А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 2
Текст из файла (страница 2)
x∈Xy∈Y Ïîíÿòè� ñåäëîâî� òî÷ê� èñïîëüçóåòñ� � îïðåäåëåíè� ðåøåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãðû. Îïèøå� àíòàãîíèñòè÷åñêó� èãðó. � íå� ïðèíèìàþ� ó÷àñòè� äâ� èãðîê� 1 � 2 (ïåðâû� � âòîðîé). Èãðî� 1 âûáèðàå� ñòðàòåãè� x è� ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� X, èãðî� 2 âûáèðàå� ñòðàòåãè� y è� ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� Y. Íîðìàëüíà� ôîðì� èãð� ïîäðàçóìåâàåò, ÷ò� êàæäû� èãðî� âûáèðàå� ñâî� ñòðàòåãè� íåçàâèñèìî, í� çíà� âûáîð� ïàðòíåðà. Çàäàí� ôóíêöè� âûèãðûø� F (x, y) ïåðâîã� èãðîêà, îïðåäåëåííà� í� X × Y.
Âûèãðû� F (x, y) ïåðâîã� èãðîê� ÿâëÿåòñ� ïðîèãðûøå� äë� âòîðîãî. Öåë� ïåðâîã� èãðîê� ñîñòîè� � óâåëè÷åíè� ñâîåã� âûèãðûø� F (x, y), � öåë� âòîðîã� −� óìåíüøåíè� F (x, y). Òàêè� îáðàçîì, àíòàãîíèñòè÷åñêà� èãð� çàäàåòñ� íàáîðî� Γ = X, Y, F (x, y) . Òåðìèí� "âûèãðûø"� "èãðîê"ñëîæèëèñ� èñòîðè÷åñêè, êîãä� àíàëèçèðîâàëèñ� ïðåèìóùåñòâåíí� àçàðòíû� èãðû. Ýò� òåðìèí� í� ñîâñå� òî÷íûå. Íàïðèìåð, åñë� çíà÷åíè� F (x, y) < 0, ò� "âûèãðûø"ïåðâîã� èãðîê� ÿâëÿåòñ� ôàêòè÷åñê� åã� ïðîèãðûøåì.
Êðîì� òîãî, ðàññìàòðèâàþ� èãðû, ãä� F (x, y) ÿâëÿåòñ� í� äåíåæíû� âûèãðûøåì, à, ñêàæåì, âåðîÿòíîñòü� ïîðàæåíè� öåëè. Èãðî� 2 ìîæå� í� áûò� èíòåëëåêòóàëüíû� ïðîòèâíèêîì. ×àñò� ðàññìàòðèâàþ� èãð� ïðîòè� "ïðèðîäû". Âåðíåìñ� � îïðåäåëåíè� ñåäëîâî� òî÷êè, êîòîðî� ìîæí� ïðèäàò� ñëåäóþùè� èãðîâî� ñìûñë. Åñë� èãðîê� âûáðàë� � êà÷åñòâ� ñòðàòåãè� êîìïîíåíò� x0 , y 0 ñåäëîâî� òî÷êè, ò� êàæäîì� è� íè� íåâûãîäí� îòêëîíÿòüñ� î� âûáðàííî� ñòðàòåãèè. Ïîýòîì� ñåäëîâà� òî÷ê� ÿâëÿåòñ� ôîðìàëèçàöèå� êîíöåïöè� ðàâíîâåñè� � èãðå.
8 2. Ñåäëîâû� òî÷ê� � àíòàãîíèñòè÷åñêè� èãð�Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷ò� àíòàãîíèñòè÷åñêà� èãð� Γ èìåå� ðåøåíèå, åñë� ôóíêöè� F (x, y) èìåå� í� X × Y ñåäëîâó� òî÷êó. Ïóñò� (x0 , y 0 ) −ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). Òîãä� òðîéê� (x0 , y 0 , v = F (x0 , y 0 )) íàçûâàåòñ� ðåøåíèå� èãðû, x0 , y 0 − îïòèìàëüíûì� ñòðàòåãèÿì� èãðîêîâ, � v − çíà÷åíèå� èãðû. Ïîêàæåì, ÷ò� çíà÷åíè� èãð� í� çàâèñè� î� âûáîð� ñåäëîâî� òî÷êè. Ëåìì� 2.1.
