А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Âûáðàííî� çíà÷åíè� a � áóäå� ïîëåçíîñòü� âûèãðûø� 5. Åñë� a = 1/2, ò� îòíîøåíè� èãðîê� � ðèñê� íåéòðàëüíîå, åñë� a > 1/2, ò� èãðî� îñòîðîæåí, � åñë� a < 1/2, ò� èãðî� àçàðòåí. Ýëåìåíò� òåîðè� ïîëåçíîñò� ñì. � êîíö� äàííîã� ïàðàãðàôà. Çàéìåìñ� ñìåøàííû� ðàñøèðåíèå� íåïðåðûâíî� èãð� Γ. Îãðàíè21ÃËÀÂ� I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�÷èìñ� èãðî� í� ïðÿìîóãîëüíèê� X × Y = [a, b] × [c, d]. Ïð� çàäàííû� ñòðàòåãèÿ� ϕ � ψ − ôóíêöèÿ� ðàñïðåäåëåíè� í� îòðåçêà� X � Y − îæèäàåìû� âûèãðû� F (ϕ, ψ) ïåðâîã� èãðîê� ðàâå� Zb Zd F (ϕ, ψ) = F (x, y)dϕ(x)dψ(y).
ac Çäåñ� äâîéíî� èíòåãðà� î� íåïðåðûâíî� ôóíêöè� F (x, y) ñóùåñòâóåò. Áîëå� òîãî, ï� òåîðåì� Ôóáèí� î� ðàâå� ïîâòîðíîì� Zb F (ϕ, ψ) = Zd F (x, ψ)dϕ(x) = aF (ϕ, y)dψ(y), c ãä� Zd F (x, ψ) = Zb F (x, y)dψ(y), F (ϕ, y) = cF (x, y)dϕ(x). a Èòàê, ïîñòðîåí� cìåøàííî� ðàñøèðåíè� Γ = {ϕ}, {ψ}, F (ϕ, ψ) íåïðåðûâíî� èãð� Γ í� ïðÿìîóãîëüíèêå.
Íàø� áëèæàéøà� öåë� − äîêàçàò� ñóùåñòâîâàíè� ðåøåíè� èãð� Γ. Íà� ïîòðåáóåòñ� èçâåñòíû� ðåçóëüòàò. Òåîðåì� 3.2. Ìíîæåñòâ� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� {ϕ} í� îòðåçê� [a, b] ÿâëÿåòñ� ñëàáû� êîìïàêòîì. Ýò� îçíà÷àåò, ÷ò� è� ëþáî� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� {ϕk } ìîæí� âûäåëèò� ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñò� {ϕkl }, ñëàá� ñõîäÿùóþñ� � íåêîòîðî� ñòðàòåãè� ϕ0 , ò.å.
òàêóþ, ÷ò� äë� ëþáî� íåïðåðûâíî� í� îòðåçê� [a, b] ôóíêöè� h(x) âûïîëíåí� Zb lim l→∞ h(x)dϕkl (x) = aZb h(x)dϕ0 (x). a Ëåìì� 3.1. � íåïðåðûâíî� èãð� Γ í� ïðÿìîóãîëüíèê� ñóùåñòâóþ� ìàêñèìèííà� � ìèíèìàêñíà� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� èãðîêîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðè� âûðàæåíè� v = sup inf F (ϕ, ψ), v = inf ϕ∈{ϕ} ψ∈{ψ} sup F (ϕ, ψ) ψ∈{ψ} ϕ∈{ϕ} 22 3. Ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã�� äîêàæåì, ÷ò� âíåøíè� sup � inf � íè� äîñòèãàþòñÿ. Ï� îïðåäåëåíè� âåðõíå� ãðàí� v íàéäåòñ� òàêà� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� {ϕk }, ÷ò� inf F (ϕk , ψ) ≥ v − εk , εk → 0+, ψ∈{ψ} èë� � F (x, ψ)dϕk (x) ≥ v − εk ∀ ψ ∈ {ψ}, k = 1, 2, .... (3.1) X Âûäåëè� è� {ϕk } ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñò� {ϕkl }, ñëàá� ñõîäÿùóþñ� � ñìåøàííî� ñòðàòåãè� ϕ0 .
