóñò� èãðî� âûíóæäå� îäè� ðà� ñûãðàò� � èãð� � ìàòðè 3.4. 10 0öå� A = . Âûèãðûøà� 10 � 0 ïðèïèøå� ïîëåçíîñò� 1 � 0. Îïðå0 5 äåëè� ïîëåçíîñò� âûèãðûø� 5. Ïóñò� � íåêîòîðî� ëîòåðå� âûèãðû� 10 îæèäàåòñ� � âåðîÿòíîñòü� 0 < a < 1. Ïåðâîì� èãðîê� ïðåäëàãàåòñ� âûáðàò� òàêî� çíà÷åíè� a, ïð� êîòîðî� èãðî� ñîãëàñå� êóïèò� ëîòåðåéíû� áèëå� ï� öåí� 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