Åñë� (x0 , y 0 ), (x∗ , y ∗ ) − äâ� ñåäëîâû� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y) í� X × Y, ò� F (x0 , y 0 ) = F (x∗ , y ∗ ). Äîêàçàòåëüñòâî. Íàðÿä� � (2.1), âûïèøå� àíàëîãè÷íû� íåðàâåíñòâ� äë� ñåäëîâî� òî÷ê� (x∗ , y ∗ ) F (x, y ∗ ) ≤ F (x∗ , y ∗ ) ≤ F (x∗ , y) ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y. (2.2) Èìåå� (2.2) (2.1) (2.1) (2.2) F (x∗ , y ∗ ) ≤ F (x∗ , y 0 ) ≤ F (x 0 , y 0 ) ≤ F (x 0 , y ∗ ) ≤ F (x∗ , y ∗ ).
Çäåñ� âñ� íåðàâåíñòâ� âûïîëíåí� êà� ðàâåíñòâà. Âàæíåéøè� êëàñ� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã� îáðàçóþ� ìàòðè÷íû� èãðû. Îïðåäåëåíèå. Àíòàãîíèñòè÷åñêà� èãð� Γ íàçûâàåòñ� ìàòðè÷íîé, åñë� ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� èãðîêî� êîíå÷íû: X = {1, ..., m}, Y = {1, ..., n}. Ïð� ýòî� ïðèíÿò� îáîçíà÷àò� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîê� ÷åðå� i, ñòðàòåãè� âòîðîã� ÷åðå� j, � âûèãðû� ïåðâîã� F (i, j) ÷åðå� aij .
Ìàòðèö� A = (aij )m×n íàçûâàåòñ� ìàòðèöå� èãðû. Ïåðâû� èãðî� âûáèðàå� � íå� íîìå� ñòðîê� i, � âòîðî� − íîìå� ñòîëáö� j . � îáîçíà÷åíèÿ� ìàòðè÷íî� èãð� (i0 , j 0 ) − ñåäëîâà� òî÷ê� ìàòðèö� A, åñë� aij 0 ≤ ai0 j 0 ≤ ai0 j , i = 1, ...m, j = 1, ..., n. 0 0 Ïðèìå� 2.1. A = . 0 4 Çäåñ� (1,1) � (2,1) − äâ� ñåäëîâû� òî÷ê� � çíà÷åíè� èãð� v ðàâí� íóëþ. Çàìåòèì, ÷ò� a12 = v , í� (1,2) í� ÿâëÿåòñ� ñåäëîâî� òî÷êî� ìàòðèöû. Ïðèìå� 2.2.
Èãð� "îðëÿíêà". Ïåðâû� èãðî� çàêëàäûâàå� ìîíåò� îðëî� (Î) èë� ðåøêî� (Ð), � âòîðî� ïûòàåòñ� îòãàäàòü. Åñë� âòîðî� èãðî� îòãàäàåò, ò� ïåðâû� ïëàòè� åì� åäèíèöó, åñë� í� îòãàäàåò, ò� − íàîáîðîò. 9ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�OP −11 . Íåòðóäí� âèäåòü, ÷ò� ýò� ìàòðèö� í� èìåå� 1 −1 O P ñåäëîâî� òî÷êè. Âåðíåìñ� � îáùåì� îïðåäåëåíè� ñåäëîâî� òî÷ê� � àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãðû.