Çàìåòèì, ÷ò� ïð� ôèêñèðîâàííî� ñòðàòåãè� ψ ôóíêöè� F (x, ψ) íåïðåðûâí� ï� x. Ïåðåõîä� � (3.1) � ïðåäåë� ï� ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñò� {kl }, ïîëó÷è� íåðàâåíñòâ� F (ϕ0 , ψ) ≥ v ∀ ψ ∈ {ψ}. Îòñþä� inf F (ϕ0 , ψ) ≥ v ⇒ inf F (ϕ0 , ψ) = v ψ∈{ψ} ψ∈{ψ} � ϕ0 − ìàêñèìèííà� ñìåøàííà� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà. Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñ� ñóùåñòâîâàíè� ìèíèìàêñíî� ñìåøàííî� ñòðàòåãèè. Ëåìì� 3.2.
Ðàññìîòðè� äâ� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èãð� Γ = X, Y, F (x, y) , Γ = X, Y, F 0 (x, y) , � êîòîðû� ôóíêöè� F (x, y) � F 0 (x, y) îãðàíè÷åí� í� X × Y � ïð� ε > 0 âûïîëíåí� óñëîâè� |F (x, y) − F 0 (x, y)| ≤ ε ∀ (x, y) ∈ X × Y. Òîãä� |v − v 0 | ≤ ε, |v − v 0 | ≤ ε. Äîêàçàòåëüñòâî. Äë� âñÿêîã� x ∈ X ñïðàâåäëèâ� íåðàâåíñòâ� inf F (x, y) − inf F 0 (x, y) ≥ inf (F (x, y) − F 0 (x, y)) ≥ −ε.
y∈Yy∈Yy∈Y Ìîæí� ïîëó÷èò� àíàëîãè÷íû� íåðàâåíñòâà, ìåíÿ� ìåñòàì� ôóíêöè� F (x, y) � F 0 (x, y). � ðåçóëüòàò� íàõîäèì, ÷ò� | inf F (x, y) − inf F 0 (x, y)| ≤ ε ∀x ∈ X. y∈Yy∈Y Äàëåå, sup inf F (x, y) − sup inf F 0 (x, y) ≤ sup( inf F (x, y) − inf F 0 (x, y)) ≤ ε. x∈X y∈Yx∈X y∈Yx∈X y∈Y23y∈Y ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�Êà� � âûøå, íàõîäèì, ÷ò� |v − v 0 | ≤ ε. Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñ� íåðàâåíñòâ� |v − v 0 | ≤ ε. Òåîðåì� 3.3 (Îñíîâíà� òåîðåì� íåïðåðûâíû� èãð). Âñÿêà� íåïðåðûâíà� èãð� Γ í� ïðÿìîóãîëüíèê� èìåå� ðåøåíè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ï� òåîðåì� 2.1 äîñòàòî÷í� äîêàçàò� ðàâåíñòâ� âåëè÷è� v = max inf F (ϕ, ψ) � v = min sup F (ϕ, ψ). ϕ∈{ϕ} ψ∈{ψ} ψ∈{ψ} ϕ∈{ϕ}Çàìåòèì, ÷ò� äîñòèæèìîñò� çäåñ� âíåøíè� ìàêñèìóìî� � ìèíèìóìî� âûòåêàå� è� ëåìì� 3.1. Âîçüìå� ïðîèçâîëüíî� ε > 0. È� íåïðåðûâíîñò� ôóíêöè� F (x, y) ñëåäóå� ñóùåñòâîâàíè� òàêîã� ðàçáèåíè� îòðåçê� X = [a, b] í� íåïåðåñåêàþùèåñ� ïðîìåæóòê� (îòðåçî� � ïîëóèíòåðâàëû) X i , i = 1, ..., m � òàêîã� ðàçáèåíè� îòðåçê� Y = [c, d] í� àíàëîãè÷íû� ïðîìåæóòê� Y j , j = 1, ..., n, ÷ò� |F (x, y) − F (x0 , y 0 )| ≤ ε ∀ (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ X i × Y j , ∀ i, j.