Âîçíèêàþ� äâ� âîïðîñà. Êîãä� àíòàãîíèñòè÷åñêà� èãð� èìåå� ðåøåíèå, ò.å. êîãä� ôóíêöè� F (x, y) èìåå� ñåäëîâó� òî÷ê� í� X × Y ? Êà� èñêàò� ñåäëîâû� òî÷êè, åñë� èçâåñòíî, ÷ò� îí� ñóùåñòâóþò? Ðàññìîòðè� èãð� Γ � òî÷ê� çðåíè� ïåðâîã� èãðîêà. Ïóñò� î� âûáðà� ñòðàòåãè� x. ßñíî, ÷ò� åã� âûèãðû� áóäå� í� ìåíüøå, ÷å� inf F (x, y).
Çäåñ� A = y∈Y Âåëè÷èí� inf F (x, y) íàçîâå� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòàòî� (âûèãðûy∈Y øåì) äë� ïåðâîã� èãðîêà. Íàèëó÷øè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòà� äë� ïåðâîã� èãðîê� v = sup inf F (x, y) íàçûâàåòñ� íèæíè� çíà÷åíèå� èãðû. x∈X y∈Y Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãè� x0 ïåðâîã� èãðîê� íàçûâàåòñ� ìàêñèìèííîé, åñë� inf F (x0 , y) = v.
y∈Y Ðàññìîòðè� èãð� Γ � òî÷ê� çðåíè� âòîðîã� èãðîêà. Åñë� î� âûáðà� ñòðàòåãè� y, ò� äë� íåã� åñòåñòâåíí� ñ÷èòàò� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòàòî� âåëè÷èí� sup F (x, y). Ïðîèãðû� âòîðîã� èãðîê� áóäå� í� áîëüùå, x∈X ÷å� ýò� âåëè÷èíà.
Íàèëó÷øè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòà� äë� âòîðîã� èãðîê� v = inf sup F (x, y) íàçûâàåòñ� âåðõíè� çíà÷åíèå� èãðû. y∈Y x∈X Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãè� y 0 âòîðîã� èãðîê� íàçûâàåòñ� ìèíèìàêñíîé, åñë� sup F (x, y 0 ) = v. x∈X Ëåìì� 2.2. � ëþáî� àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãð� Γ ñïðàâåäëèâ� íåðàâåíñòâ� v ≤ v.� Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìå� ïðîèçâîëüíû� ñòðàòåãè� èãðîêî� x � y. Òîãä� inf F (x, y) ≤ F (x, y) ≤ sup F (x, y) ⇒ inf F (x, y) ≤ sup F (x, y). y∈Yy∈Yx∈X x∈X Ëåâà� ÷àñò� ïîñëåäíåã� íåðàâåíñòâ� çàâèñè� î� x, � ïðàâà� ÷àñò� − íåò.
1 Ýòîìóíåðàâåíñòâó ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ èíòåðïðåòàöèþ: "ëó÷øå áûòü ïëîõè� ñðåä� õîðîøèõ, ÷å� õîðîøè� ñðåä� ïëîõèõ". 10 2. Ñåäëîâû� òî÷ê� � àíòàãîíèñòè÷åñêè� èãð�Ïîýòîì� sup inf F (x, y) ≤ sup F (x, y) ∀ y ∈ Yx∈X y∈Y⇒ v ≤ v. x∈X Òåïåð� ñôîðìóëèðóå� íåîáõîäèìî� � äîñòàòî÷íî� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ñåäëîâî� òî÷ê� äë� ôóíêöè� äâó� ïåðåìåííûõ. Òåîðåì� 2.1. 1) Äë� òîã� ÷òîá� ôóíêöè� F (x, y) í� X × Y èìåë� ñåäëîâó� òî÷êó, íåîáõîäèì� � äîñòàòî÷íî, ÷òîá� áûë� âûïîëíåí� ðàâåíñòâ� max inf F (x, y) = min sup F (x, y). (2.3) x∈X y∈Yy∈Y x∈X 2) Ïóñò� âûïîëíåí� ðàâåíñòâ� (2.3).