(3.2) Äë� ëþáû� i, j âîçüìå� òî÷ê� xi ∈ X i , y j ∈ Y j � îïðåäåëè� ñòóïåí÷àòó� ôóíêöè� F1 (x, y) = F (x i , y j ) ∀ (x, y) ∈ X i × Y j , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Òîãä� è� (3.2) ñëåäóåò, ÷ò� |F (x, y) − F1 (x, y)| ≤ ε ∀ (x, y) ∈ X × Y. (3.3) Èòàê, ôóíêöè� F1 (x, y) àïïðîêñèìèðóå� ôóíêöè� F (x, y) � òî÷íîñòü� ä� ε > 0. Íåïðåðûâíà� èãð� Γ ôàêòè÷åñê� ïðèáëèæåí� èãðî� � ìàòðèöå� A = (aij )m×n = (F (xi , y j ))m×n . Âñÿêî� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� ϕ ïîñòàâè� � ñîîòâåòñòâè� âåêòî� Zp = (p1 , ..., pm ) : pi = dϕ(x), i = 1, ..., m, X i ãä� pi − âåðîÿòíîñò� ïîïàäàíè� ðåàëèçàöè� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� � ìíîæåñòâ� X i (ìåð� ìíîæåñòâ� X i ).
Î÷åâèäíî, ÷ò� p ÿâëÿåòñ� ñìåøàííî� ñòðàòåãèå� ïåðâîã� èãðîê� � ìàòðè÷íî� èãðå, ò.å. p ∈ P. Ïîñòðîåííî� îòîáðàæåíè� P : {ϕ} → P ÿâëÿåòñ� îòîáðàæåíèå� í� P. Äåéñòâèòåëüíî, äë� ëþáî� ñòðàòåãè� p ∈ P ôóíêöè� ðàñïðåäåëåíè� ϕ ñ� ñêà÷êàì� 24 3. Ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� àíòàãîíèñòè÷åñêè� èã�pi � òî÷êà� xi ÿâëÿåòñ� ïðîîáðàçî� p ïð� îòîáðàæåíè� P . Àíàëîãè÷í� îïðåäåëÿåòñ� îòîáðàæåíè� Q : {ψ} → Q, ãä� Q − ìíîæåñòâ� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� âòîðîã� èãðîê� ìàòðè÷íî� èãðû.
Äàëåå, äë� ëþáû� ñòðàòåãè� ϕ, ψ � ñîîòâåòñòâóþùè� ñòðàòåãè� p = P(ϕ), q = Q(ψ) ñïðàâåäëèâ� ôîðìóë� F1 (ϕ, ψ) = Zb Zd = F1 (x, y)dϕ(x)dψ(y) = am XnXpi F (x i , y j )qj = A(p, q). (3.4) i=1 j=1 c Êðîì� òîãî, èñïîëüçó� (3.3), ïîëó÷è� Zb Zd |F (ϕ, ψ) − F1 (ϕ, ψ)| = | (F (x, y) − F1 (x, y))dϕ(x)dψ(y)| ≤ ac Zb Zd ≤Zb Zd |F (x, y) − F1 (x, y)|dϕ(x)dψ(y) ≤ ac εdϕ(x)dψ(y) = ε. ac Ïîñëåäíå� íåðàâåíñòâ� îçíà÷àåò, ÷ò� äë� ôóíêöè� F (ϕ, ψ), F1 (ϕ, ψ) âûïîëíåí� óñëîâè� ëåìì� 3.2. È� íå� âûòåêàþ� íåðàâåíñòâ� | max inf F (ϕ, ψ) − max min F1 (ϕ, ψ)| ≤ ε, (3.5)| min sup F (ϕ, ψ) − min max F1 (ϕ, ψ)| ≤ ε.