Ïàð� (x0 , y 0 ) òîãä� � òîëüê� òîãä� ÿâëÿåòñ� ñåäëîâî� òî÷êîé, êîãä� x0 − ìàêñèìèííàÿ, � y 0 − ìèíèìàêñíà� ñòðàòåãè� èãðîêîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíè� 1) � 2) áóäå� äîêàçûâàò� îäíîâðåìåííî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñò� (x0 , y 0 ) − ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). Ïîêàæåì, ÷ò� âûïîëíåí� ðàâåíñòâ� (2. 3), � x0 , y 0 − ìàêñèìèííà� � ìèíèìàêñíû� ñòðàòåãèè.
Èìåå� v ≤ sup F (x, y 0 ) = F (x 0 , y 0 ) = v = inf F (x 0 , y) ≤ v ⇒ v ≤ v. y∈Y x∈XÍ� íåðàâåíñòâ� v ≤ v âåðí� � ñèë� ëåìì� 2.2. Ïîýòîì� v = v � � ïîñëåäíè� íåðàâåíñòâà� âñþä� ìîæí� ïîñòàâèò� çíàê� ðàâåíñòâ. È� ïîëó÷åííû� ðàâåíñò� ñëåäóåò, ÷ò� x0 − ìàêñèìèííàÿ, � y 0 − ìèíèìàêñíà� ñòðàòåãè� èãðîêîâ. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñò� ðàâåíñòâ� (2.3) âûïîëíåíî. Âîçüìå� x0 , y 0 −ìàêñèìèííó� � ìèíèìàêñíó� ñòðàòåãè� � ïîêàæåì, ÷ò� îí� îáðàçóþ� ñåäëîâó� òî÷êó.
Èìåå� (2.3) F (x 0 , y 0 ) ≥ inf F (x 0 , y) = v = v = sup F (x, y 0 ) ≥ F (x 0 , y 0 ). y∈Yx∈X Â� âñå� íåðàâåíñòâà� ìîæí� ïîñòàâèò� çíàê� ðàâåíñò� � ïîëó÷àåì, ÷ò� (x0 , y 0 ) − ñåäëîâà� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y). Çàìå÷àíèå. Åñë� âûïîëíåí� ðàâåíñòâ� (2.3), ò� ìíîæåñòâ� âñå� ñåäëîâû� òî÷å� ïðÿìîóãîëüí� � ñîâïàäàå� � X 0 ×Y 0 , ãä� X 0 � Y 0 − ìíîæåñòâ� âñå� ìàêñèìèííû� � ìèíèìàêñíû� ñòðàòåãè� èãðîêîâ. 11ÃËÀÂ� I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�Óïðàæíåíè� 2.1. Äîêàæèòå, ÷ò� 3×3-ìàòðèö� í� ìîæå� èìåò� ðîâí� 7 ñåäëîâû� òî÷åê. Ïðèìå� 2.3. Íàéäå� âñ� ñåäëîâû� òî÷ê� ìàòðèö� ⎛ 7 −1 −4142 3 2 .A = ⎝22 5 2 ⎠4 −37 −2Çäåñ� ( min aij ) = (−4, 2, 2, −3) � ( max aij ) = (7, 2, 7, 2).
Îòñþä� v = 1≤j≤41≤i≤4 v = 2, X 0 = {2, 3},ìíîæåñòâ� X 0 × Y 0 . Y 0 = {2, 4}. ×åòûð� ñåäëîâû� òî÷ê� îáðàçóþ� Ïðèìå� 2.4. Ïóñò� X = Y = [0, 1], F (x, y) = 2x2 − 3xy + 2y 2 . Íàéäå� âåëè÷èí� v � v. Ïð� ôèêñèðîâàííî� x ìèíèìó� ï� y ôóíêöè� F (x, y) äîñòèãàåòñ� � òî÷ê� y(x) = 3x/4 ∈ Y. Ïîýòîì� ôóíêöè� ìèíèìóì� −W (x) = min F (x, y) = 7x2 /8. Îòñþä� v = 7/8 � x0 = 1 − ìàêñèìèííà� 0≤y≤1 ñòðàòåãèÿ. Çàôèêñèðóå� y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