(3.6) ϕ∈{ϕ} ψ∈{ψ} ψ∈{ψ} ϕ∈{ϕ} ϕ∈{ϕ} ψ∈{ψ} ψ∈{ψ} ϕ∈{ϕ} È� (3.4) � îñíîâíî� òåîðåì� ìàòðè÷íû� èã� ñëåäóåò, ÷ò� max min F1 (ϕ, ψ) = max min A(p, q) = p∈P q∈Q ϕ∈{ϕ} ψ∈{ψ} = min max A(p, q) = min max F1 (ϕ, ψ). q∈Q p∈Pψ∈{ψ} ϕ∈{ϕ} Îòñþä� � è� íåðàâåíñò� (3.5),(3.6) ñëåäóå� |v − v| ≤ 2ε. � ñèë� ïðîèçâîëüíîñò� ε > 0 ïîëó÷àå� v = v. Ýëåìåíò� òåîðè� ïîëåçíîñò� Ïðàâîìåðíîñò� èñïîëüçîâàíè� ìàòåìàòè÷åñêîã� îæèäàíè� âûèãðûø� � ñìåøàííî� ðàñøèðåíè� èãð� âûçûâàå� ñîìíåíèÿ.
Êîãä� èãðîê� 25ÃËÀÂ� I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ� ÈÃÐ�ïðèìåíÿþ� çàäàííû� ñìåøàííû� ñòðàòåãèè, ò� âûèãðû� êàæäîã� ÿâëÿåòñ� ñëó÷àéíî� âåëè÷èíî� � çàäàííû� çàêîíî� ðàñïðåäåëåíèÿ. � òåîðè� ïîëåçíîñò� òàêó� âåëè÷èí� íàçûâàþ� ëîòåðååé. Ôîðìàëüí� îí� çàäàåòñ� íàáîðî� ïàðàìåòðî� (A1 , ..., Ak ; x1 , ..., xk ), ãä� âûèãðû� Al âîçíèêàå� kP� âåðîÿòíîñòü� xl , l = 1, ..., k, � xl = 1. l=1 Óïðàæíåíè� 3.2.
Óêàçàò� ïàðàìåòð� ëîòåðåè, êîòîðà� ñîîòâåòñòâóå� ïàð� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� (p, q) � ìàòðè÷íî� èãðå. Îöåíê� èñõîä� ëþáî� èãð� ï� ìàòåìàòè÷åñêîì� îæèäàíè� ïðåäïîëàãàåò, ÷ò� ëîòåðå� (0; 1), ($5000, $ − 5000; 1/2, 1/2) � (−1ðóá.,10000 ðóá.;10000/10001,1/10001) ýêâèâàëåíò� äë� èíäèâèäóóìà.
Ìîæí� ïðåäïîëîæèòü, ÷ò� äë� ìíîãè� ÷èòàòåëå� ýò� í� òàê. Äàëåê� í� âñ� ìîãó� ñåá� ïîçâîëèò� ñûãðàò� â� âòîðó� ëîòåðåþ, äàæ� åñë� íåñêîëüê� óâåëè÷èò� ðàçìå� âûèãðûøà. � ò� æ� âðåì� çíà÷èòåëüíà� ÷àñò� íàñåëåíè� ó÷àñòâóå� � ëîòåðåÿõ, ïîäîáíû� òðåòüåé, äàæ� ïð� îòðèöàòåëüíî� ñðåäíå� âûèãðûøå: ìíîãè� ãîòîâ� ðèñêíóò� ìàëåíüêî� ñóììî� � ðàñ÷åò� í� ñ÷àñòëèâû� ñëó÷àé. Âîîáùå, îòíîøåíè� ëþäå� � ðèñê� äîñòàòî÷í� ñëîæí� � í� ä� êîíö� èññëåäîâàíî. Åã� èçó÷åíèå� çàíèìàåòñ� òåîðè� ïîëåçíîñò� (� ýêîíîìèê� ôóíêöè� âûèãðûø� îáû÷í� íàçûâàþ� ôóíêöèÿì� ïîëåçíîñòè). Îäè� è� âàæíåéøè� ðåçóëüòàòî� ýòî� òåîðè� ñîñòîè� � ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� � èíäèâèäóóì� åñò� îòíîøåíè� ïðåäïî÷òåíè� í� ìíîæåñòâ� âñåâîçìîæíû� ëîòåðåé, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
